數(shù)學(xué)分析14無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

1、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量教學(xué)目的 ：理解無(wú)窮?。ù螅┝考捌潆A的概念。會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)要求 ：作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無(wú)窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。引言在學(xué)習(xí)數(shù)列極限時(shí)，有一類數(shù)列非常引人矚目，它們具有如下特征：lim an 0 . 我們稱之為無(wú)窮小數(shù)n列。通過(guò)前面幾節(jié)對(duì)函數(shù)極限的學(xué)習(xí)。我們可以發(fā)現(xiàn)，在一般函數(shù)極限中也有類似的情形。例如：limsin x0, lim x20,x 0x 0我們給這類函數(shù)一個(gè)名稱“無(wú)窮小量”。既然有“無(wú)窮小量” ，與之對(duì)應(yīng)的也應(yīng)有“無(wú)窮大量” ，那么什么時(shí)“無(wú)窮大量”？進(jìn)一步，這些“量 ” 有哪些性質(zhì)呢？以上就是我們今天要給

2、大家介紹的內(nèi)容無(wú)窮小量與無(wú)窮大量。一、無(wú)窮小量1定義 ：設(shè)在某 U 0 ( x0 ) 內(nèi)有定義。若 limf (x)0 ，則稱為當(dāng) xx0 時(shí)的無(wú)窮小量。記作：x x0f (x)0(1)(xx0 ) .（類似地可以定義當(dāng)x x0, x x0 , x, x, x時(shí)的無(wú)窮小量） 。例： xk (k 1,2,),sin x,1cos x 都是當(dāng) x0 時(shí)的無(wú)窮小量；1x 是當(dāng) x1 時(shí)的無(wú)窮小量；1 sin x, 是 x時(shí)的無(wú)窮小量。x 2 x2無(wú)窮小量的性質(zhì)（）先引進(jìn)以下概念定義 （有界量 ）若函數(shù)在某 U 0 (x0 ) 內(nèi)有界，則稱為當(dāng) xx0 時(shí)的有界量，記作：g( x)O(1)(x x0

3、) .例如： sin x 是當(dāng) x時(shí)的有界量，即sin x O(1)(x) ; sin1 是當(dāng) x0 時(shí)的有界量，即sin 1xO (1)(x 0) .x注：任何無(wú)窮小量都是有界量（局部有界性），即若 f ( x)0(1)(x x0 ) ，則 f (x)O(1)(xx0 ) .區(qū)別 ：“有界量 ”與“ 有界函數(shù) ”。一般在談到函數(shù)是有界函數(shù)或函數(shù)是有界的，意味著存在，在定義域內(nèi)每一點(diǎn)，都有| f (x) | M 。這里“有界”與點(diǎn)無(wú)關(guān)：而有界是與“點(diǎn)有關(guān)”，是在某點(diǎn)的周圍（且除去此點(diǎn)）有界，是一種“局部”的有界。（）性質(zhì)性質(zhì)兩個(gè)（相同類型的）無(wú)窮小量之和、差、積仍為無(wú)窮小量。性質(zhì)無(wú)窮小量與有界

4、是的乘積為無(wú)窮小量。性質(zhì) lim f ( x) Af ( x) A 是當(dāng) xx0時(shí)的無(wú)窮小量 lim( f ( x) A) 0 .x x0x x0例如； lim x2 sin 10 ， lim( x2x3 )0,lim x sin x0 .x0xx0x 0問(wèn)題 ：兩個(gè)（相同類型的）無(wú)窮小量之商是否仍為無(wú)窮小量？考慮：lim x20,limx?,lim x21,lim sin x1,lim2x2 2 .x 0 xx 0 x2x 0 x2x 0xx 0 x2引申 ：同為無(wú)窮小量， limx20，而 limx 不存在？這說(shuō)明“無(wú)窮小量”是有“級(jí)別”的。這個(gè)“級(jí)x 0xx 0x2別”表現(xiàn)在收斂于（或趨

5、近于）的速度有快不慢。就上述例子而言，這個(gè)“級(jí)別”的標(biāo)志是的“指數(shù)”，當(dāng) x0 時(shí)，的指數(shù)越大，它接近于的速度越快。這樣看來(lái)，當(dāng)x0 時(shí)，的收斂速度快于的收斂速度。所以其變化結(jié)果以為主。此時(shí)稱是（當(dāng)x0 時(shí)）的高階無(wú)窮小量，或稱x0 時(shí)， 是的低階無(wú)窮小量。一般地，有下面定義：無(wú)窮小量階的比較（主要對(duì)xx0 敘述，對(duì)其它類似）設(shè)當(dāng) xx0 時(shí)， f , g 均為無(wú)窮小量。（）若 limf ( x)0，則稱xx0 時(shí)為的高階無(wú)窮小量，或稱為的低階無(wú)窮小量，記作x x0 g( x)f ( x) 0(g( x)( xx0 ) . 即 f ( x)0(g( x)( xx0 ) limf (x)0 .g

6、( x)xx0xk11cos xx例 lim0 xk 10( xk )( x01 cos x0(sin x)( x 0) .0) ， limsin xlim tanx 0xkx 0x02問(wèn)題 lim 1x2lim(1x)0 ，此時(shí)是可說(shuō) 1x20(1x)( x1) ？x1 1xx1引申與上述記法： f ( x)0(g( x)( x x0 ) 相對(duì)應(yīng)有如下記法：f ( x) O( g( x)( xx0 ) ，這是什么意思？含義如下：若無(wú)窮小量與滿足關(guān)系式f ( x)L, xU 0 (x0 ) ，則記作 f (x)O( g( x)( xx0 ) .g (x)例如，（） 1cos xO ( x2 )

7、( x0) ， x(2sin x )O( x)( x0) .2（）若 f (x)0(g(x)( xx0 ) f ( x)O(g ( x)( xx0 ) .注等式 f ( x) 0( g( x)( xx0 ) ， f ( x)O( g(x)( xx0 ) 等與通常等式的含義不同的。這里的等式左邊是一個(gè)函數(shù)，右邊是一個(gè)函數(shù)類（一類函數(shù)），而中間的“”叫的含義是“”。例如：1cos x0(sin x)( x0)， 其 中 0(sin x)f | limf (x)0 ，而上述等式表示函數(shù)x0g (x)1c oxsf | limf (x)0 。為方便起見(jiàn)，記作1cos x0(sin x).g( x)x0

8、（）若存在正數(shù)和， 使得在某 U 0 ( x0 ) 上有 Kf ( x)L ，則稱與為當(dāng) xx0 時(shí)的同階無(wú)g( x)窮小量。但 需 要 注 意 ： limf ( x)不存在，并不意味著與不全為同階無(wú)窮小量。如x0g ( x)sin 1 )x(2sin1)sin 1 ) 不存在。但 1x(2sin 1 )lim xlim x(20 ， limxlim(2x3，所x 0x0xx 0xx 0xx以與 x(2sin 1 ) 為當(dāng) x0時(shí)的同階無(wú)窮小量。x由上述記號(hào)可知：若與是當(dāng)xx0 時(shí)的同階無(wú)窮小量，則一定有：f ( x)O( g( x)( xx0 ) 。（）若 limf ( x)1 ，則稱與是當(dāng)

9、xx0 時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小量，記作f ( x)g ( x)( xx0 ) .x x0g ( x)例如：）sin xsin xx( x0) ;） lim2(1 cos x)1 cos xx20) .lim121( xx 0xx 0x2對(duì)于“等價(jià)無(wú)窮小量”有下面的重要的結(jié)論，它在求極限問(wèn)題中有重要作用，稱為求極限的“等價(jià)量法”。定理設(shè)函數(shù)、在 U 0 ( x0 ) 內(nèi)有定義，且有 f ( x)g( x)( x x0).(1) 若 lim f ( x)h(x)A ，則x x0lim g( x) h( x)A ； (2)若 lim h( x)B, ，則 lim h( x)B.x x0xx0 f ( x)x

10、 x0 g( x)例 求 limarctgx.x x0 sin 4x例 求極限 limtgxsin xsin x3.x x0注：在利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限時(shí)，應(yīng)注意：只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替代 , 而對(duì)極限式中相加或相減的部分則不能隨意替代。小結(jié)以上討論了無(wú)窮小量，無(wú)窮小量性質(zhì)。無(wú)窮小量比較。兩個(gè)無(wú)窮小量可比較的特征其商是有界量。但應(yīng)指出，并不是任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以進(jìn)行這種階的比較。例如 lim x sin 1lim x20 .x x0xx x0二、無(wú)窮大量問(wèn)題 “無(wú)窮小量是以為極限的函數(shù)” 。能否仿此說(shuō)“無(wú)窮大量是以為極限的函數(shù)”。答：按已學(xué)過(guò)的極限的定義

11、，這種說(shuō)法是不嚴(yán)格的，講為函數(shù)f ( x) 當(dāng) xx0 時(shí)的極限，意味著是一個(gè)確定的數(shù)，而“”不具有這種屬性，它僅僅是一個(gè)記號(hào)。所以不能簡(jiǎn)單地講“無(wú)窮大量是以為極限的函數(shù)” 。但是，確實(shí)存在著這樣的函數(shù)，當(dāng)x x0 時(shí)， f ( x) 與 ( or) 無(wú)限接近。例如：） f ( x)1，當(dāng) x0 時(shí)，1 與越來(lái)越接近，而且只要與充分接近，1 就會(huì)無(wú)限增xxx大；） f (x)1，當(dāng) x1時(shí)，也具有上述特性。x1在分析中把這類函數(shù)f ( x) 稱為當(dāng) xx0 時(shí)有非正常極限。其精確定義如下：非正常極限定義 （非正常極限 ）設(shè)函數(shù) f ( x) 在某 U 0 (x0 ) 內(nèi)有定義，若對(duì)任給的0，存

12、在0 ，當(dāng)x U 0 (x;)( U0( x )時(shí) 有 | f (x ) | M ， 則 稱 函 數(shù) f ( x)當(dāng) xx0時(shí)有非正常極限，記作00lim f ( x)。x x0注：）若“ | f (x) | M ”換成“f ( x)M ”，則稱 f ( x) 當(dāng) xx0 時(shí)有非正常極限；若換成f ( x)M , 則稱 f ( x) 當(dāng) xx0 時(shí)有 非正常極限 ，分別記作 lim f ( x), limf ( x).xx0x x02)關(guān)于函數(shù)在自變量的其它不同趨向的非正常極限的定義，以及數(shù)列an當(dāng) n時(shí)的非正常極限的定義，都可類似地給出。例如：limf ( x)M0 ，當(dāng) xM 時(shí)， f (

13、x)M ;xlim anM0 ，N0 ，當(dāng) nN 時(shí)， anM .n無(wú)窮大量的定義定義 對(duì)于自變量的某種趨向（或n），所有以,or為非正常極限的函數(shù)（包括數(shù)列），都稱為 無(wú)窮大量 。例如： 1當(dāng) x0 時(shí)是無(wú)窮大量；ax (a1) 當(dāng) x時(shí)是無(wú)窮大量。x2注：）無(wú)窮大量不是很大的數(shù)，而是具有非正常極限的函數(shù);）若為 xx0 時(shí)的無(wú)窮大量，則易見(jiàn)為 U 0 ( x0 ) 上的無(wú)界函數(shù)，但無(wú)界函數(shù)卻不一定是無(wú)窮大量。例如；f ( x) x sin x 在 U () 上無(wú)界，但 lim f (x);）如同對(duì)無(wú)窮小量進(jìn)行階的比較的討論一樣，對(duì)兩個(gè)無(wú)窮大量，也可以定義高x階無(wú)窮大量、同階無(wú)窮大量等概念。

14、利用非正常極限定義驗(yàn)證極限等式例證明 lim1.x 0x2例證明；當(dāng) a1時(shí)， lim ax。x三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系定理（）設(shè)在 U 0 ( x0 ) 內(nèi)有定義且不等于，若為當(dāng)xx0 時(shí)的無(wú)窮小量，則1f為 xx0 時(shí)的無(wú)窮大量；（）若為 xx0 時(shí)的無(wú)窮大量，則1 為 xx0 時(shí)的無(wú)窮小量。g四、曲線的漸近線引言作為函數(shù)極限的一個(gè)應(yīng)用。 我們討論曲線的漸近線問(wèn)題。由平面解析幾何知： 雙曲線 x2y21有兩條a2b2漸近線 xy0 。那么，什么是漸近線呢？它有何特征呢？ab曲線的漸近線定義定義 若曲線上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與某實(shí)直線的距離趨于零，則稱直線為曲線的漸近線。形如 ykxb 的漸近線稱為曲線的斜漸近線；形如xx0 的漸近線稱為曲線的垂直漸近線。曲線的漸近線何時(shí)存在？存在時(shí)如何求出其方程？（）斜漸近線假 設(shè) 曲 線 yf ( x)有 斜 漸 近 線 y kx b，曲線上動(dòng)點(diǎn)到漸近線的距離為|PN | PM cos | f ( x)(kx1依漸近線定義，當(dāng)x時(shí)（ x或 x類似），b) |1k 2|PN |0 ，即有 lim f (x)( kxb) 0lim f (x)kxb ，xx又由lim f (x)xx由上面的討論知，若曲線klim 1 f ( x) kx0