競賽——多邊形的面積和面積變換

1、本講在初二幾何范圍內(nèi)，通過實(shí)例對(duì)平面圖形的面積和用面積變換解幾何題作些簡單介紹.所用知識(shí)不多，簡列如下：（1）       全等形的面積相等；（2）       多邊形的面積定理（三角形、梯形等，略）；（3）       等底等高的三角形，平行四邊形，梯形的面積相等（對(duì)梯形底相等應(yīng)理解為兩底和相等）；（4）       等底（等高）的三角形，平行四邊形，梯形

2、的面積比等于這底上的高（這高對(duì)應(yīng)的底）的比.以下約定以ABC同時(shí)表示ABC的面積.1  多邊形的面積例1  （第34屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題）在圖23-1的平面圖形中，邊AF與CD平行，BC與ED平行，各邊長為1，且FAB=BCD=，該圖形的面積是（   ）（A）  （B）1  （C）  （D）  （E）2分析  將這個(gè)圖形分解為若干個(gè)基本圖形三角形，連BF、BE、BD得四個(gè)與ABF全等的正三角形，進(jìn)一步計(jì)算可得圖形面積為.所以選（D）.例2     

3、0;    （第5屆美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）如圖23-2五條線段把矩形ABCD分成了面積相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，則AB的長度等于_.分析  如圖,延長PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ與梯形PQYX面積相等,故E、F分別為AD、CB的中點(diǎn).而SAXPWD=SBYQZC，EP=QF，設(shè)為e.由SAXPWD=SPQZW  得2e=106，AB=2e+87=193.例3.如圖23-3四邊形ABCD的兩

4、邊BA和CD相交于G，E、F各為BD、AC的中點(diǎn).試證：EFG的面積等于四邊形ABCD面積的四分之一.分析  注意到E、F各為BD、AC的中點(diǎn)，連結(jié)EA、EC和FD.則如果能夠證明EFG的面積等于四邊形AEFD的面積，問題即可解決.為此，取AD的中點(diǎn)P，連PE、PF，則PEGB，PFGC.于是GEP=AEP，GFP=DFP.而PEF公用.GEF=SAEFD.至此，問題得解.證明略.2  利用面積變換解幾何題先看一個(gè)例子.例4.以直角三角形ABC的兩直角邊AC、BC為一邊各向外側(cè)作正方形ACDE、BCGH，連結(jié)BE、AH分別交AC、BC于P、Q.求證:CP=CQ.證明 (如圖

5、23-4)顯然SGCQ=SHCQ，HBAG，SGCQ=SACH=SABC.同理,SBDP=SABC.SAGQ=SBDP,CQ·AG=CP·BD.AG=AC+GC=DC+BC=BD，CP=CQ.此例是關(guān)于平面圖形中線段的等式，看似與面積無關(guān)，然而我們卻利用圖形之間面積的等量關(guān)系達(dá)到了證明的目的.這種不考慮圖形的形狀只從圖形的面積關(guān)系入手來研究圖形的度量關(guān)系和位置關(guān)系的方法即所謂面積變換.例5  (第37屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題)圖23-5中,ABCDE是正五邊形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延長線上所引的垂線.設(shè)O是正五邊形的中心,若OP=1,則AO+AQ

6、+AR等于(   ).（A）3  （B）1+（C）4  （D）2+  (E)5分析  因題設(shè)中AP、AQ、AR分別與CD、CB、DE垂直，這就便于利用面積作媒介.注意到即由CD=BC=DE，則AP+AQ+AR=5·OP故AO+AQ+AR=4.應(yīng)選（C）.例6  （第37屆美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題）不等邊三角形ABC的兩條高的長度分別為4和12.若第三條高也為整數(shù)，那么它的長度最大可能是（   ）.（A）4  （B）5  （C）6  （D）7（E）不同于（A）-（D）的答案

7、解  設(shè)ABC第三邊上的高為h，面積為S，則該三角形的三邊可表示為顯見.據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”有+，+.解得3h6.所以選（B）.例7         圖23-6中，已知AB是直角三角形ABC的斜邊，在射線AC、BC上各取一點(diǎn)、，使P、Q是ABC內(nèi)兩點(diǎn)，如果P，Q到ABC各邊的距離之和相等，則PQ；反之亦然.證明  設(shè)P、Q到ABC各邊的距離之和分別為S（P），S（Q）.連PA、PB、P、P，不難發(fā)現(xiàn)APB+AP+PB-P=ABC-C（定值）.于是=同理，顯然，當(dāng)S（P）=S（Q）時(shí)，P

8、Q反之，當(dāng)PQ時(shí)，S（P）=S（Q）.3  一個(gè)定理的應(yīng)用定理已知ABC、DBC共邊BC，AD交BC或其延長線于E，則 分析  當(dāng)B或C點(diǎn)與E重合時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)B、C都不與E重合時(shí)，有兩種情況：若E在BC之間，由ABE=易知結(jié)論成立；若E在BC之外類似可證.證明略.這個(gè)定理敘述的事實(shí)雖然簡單,但卻能解決大問題.例8 (1987年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖23-8已知四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E,連接AE、BE、CE、DE，將四邊形ABCD分成四個(gè)面積相等的三角形，那么命題（   ）.甲.   ABCD是凸四邊形; 

9、0;  此處無圖乙.   E是對(duì)角線AC的中點(diǎn)或?qū)蔷€BD的中點(diǎn);丙.   ABCD是平行四邊形中.(A)   只有甲正確  (B)只有乙正確  (C)甲、乙、丙都正確  （D）甲、乙、丙都不正確分析  如果ABCD是以AC為對(duì)稱軸的凹四邊形，易見AC的中點(diǎn)具有題中E點(diǎn)所要求的性質(zhì)，所以甲、丙都不正確.設(shè)AE、BE、CE、DE將四邊形ABCD分成四個(gè)面積相等的三角形，BD、AC交于F，由ABE=ADE及本講定理知F是BD的中點(diǎn)，即E在AF上.如果F與E重合，則E是BD的中點(diǎn)，乙成立.如

10、果F與E不重合，同理由BEC=DEC是E在直線CF上，也就是說A、C都在直線EF上.再由ABE=BEC，得AE=EC，所以E是AC的中點(diǎn)，乙成立.所以選（B）.如果將三點(diǎn)A、B、C在一條直線上看成是ABC的蛻化情況，那么A、B、C三點(diǎn)共線等價(jià)于ABC=0.由此引出證明三點(diǎn)共線的一條極自然的思路:欲證三點(diǎn)A、B、C共線，只要證明ABC=0.為了計(jì)算ABC的面積，常在A、B、C之外適當(dāng)選一點(diǎn)P，如果PAB、PBC、PAC三者之中一個(gè)等于另兩個(gè)之和，則自然有ABC=0，這方面?zhèn)鹘y(tǒng)的例子是梅內(nèi)勞斯定理的證明.例9在圖33-9ABC的兩邊AB、AC上分別取E、F兩點(diǎn)，在BC的延長線上取點(diǎn)D，使則D、E、

11、F三點(diǎn)共線.   此處無圖證明  設(shè)則于是                 由、易得BDE=BEF+BDF，D、E、F三點(diǎn)共線.說明：A、B、C共線即點(diǎn)B在直線AC上.由此即知欲證l1、l2、l3共點(diǎn)，只要證l1、l2的交點(diǎn)B在直線l3上，若在l3上別取點(diǎn)A、C，則只要證明ABC=0即可.看來三線共點(diǎn)的問題可轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線來解決，這方面典型的例子是塞瓦定理的證明（見練習(xí)題）.最后，我們來看一個(gè)漂亮的作圖問題.例10設(shè)A、B是直

12、線l1上的兩點(diǎn)，而C、D是直線l2上的兩點(diǎn)，l1與l2交于O，作出平面上一切滿足條件PAB=PCD的點(diǎn)P.分析  如圖23-10，在l1上取E、F，使O為EF中點(diǎn)且EO=AB；在l2上取G、H，使O為GH中點(diǎn)且GO=CD.不妨設(shè)E、G、F、H之順序使EGFH成為以O(shè)為中心的平行四邊形.設(shè)EG、GF、FH、HE之中點(diǎn)順次為M、S、N、R，則P點(diǎn)為直線MN和RS上的一切點(diǎn).設(shè)P為RS上或MN上任一點(diǎn)，由作圖知PAB=PFO，PCD=PGO.由本講定理知PFO=PGO，所以PAB=PCD.當(dāng)P點(diǎn)不在直線MN上且不在RS上時(shí)，可以用反證法證明PABPCD.   練習(xí)二十三

13、1  選擇題（1）等腰ABC中，一腰上的高線長為，這個(gè)高線與底邊的夾角是，ABC的面積是（   ）.（A）  （B）2 （C）2 （D）  （E）以上答案都不對(duì)（2）如圖，ABCD是面積為1的正方形，PBC為正三角形，則BPD的面積為（   ）.（A）  （B）  （C）  （D）  （E）（3）已知等腰ABC一腰上的中線為15，底邊上的高為18，則ABC的面積是（   ）.（A）124  （B）144  （C）150  （D）以上答案

14、都不對(duì)2.填空題(1)    已知一張矩形紙片ABCD,AB=a,BC=Ka,將紙片折疊一次,使頂點(diǎn)A與C重合,如果紙片不重合部分面積為,則K=_.(2)    已知等腰梯形ABCD的兩對(duì)角線AC、BD互相垂直相交，且梯形的面積為100cm2，則梯形的高h(yuǎn)=_.(3)    (第3屆美國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)如圖所示,將ABC的三個(gè)頂點(diǎn)與同一個(gè)內(nèi)點(diǎn)連接起來,所得三條聯(lián)線把ABC分成六個(gè)小三角形,其中四個(gè)小三角形的面積已在圖上標(biāo)明. ABC的面積是_.(4)    (1984年西安初

15、中數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)ABC的面積為1,則DEF的面積是_.3.如圖,B在AC上,Q在PR上,PBQC，AQBR.求證：APCR.4（1974年加拿大中學(xué)生笛卡爾數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)AD為ABC一中線，引任一直線CF交AD于E，交AB于F.證明AE·FB=2AF·ED.5（塞瓦定理）設(shè)X、Y、Z分別是ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，若則AX、BY、CZ三線共點(diǎn).6（1983年中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽題）如圖，在四邊形ABCD中ABD，BCD，ABC的面積比是3：4：1，點(diǎn)M，N分別在AC，CD上，滿足AM：AC=CN：CD，并且B、M、N三點(diǎn)共線，求證：M與N分別是AC與CD的中點(diǎn).此處無

16、圖7P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，P到邊AB、AC的距離為PE、PF，PE=q，PF=r，PA=x，求證：axcq+br.（a，b，c為相應(yīng)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊長）8三角形的兩邊不等，則大邊加上這邊上的高，不小于小邊加上小邊上的高.9設(shè)ABC的面積S=1.試分別在邊BC、CA、AB上依次我一內(nèi)點(diǎn)E、F、G，使得EFG的面積適合 練習(xí)二十三（）   （）  （）（）連、，連后，引入三個(gè)面積參數(shù)，即，則設(shè)與交于點(diǎn)，連、設(shè)易知，（），、共線、共點(diǎn)              設(shè)及這時(shí)，（），（）因此，所以解得即與分別是與的中點(diǎn)作，設(shè)又作，設(shè)顯然，（）如圖，設(shè)，易知，（）（），即（）（），即作法：如圖，作的中位線并延長至，使作，垂足為（當(dāng)為的最大內(nèi)角時(shí)，必為的內(nèi)點(diǎn)），作M，交于選的任一內(nèi)點(diǎn)，連結(jié)、，并將點(diǎn)改名為，則即為所求練習(xí)二十三（）   （）