剪切力和扭矩

1、第七章第七章 剪切與扭轉剪切與扭轉7.1 7.1 扭轉的概念及外力偶矩的計算扭轉的概念及外力偶矩的計算扭轉的概念扭轉的概念 軸軸是以扭轉變形為主要變形的直桿作用于垂直桿軸平面內的力偶使桿引起的變形，稱扭轉變形扭轉變形。變形后桿件各橫截面之間繞桿軸線相對轉動了一個角度，稱為扭轉角扭轉角， 用 表示外力偶矩的計算外力偶矩的計算 已知軸所傳遞的功率和軸的轉速。導出外力偶矩、功率和轉速之間的關系為： 9550Nmn式中 m-作用在軸上的外力偶矩，單位為Nm N-軸傳遞的功率，單位為KW n-軸的轉速，單位為r/min。7.2 圓軸扭轉時橫截面上的內力及扭矩圖圓軸扭轉時橫截面上的內力及扭矩圖7.2.1

2、扭矩扭矩平衡條件平衡條件0 xM eTM內力偶矩內力偶矩T稱為稱為扭矩扭矩 扭矩的單位：扭矩的單位：N mkN m或扭矩的正負號規(guī)定為：扭矩的正負號規(guī)定為：自截面的外法線向截面看，自截面的外法線向截面看，逆時針轉向為正，順時針轉向為負逆時針轉向為正，順時針轉向為負 扭扭 矩矩 圖圖常用與軸線平行的常用與軸線平行的x坐標表示橫截面的位置，以與坐標表示橫截面的位置，以與之垂直的坐標表示相應橫截面的扭矩，把計算結果之垂直的坐標表示相應橫截面的扭矩，把計算結果按比例繪在圖上，正值扭矩畫在按比例繪在圖上，正值扭矩畫在x軸上方，軸上方，負值扭矩畫在負值扭矩畫在x軸下方。這種圖形稱為軸下方。這種圖形稱為扭矩

3、圖扭矩圖。主動輪，輸入功率主動輪，輸入功率 ，B、C、D為從動為從動輪輪，輸出功率分別為輸出功率分別為10 kWAN ，試求各段扭矩。試求各段扭矩。2.0 kWDN4.5 kWBN 3.5 kWCN ，300 r minn 例題例題7.1 圖示傳動軸，轉速圖示傳動軸，轉速，A輪為輪為e10 kW95499549318.3 N m300 r minAANMne4.5 kW95499549143.2 N m300 r minBBNMne3.5 kW95499549111.4 N m300 r minCCNMne2.0 kW9549954963.7 N m300 r minDDNMn解：解：1、計算

4、外力偶矩、計算外力偶矩為負值說明實際方向與假設的相反。為負值說明實際方向與假設的相反。 2T3T，1e143.2 N mBTM2ee143.2 N m-318.3 N m-175 N mBATMM3e63.7 N mDTM max175TN m2、分段計算扭矩，分別為、分段計算扭矩，分別為（圖c） （圖d）（圖e）3、作扭矩圖、作扭矩圖 1、變形幾何關系、變形幾何關系7.3 等直圓軸扭轉時橫截面上的切應力等直圓軸扭轉時橫截面上的切應力7.3.1 實心圓軸橫截面上的應力實心圓軸橫截面上的應力 變形后，圓軸上所有的橫截面均保持為平面，變形后，圓軸上所有的橫截面均保持為平面，即平面假設即平面假設；

5、橫截面上的半徑仍保持為直線；橫截面上的半徑仍保持為直線； 各橫截面的間距保持不變。各橫截面的間距保持不變。ddx2、物理關系、物理關系GddGGx 3、靜力學關系、靜力學關系 dAAT2ddAGdATx2pAdAI稱截面的極慣性矩稱截面的極慣性矩 pddTxGI得到圓軸扭轉橫截面上得到圓軸扭轉橫截面上任意點任意點切應力公式切應力公式pTImaxppRTTIWR當當時，表示圓截面邊緣處的切應力最大時，表示圓截面邊緣處的切應力最大 它是與截面形狀和尺寸有關的量。它是與截面形狀和尺寸有關的量。pW式中式中稱為稱為抗扭截面系數(shù)?？古そ孛嫦禂?shù)。7.3.2 極慣性矩和抗扭截面系數(shù)極慣性矩和抗扭截面系數(shù)實心

6、圓截面的極慣性矩：實心圓截面的極慣性矩： 42320232DPADIA dAd抗扭截面系數(shù)為：抗扭截面系數(shù)為：4332/ 2162PPDIDWDD空心圓極慣性矩軸空心圓極慣性矩軸： 423444222()(1)3232DdPADIA dAdDd34(1)/216PPIDWDdD式中式中為空心圓軸內外徑之比。為空心圓軸內外徑之比?？招膱A的抗扭截面系數(shù)空心圓的抗扭截面系數(shù)極慣性矩極慣性矩的量綱是長度的四次方，的量綱是長度的四次方，常用的單位為常用的單位為mm4抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)的量綱是長度的三次方，的量綱是長度的三次方，常用單位為常用單位為mm3工程上要求圓軸扭轉時的最大切應力不得超過工程上

7、要求圓軸扭轉時的最大切應力不得超過材料的許用切應力材料的許用切應力 maxpmaxTW ，即7.4 等直圓軸扭轉時的強度計算等直圓軸扭轉時的強度計算7.4.1 圓軸扭轉強度條件圓軸扭轉強度條件 0.5 0.6 0.8 1.0上式稱為圓軸扭轉強度條件。上式稱為圓軸扭轉強度條件。塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 試驗表明，材料扭轉許用切應力試驗表明，材料扭轉許用切應力例題例題7.2 汽車的主傳動軸，由汽車的主傳動軸，由45號鋼的無縫鋼管號鋼的無縫鋼管制成，外徑制成，外徑 ，壁厚壁厚90 mmD 2.5 mm試校核該軸的強度。試校核該軸的強度。1.5 N mT 工作時的最大扭矩工作時的最大扭矩，

8、60 MPa若材料的許用切應力若材料的許用切應力，902 2.50.94490dD 解：1、計算抗扭截面系數(shù) 主傳動軸的內外徑之比6max23p1.5 10 N mm50.8 MPa295 10 mmTW2、計算軸的最大切應力、計算軸的最大切應力3344323p(90)(1)(1 0.944 ) mm295 10 mm1616DW抗扭截面系數(shù)為抗扭截面系數(shù)為3、強度校核、強度校核 max50.8 MPa主傳動軸安全主傳動軸安全 解：1、求實心軸的直徑，要求強度相同，即實心軸的最大切應力也為51MPa，即 例題例題7.37.3 如把上題中的汽車主傳動軸改為實心如把上題中的汽車主傳動軸改為實心軸，

9、要求它與原來的空心軸強度相同，試確定實軸，要求它與原來的空心軸強度相同，試確定實心軸的直徑，并比較空心軸和實心軸的重量。心軸的直徑，并比較空心軸和實心軸的重量。631p1.5 10 N mm51MPa16TDW63116 1.5 10 N mm53.1mm 51PaDM 2、在兩軸長度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比等于兩軸橫截面面積之比，即：2222221()908540.3153.14DdAAD空實討論：討論：由此題結果表明，在其它條件相同的情況由此題結果表明，在其它條件相同的情況下，空心軸的重量只是實心軸重量的下，空心軸的重量只是實心軸重量的31%31%，其節(jié)，其節(jié)省材料是非常明顯的

10、。省材料是非常明顯的。7.5.1 圓軸扭轉時的變形圓軸扭轉時的變形7.5 等直圓軸扭轉時的變形及剛度條件等直圓軸扭轉時的變形及剛度條件pddTxGI軸的扭轉變形用兩橫截面的軸的扭轉變形用兩橫截面的相對扭轉角：相對扭轉角：pddTxGIppddllTTlxGIGIrad相距長度為l的兩橫截面相對扭轉角為 pGI當扭矩為常數(shù)，且也為常量時，它表示軸抵抗扭轉變形的能力。式中式中pGI稱為圓軸扭轉剛度扭轉剛度， 相對扭轉角的正負號由扭矩的正負號確定，即正扭矩產生正扭轉角，負扭矩產生負扭轉角。若兩橫截面之間T有變化，或極慣性矩變化，亦或材料不同（切變模量G變化），則應通過積分或分段計算出各段的扭轉角，然

11、后代數(shù)相加，即：1pniiiiiT lG I對于受扭轉圓軸的剛度通常用相對扭轉角沿桿對于受扭轉圓軸的剛度通常用相對扭轉角沿桿長度的變化率用長度的變化率用 表示，稱為單位長度扭轉角。表示，稱為單位長度扭轉角。即：即： pddTxGI 7.5.2 圓軸扭轉剛度條件圓軸扭轉剛度條件對于建筑工程、精密機械，剛度的剛度條件： maxm axpm ax180TG I將上式中的弧度換算為度，得：在工程中 的單位習慣用（度/米）表示， ， 對于等截面圓軸，即為：對于等截面圓軸，即為： maxmaxp180TGI 0.15 ( ) m 0.30 ( ) m許用扭轉角許用扭轉角的數(shù)值，根據(jù)軸的使用精密度、的數(shù)值，

12、根據(jù)軸的使用精密度、生產要求和工作條件等因素確定。生產要求和工作條件等因素確定。對于精密機器的軸對于精密機器的軸對一般傳動軸對一般傳動軸 0.5( ) m1.0 ( ) m50 mmd 例題例題7.47.4 圖示軸的直徑 ，切變模量切變模量80 GPaG 試計算該軸兩端面之間的扭轉角。試計算該軸兩端面之間的扭轉角。解：解：兩端面之間扭轉為角：兩端面之間扭轉為角：pppp(2)BCCDABADABBCT lT lT llTTGIGIGIGI44444p(50) mm61.36 10 mm3232dI 6634500(2 2 101 10 )80 1061.36 100.051radAD 60 kWP 例題例題7.5 主傳動鋼軸，傳遞功率主傳動鋼軸，傳遞功率，轉速轉速250 r minn 40 MPa，傳動軸的許用切應力傳動軸的許用切應力 0.5( ) m許用單位長度扭轉角許用單位長度扭轉角80 GPaG 切變模量切變模量 求傳動軸所需的直徑？求傳動軸所需的直徑？ 解：解：1、計算軸的扭矩、計算軸的扭矩60 kW95492292 N m250 r minT 2、根據(jù)強