固體物理(黃昆) 3－1簡約近似簡正坐標(biāo)

1、晶格晶格振動振動格波格波簡諧簡諧近似近似獨(dú)立的振獨(dú)立的振動模式動模式由由B-K邊界條件邊界條件q分分立值立值聲子聲子晶格振動能晶格振動能量量子化量量子化3 31 1 簡諧近似簡諧近似 簡正坐標(biāo)簡正坐標(biāo)晶格振動是晶體中諸原子集體地在作振動，其結(jié)果表現(xiàn)為晶格中的格波。晶格振動是晶體中諸原子集體地在作振動，其結(jié)果表現(xiàn)為晶格中的格波。一般來說，格波不一定是簡諧的，但可以展為簡諧平面波的線性疊加。當(dāng)一般來說，格波不一定是簡諧的，但可以展為簡諧平面波的線性疊加。當(dāng)振動微弱時(shí)，在簡諧近似下，格波直接就是簡諧波。這時(shí)格波之間的相互振動微弱時(shí)，在簡諧近似下，格波直接就是簡諧波。這時(shí)格波之間的相互作用可以忽略，從

2、而可以認(rèn)為它們的存在是相互獨(dú)立的，稱為獨(dú)立的模式。作用可以忽略，從而可以認(rèn)為它們的存在是相互獨(dú)立的，稱為獨(dú)立的模式。每一個(gè)獨(dú)立的模式對應(yīng)于一個(gè)振動態(tài)（每一個(gè)獨(dú)立的模式對應(yīng)于一個(gè)振動態(tài)（q）。晶格的周期性又給予了格波）。晶格的周期性又給予了格波以玻恩卡門周期性邊界條件，使得獨(dú)立的模式即獨(dú)立的振動態(tài)是分立的。以玻恩卡門周期性邊界條件，使得獨(dú)立的模式即獨(dú)立的振動態(tài)是分立的。因此可以用獨(dú)立簡諧振子的振動來表述格波的獨(dú)立模式，這就是聲子概念因此可以用獨(dú)立簡諧振子的振動來表述格波的獨(dú)立模式，這就是聲子概念的由來。聲子就是晶格振動中的簡諧振子。的由來。聲子就是晶格振動中的簡諧振子。從數(shù)學(xué)角度來看，由于晶格振

3、動是晶體中諸原子的集體運(yùn)動，系統(tǒng)的總能從數(shù)學(xué)角度來看，由于晶格振動是晶體中諸原子的集體運(yùn)動，系統(tǒng)的總能量亦即總的哈密頓量必然包含所有原子的速度和坐標(biāo)，如勢能函數(shù)中包含量亦即總的哈密頓量必然包含所有原子的速度和坐標(biāo)，如勢能函數(shù)中包含有依賴兩兩原子坐標(biāo)的交叉項(xiàng)，這就帶來理論表述上的困難。但在簡諧近有依賴兩兩原子坐標(biāo)的交叉項(xiàng)，這就帶來理論表述上的困難。但在簡諧近似下，晶體中格波的模式可以表述為穩(wěn)定的獨(dú)立模式。為此引入正則坐標(biāo)，似下，晶體中格波的模式可以表述為穩(wěn)定的獨(dú)立模式。為此引入正則坐標(biāo)，通過正則變換，把原來的坐標(biāo)系統(tǒng)變換成正則坐標(biāo)系，就可能消去勢能中通過正則變換，把原來的坐標(biāo)系統(tǒng)變換成正則坐標(biāo)系

4、，就可能消去勢能中的交叉項(xiàng)，使得系統(tǒng)的哈密頓量能夠表述成標(biāo)準(zhǔn)式，即哈密頓量對角化。的交叉項(xiàng)，使得系統(tǒng)的哈密頓量能夠表述成標(biāo)準(zhǔn)式，即哈密頓量對角化。這樣就可把晶格振動的總能量表述為獨(dú)立簡諧振子（聲子）能量之和。這樣就可把晶格振動的總能量表述為獨(dú)立簡諧振子（聲子）能量之和。1.簡正坐標(biāo)33 qxn11 q22 q一維單原子鏈的情況一維單原子鏈的情況 naqti)t ,q(nAx einaq)t(q)t ,q(nAxe 由玻恩由玻恩-卡門卡門周期性邊界條件：周期性邊界條件：q可以取可以取N個(gè)值個(gè)值。 qinaqtqnAtxe)()(根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為勢能根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為勢能U和

5、動能和動能T之和。之和。212.)(221 nnnnnxxxmUTH ,2122 qqqQ 21)(2 nnnxxU 則：則：2.21 nnxmT2.21 qqQ qinaqqn,tQNmtx)e(1)(令令拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)：UTL qqqqQQ222.21 推導(dǎo)略推導(dǎo)略 qinaqqn,tQNmtx)e(1)( qinaq*q*n,tQNmtx)e(1)(Xn(t)是實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)，)()(*tQtQqq (1)證明：證明：)t(Q)t(Q*qq )()(*txtxnn qinaqqn,tQNmtx)e(1)( qinaqqn,tQNmtx)e(1)(2)證明：證明： qn,naqnn

6、inq ,q)qqinaNN )(e1e1若若,qq sNaq2 sNaq 2hlNa)ss(Naqq 22l ,s , s 均為整數(shù)。均為整數(shù)。 niahiNahNnniahNninahqqinaNNNNe1e11)(e1e1e11010)(0e1e1122 lNaialNaiNaN,qq 1e1)( nqqinaN2.21 qqQ2.21 nnxmT qinaqq.n.,tQNmtx)e(1)( nqqinaqq.qinaq.,tQtQNT)e()e(21 qnqqinaqq.q.,NtQtQ)(e1)()(21 qqqqqqtQtQ,)()(21,. qqqtQtQ)()(21. qqq

7、tQtQ)()(21.*.)()(*tQtQqq 21)(2 nnnxxU qinaqqaqniqnqqinaqqaniqtQtQtQtQNm)e()e()e()e(2)1()1( ninaqaqniqinaqaniqqqqN)t(Q)t(Qmeeee12)1()1( nqqinaiaqqqinaqiaqqina)qq(a)n(iqqqqN)t(Q)t(Qm)()()(1eeeeee12 nqqinaiaqqqinaqiaqqinaqqaniqqqqNtQtQm)()()()()1(eeeeee1)()(2 q,qiaqqiaqqqqtQtQm ee11)()(2 qqqaqtQtQmcos2

8、2)()(2 2sin4)()(212*aqmtQtQqqq ,2122 qqqQ qiaqiaqqqtQtQmee11)()(2 qqqqQQ222.21 正則動量：正則動量：qqQLP. qQ. 哈密頓函數(shù)：哈密頓函數(shù)： qqqLPHQ.代入正則方程：代入正則方程：qqQHP .qQ.qqQ2 02. qqqQQ kmoxXmaf .xmkx 0. xmkx02. xx 諧振子的振動方程諧振子的振動方程qqqqQQL22221qqqqqqqqQpQHQ222222.2121系統(tǒng)的薛定諤方程系統(tǒng)的薛定諤方程),(),(21321321222NNqqqqQQQEQQQQpiiQip正則動量算符

9、：正則動量算符：任意一個(gè)簡正坐標(biāo)：任意一個(gè)簡正坐標(biāo)：)()(2122222iiiiiiQQQwQqx諧振子諧振子能量量子化能量量子化n En系統(tǒng)的本征態(tài)：系統(tǒng)的本征態(tài)：iNiiNiiwnEE)21(3131)(),(31321NiiniNQQQQininiQHQ)()2exp()(2據(jù)量子力學(xué)，頻率為據(jù)量子力學(xué)，頻率為 i的諧振子的振動能：的諧振子的振動能：iiinE )21()( 由由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈的振動等價(jià)于個(gè)原子組成的一維單原子鏈的振動等價(jià)于N個(gè)諧振子個(gè)諧振子的振動的振動，諧振子的振動頻率就是晶格振動頻率諧振子的振動頻率就是晶格振動頻率。iNiinE 121晶格振動能量：晶格

10、振動能量：三維晶格振動的總能量為：三維晶格振動的總能量為：inNiinE 3121其中其中N為晶體中的原胞個(gè)數(shù)為晶體中的原胞個(gè)數(shù),n為每個(gè)原胞中的原子個(gè)數(shù)為每個(gè)原胞中的原子個(gè)數(shù)。1、什么是簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動、什么是簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？模式數(shù)目是否是一回事？在簡諧近似下，由在簡諧近似下，由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成個(gè)原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動。每個(gè)諧振子的振動模式稱為簡正振個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動。每個(gè)諧振子的振動模式稱為簡正振動模式，它對應(yīng)著所有原子都以該模式的頻率做振動，它是晶動模式，它對應(yīng)著所有原子都以該模式的頻率做振動，它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動方式。原子的振動或格波的格振動模式