第三章泊松過程

1、第三章第三章 泊松過程泊松過程v泊松過程泊松過程定義定義v泊松過程的泊松過程的數(shù)字特征數(shù)字特征v時間間隔時間間隔分布、分布、等待時間等待時間分布及分布及到達時間到達時間的的條件分布條件分布v復(fù)合復(fù)合泊松過程泊松過程v非齊次非齊次泊松過程泊松過程例如：例如： 電話交換機在一段時間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)；電話交換機在一段時間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)； 火車站某段時間內(nèi)購買車票的旅客數(shù)；火車站某段時間內(nèi)購買車票的旅客數(shù)； 機器在一段時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)；機器在一段時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)； 獨立增量過程獨立增量過程 平穩(wěn)增量過程平穩(wěn)增量過程泊松過程是一類時間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機過程泊松過程是一類時間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機過

2、程定義：定義： 稱隨機過程稱隨機過程N(t),t0為計數(shù)過程，為計數(shù)過程，若若N(t)表示到時刻表示到時刻t為止已發(fā)生的為止已發(fā)生的“事件事件A”的總數(shù)的總數(shù)，且且N(t)滿足下列條件：滿足下列條件：1. N(t) 0;2. N(t)取正整數(shù)值以及取正整數(shù)值以及0；3. 若若st，則，則N(s) N(t)；4. 當當s0），事件），事件A發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時間差僅與時間差s有關(guān)，而與有關(guān)，而與t無關(guān)。無關(guān)。定義定義3.2： 稱計數(shù)過程稱計數(shù)過程X(t),t0為具有參數(shù)為具有參數(shù)00的泊松的泊松過程過程，若它滿足下列條件：，若它滿足下列條件：1.1. X(0)=0X(

3、0)=0；2.2. X(t)X(t)是是( (平穩(wěn)平穩(wěn)) )獨立增量過程；獨立增量過程；3.3. 在任一長度為在任一長度為t t的區(qū)間中，事件的區(qū)間中，事件A A發(fā)生的次發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)數(shù)服從參數(shù)0的泊松分布，即對任意的泊松分布，即對任意s,t0，有有, 1 ,0,!)()()(nntensXstXPnt泊松過程同時也是平穩(wěn)增量過程泊松過程同時也是平穩(wěn)增量過程ttXE)(表示表示單位時間內(nèi)事件單位時間內(nèi)事件A發(fā)生的平均個數(shù)發(fā)生的平均個數(shù)，故稱，故稱為泊松過程的為泊松過程的速率速率或或強度強度定義定義3.3：稱計數(shù)過程稱計數(shù)過程X(t),t0為具有為具有參數(shù)參數(shù)0的泊松過的泊松過程程，若它滿足

4、下列條件：，若它滿足下列條件：1. X(0)=0；2. X(t)是獨立、平穩(wěn)增量過程；是獨立、平穩(wěn)增量過程；3.X(t)滿足下列兩式：滿足下列兩式：)(2)()()(1)()(hotXhtXPhohtXhtXP 在充分小的時間內(nèi)，最多有一個事件發(fā)生，而不能有在充分小的時間內(nèi)，最多有一個事件發(fā)生，而不能有兩個或兩個以上事件同時發(fā)生。兩個或兩個以上事件同時發(fā)生。(2)證明定義證明定義3.2和定義和定義3.3是等價的。是等價的。泊松過程的數(shù)字特征泊松過程的數(shù)字特征設(shè)設(shè)X(t),t0是泊松過程，對任意的是泊松過程，對任意的t,s0, )，且，且st，有，有stsXtXDsXtXE)()()()(由于由

5、于X(0)=0，所以，所以ttXDtttXEtmXX)()()()(2) 1()()(),(tstXsXEtsRX一般情況下，泊松過程的協(xié)方差函數(shù)可表示為一般情況下，泊松過程的協(xié)方差函數(shù)可表示為),min(),(tstsBX時間間隔時間間隔Tn的分布的分布設(shè)設(shè)X(t),t0是泊松過程，令是泊松過程，令X(t)表示表示t時刻事件時刻事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，Tn表示從第（表示從第（n-1）次事件）次事件A發(fā)生到發(fā)生到第第n次事件次事件A發(fā)生的發(fā)生的時間間隔時間間隔。定理定理3.2：設(shè)設(shè)X(t),t0為具有參數(shù)為具有參數(shù)的泊松過程，的泊松過程，Tn,n1是是對應(yīng)的對應(yīng)的時間間隔序列時間間隔序列

6、，則隨機變量，則隨機變量Tn是是獨立同分布獨立同分布的均值為的均值為1/的的指數(shù)分布指數(shù)分布。證明證明即即:對于任意對于任意n=1,2, 事件事件A相繼到達的時間相繼到達的時間間隔間隔Tn的分布為的分布為0, 00,1)(ttetTPtFtnTn其概率密度為其概率密度為0,00,)(ttetftTn所以所以,T1服從均值為服從均值為1/的的指數(shù)分布指數(shù)分布。證明：證明： 所以所以,T2也服從均值為也服從均值為1/的的指數(shù)分布指數(shù)分布。同理可以證明同理可以證明：對于任意的：對于任意的n=1,2,事件相繼到事件相繼到達的時間間隔達的時間間隔Tn也服從均值為也服從均值為1/的指數(shù)分布的指數(shù)分布等待時

7、間等待時間Wn的分布的分布等待時間等待時間Wn是指第是指第n次事件次事件A出現(xiàn)的時刻出現(xiàn)的時刻(或第或第n次事件次事件A的等待時間的等待時間)niinTW1因此因此Wn是是n個相互獨立的指數(shù)分布隨機變量之和。個相互獨立的指數(shù)分布隨機變量之和。定理定理3.3：設(shè)設(shè)Wn,n1是與泊松過程是與泊松過程X(t),t0對應(yīng)的對應(yīng)的一個等待時間序列，則一個等待時間序列，則Wn服從參數(shù)為服從參數(shù)為n與與的的分布分布（也稱（也稱愛爾蘭分布愛爾蘭分布），其概率，其概率密度為密度為1(),0( )(1)!0,0nntWtetftnt證明證明證明：證明：到達時間的條件分布到達時間的條件分布假設(shè)在假設(shè)在0,t內(nèi)時間內(nèi)

8、時間A已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確定這一時間到達時間定這一時間到達時間W1的分布。的分布。?1)(|1tXsWP到達時間的條件分布到達時間的條件分布解：解：到達時間的條件分布到達時間的條件分布tststsssFtXW, 10,0, 0)(1)(|1其它,00,1)(1)(|1tstsftXW分布函數(shù)分布函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)設(shè)設(shè)X(t),t0是泊松過程，已知在是泊松過程，已知在0,t內(nèi)事件內(nèi)事件A發(fā)生發(fā)生n次，求這次，求這n次到達事件次到達事件W1W2, Wn的的聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)。解：解：例題例題3.4設(shè)在設(shè)在0,t內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生n次，且次

9、，且0st，對，對于于0kn，求，求PX(s)=k|X(t)=n解：解：例題例題3.5設(shè)在設(shè)在0,t內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生n次，求次，求第第k(kn)次事件次事件A發(fā)生的時間發(fā)生的時間Wk的條件概率的條件概率密度函數(shù)。密度函數(shù)。解解:例題例題3.6設(shè)設(shè)X1 (t),t 0和和X2 (t),t 0是兩個相互獨立的是兩個相互獨立的泊松過程，它們在單位時間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件泊松過程，它們在單位時間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為數(shù)分別為1 1和和2，記，記 為過程為過程X1(t)的的第第k次事次事件到達時間件到達時間， 為過程為過程X2(t)的的第第1次事件到達次事件到達時間時間，求，求) 1 (kW

10、) 2(1W)2(1) 1 (WWPk解：解：W1(2)y yy yW1(2)合合y y非齊次泊松過程非齊次泊松過程允許速率或強度是允許速率或強度是t的函數(shù)的函數(shù)定義定義3.4：稱計數(shù)過程稱計數(shù)過程X(t),t0為具有為具有跳躍強度函數(shù)跳躍強度函數(shù)(t)(t)的非齊次泊松過程，若它滿足下列條件：的非齊次泊松過程，若它滿足下列條件：1.1. X(0)=0X(0)=0；2.2. X(t)X(t)是獨立增量過程；是獨立增量過程；3.3. )(2)()()()(1)()(hotXhtXPhohttXhtXP非齊次泊松過程的非齊次泊松過程的均值函數(shù)均值函數(shù)為為tXdsstm0)()(定理定理3.5：設(shè)設(shè)

11、X(t),t0為具有為具有均值函數(shù)均值函數(shù) 非齊次泊松過程，則有非齊次泊松過程，則有tXdsstm0)()(0),()(exp!)()()()(ntmstmntmstmntXstXPXXnXX或或),(exp!)()(tmntmntXPXnX例題例題3.8設(shè)設(shè)X(t),t0是具有跳躍強度是具有跳躍強度 的非齊次泊松過程（的非齊次泊松過程（0），求），求EX(t)和和DX(t)。)cos1(21)(tt解解:EX(t)= DX(t)001()(1co s()2tts d sw sd s11(sin ()2tw tw例題例題3.9設(shè)某路公共汽車從早上設(shè)某路公共汽車從早上5時到晚上時到晚上9時有車時

12、有車發(fā)出，乘客流量如下：發(fā)出，乘客流量如下：5時按平均乘客為時按平均乘客為200人人/時時計算；計算；5時至時至8時乘客平均到達率時乘客平均到達率按按線性線性增加，增加，8時到達率為時到達率為1400人人/時時；8時至時至18時保持時保持平均到達率平均到達率不變；不變；18時到時到21時從時從到達率到達率1400人人/時按時按線性下降線性下降，到，到21時為時為200人人/時時。假定乘客數(shù)在不相重疊時間間隔。假定乘客數(shù)在不相重疊時間間隔內(nèi)是相互獨立的。內(nèi)是相互獨立的。求求12時至時至14時有時有2000人人來站乘車的概率，并求這兩個小時內(nèi)來站乘來站乘車的概率，并求這兩個小時內(nèi)來站乘車人數(shù)的數(shù)學

13、期望車人數(shù)的數(shù)學期望?解：解：971400ds復(fù)合泊松過程復(fù)合泊松過程定義定義3.5：設(shè)設(shè)N(t),t0是強度為是強度為的泊松過程，的泊松過程，YYk k,k,k=1,2,=1,2, 是一列獨立同分布隨機變量，是一列獨立同分布隨機變量，且與且與N(t),t0獨立，令獨立，令0,)()(1tYtXtNkk則稱則稱X(t),t0為為復(fù)合泊松過程復(fù)合泊松過程。N(t)YkX(t)在時間段在時間段(0,t內(nèi)來到商店的顧客數(shù)內(nèi)來到商店的顧客數(shù)第第k個顧客在商店所花的錢數(shù)個顧客在商店所花的錢數(shù)該商店在該商店在(0,t時間段內(nèi)的營業(yè)額時間段內(nèi)的營業(yè)額 例如：例如： 到達體育場的公共汽車數(shù)是一泊松過程到達體育

14、場的公共汽車數(shù)是一泊松過程,而每輛公共而每輛公共汽車內(nèi)所載的乘客數(shù)是一個隨機變量。若各輛車內(nèi)汽車內(nèi)所載的乘客數(shù)是一個隨機變量。若各輛車內(nèi)的乘客數(shù)的乘客數(shù)Yn服從相同分布服從相同分布,且又彼此統(tǒng)計獨立且又彼此統(tǒng)計獨立,各輛車各輛車的乘客數(shù)和車輛數(shù)的乘客數(shù)和車輛數(shù)N(t)又是統(tǒng)計獨立的又是統(tǒng)計獨立的,則到達體育則到達體育館的總?cè)藬?shù)館的總?cè)藬?shù)X(t)是一個復(fù)合泊松過程是一個復(fù)合泊松過程. ( )1( ),0N tnnX tYt設(shè)設(shè) 是復(fù)合泊松過程，則是復(fù)合泊松過程，則1.1.若若E(YE(Y1 12 2)，則，則0,)()(1tYtXtNkk)(,)(211YtEtXDYtEtXE 例題：例題： 設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一個泊松過程，平均設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一個泊松過程，平均每周內(nèi)有每周內(nèi)有2戶定居，但每戶的人口數(shù)是隨機變量，一戶定居，但每戶的人口數(shù)是隨機變量，一戶戶4人概率為人概率為1/6，一戶，一戶3人概率為人概率為1/3，一戶，一戶2人概率人概率為為1/3，一戶，一戶1人概率為人概率為1/6，求，求5周內(nèi)移民到該地區(qū)周內(nèi)移民到該地區(qū)的人口的數(shù)學期望與方差。的人口的數(shù)學期望與方差。 解：解：( )1( )