1.2-定積分的換元法ppt課件

1、定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時(shí)，上變化時(shí)，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .一、換元公式一、換元公式注注意意 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，換換元元公公式式仍仍成成立立.應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計(jì)計(jì)算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的

2、的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量 t的的上上、下下限限分分別別代代入入)(t 然然后后相相減減就就行行了了. （2）用用)(tx 把變量把變量x換成新變量換成新變量 t時(shí)，積分時(shí)，積分上、下上、下限也相應(yīng)的改變限也相應(yīng)的改變. 例例1 1 計(jì)算計(jì)算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 例例2 2 計(jì)算計(jì)算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sin

3、cosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例4 4 計(jì)算計(jì)算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20c

4、ossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 例例 5 5 當(dāng)當(dāng))(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù)，且且有有 )(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 aadxxf0)(.證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中令中令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf aaaa

5、dxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積* *例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此計(jì)算由此計(jì)算 02cos1sindxxxx. 證證（1設(shè)設(shè)tx 2,dtdx 0

6、x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2設(shè)設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf幾個(gè)特殊積分、定積分的幾個(gè)等式幾個(gè)特

7、殊積分、定積分的幾個(gè)等式定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(二、小結(jié)二、小結(jié)思考題思考題指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯(cuò)錯(cuò)誤誤，并并寫寫出出正正確確的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考題解答思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正確解法是正確解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt

8、 4332.12 一、一、 填空題：填空題：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 計(jì)算下列定積分：計(jì)算下列定積分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （

9、為參數(shù)為參數(shù) ）. .三、三、 設(shè)設(shè) 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf. .四、設(shè)四、設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)，上連續(xù)， 證明證明 babadxxbafdxxf)()(. .五、五、 證明：證明： 1010)1()1(dxxxdxxxmnnm. .六、證明：六、證明： aaadxxfxfdxxf0)()()(, , 并求并求 44sin1xdx. .七、設(shè)七、設(shè) 1,0)(在在xf上連續(xù)，上連續(xù)， 證明證明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、0 0； 2 2、34 ； 3 3、2 ； 4 4、323 ； 5 5、0 0. .二、二、1 1、41； 2 2、3322 ； 3 3、