2012高考沖刺不等式篇

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 第六部分不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)精華考試內(nèi)容：不等式不等式的基本性質(zhì)不等式的證明不等式的解法含絕對(duì)值的不等式數(shù)學(xué)探索©版權(quán)所有aaadelvebbb考試要求：數(shù)學(xué)探索©版權(quán)所有aaadelvebbb（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明數(shù)學(xué)探索©版權(quán)所有aaadelvebbb（2）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡單的應(yīng)用數(shù)學(xué)探索©版權(quán)所有aaadelvebbb（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式數(shù)學(xué)探索©版權(quán)所有aaadelvebbb（4）掌握簡單不等式的解

2、法數(shù)學(xué)探索©版權(quán)所有aaadelvebbb（5）理解不等式a-ba+ba+b 不 等 式 知識(shí)要點(diǎn)三.不等式、線性規(guī)劃、算法1.掌握課本上的幾個(gè)不等式性質(zhì)，注意使用條件，另外需要特別注意：若,則.即不等式兩邊同號(hào)時(shí),不等式兩邊取倒數(shù),不等號(hào)方向要改變.如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式,要注意它的正負(fù)號(hào),如果正負(fù)號(hào)未定,要注意分類討論.取倒數(shù):；如，等價(jià)于或2.掌握幾類不等式(一元一次、二次、絕對(duì)值不等式、簡單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式)的解法,尤其注意用分類討論的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標(biāo)根法,零點(diǎn)分區(qū)間法.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))使

3、用條件：“一正二定三相等 ”， 常用的方法為：拆、湊、平方等；(2)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào))；(3)公式注意變形如：,；若,則(真分?jǐn)?shù)的性質(zhì))；4.證明不等式常用方法：比較法：作差比較：.注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難,可以通過它們的平方差來比較大??；綜合法：由因?qū)Ч?；分析法：?zhí)果索因.基本步驟：要證需證,只需證； 反證法：正難則反；放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的.放縮法的方法有：添加或舍去一些項(xiàng),如：；.將分子或分母放大(或縮小)利用基本不等式,如：.利用常用結(jié)論： ； (程度大)； (程度小)；換元法：減少不等式中變量,以使問題化難為易,化繁為簡,常用的換元有三角換元、代

4、數(shù)換元.如：知,可設(shè)；,可設(shè)；6.（1）一元二次不等式或分及情況分別解之，如設(shè),是方程的兩實(shí)根，且，則其解集如下表：或或RRR如解關(guān)于的不等式：。(2)指數(shù)不等式 ；對(duì)數(shù)不等式 （1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，。7線性規(guī)劃二元一次不等式表示某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線。不等式所表示的平面區(qū)域邊界線畫成實(shí)線。說明：（1）取一個(gè)特殊點(diǎn)，從的正負(fù)即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。（2）當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)位于直線=0兩側(cè)，（或） （3）求的最大值，將直線平移正方向服從； （4）表示直線的右側(cè)；表示直線上方；（5）二元一次不等式表示的平面區(qū)域：法一：先把二元一次不等式改寫成或的

5、形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點(diǎn)判斷； 無等號(hào)時(shí)用虛線表示不包含直線，有等號(hào)時(shí)用實(shí)線表示包含直線；設(shè)點(diǎn)，若與同號(hào)，則P，Q在直線的同側(cè)，異號(hào)則在直線的異側(cè)。如已知點(diǎn)A（2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是_（6）線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念：滿足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)；求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題；滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)

6、解；（7）求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？根據(jù)實(shí)際問題的約束條件列出不等式；作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）號(hào)的定義：（2） 不等式的分類：絕對(duì)不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式與異向不等式.（4） 同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)（1）（對(duì)稱性）（2）（傳遞性）（3）（加法單調(diào)性）（4）（同向不等式相加）（5）（異向不等式相減）（6）（7）（乘法單調(diào)性）（8）（同向不等式相乘）（異向不等式相除）（倒數(shù)關(guān)系）（11）（平方法則）（12）（開方法則）3.幾個(gè)重要不等式（1）（2）（當(dāng)僅當(dāng)a=

7、b時(shí)取等號(hào)）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）極值定理：若則：如果P是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最??； 如果S是定值, 那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大. 利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等. （當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（7）4.幾個(gè)著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正數(shù)，那么 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）即：平方平均算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：特別地，（當(dāng)a = b時(shí)，）冪平均不等式：注：例如：.常用不等式的放縮法：（2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)

8、于定義域中任意兩點(diǎn)有則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).5.不等式證明的幾種常用方法 比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）. 步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例 一元一次不等式ax>b解的討論；一元二次不等式ax2+bx+c>0(a0)解的討論.（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 （4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對(duì)值不等式應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值； 應(yīng)用數(shù)形思想；應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化注：常用不等式的解法舉例

9、（x為正數(shù)）： 類似于，試題精粹江蘇省2011年高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試題2（江蘇天一中學(xué)、海門中學(xué)、鹽城中學(xué)2011屆高三調(diào)研考試）已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則= （）8（江蘇天一中學(xué)、海門中學(xué)、鹽城中學(xué)2011屆高三調(diào)研考試）已知點(diǎn)在由不等式組所確定的平面區(qū)域內(nèi)，則所在的平面區(qū)域的面積為 （4）14（江蘇省2010屆蘇北四市第一次聯(lián)考）對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 13. （常州市2011屆高三數(shù)學(xué)調(diào)研）已知，是原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則（1）的最大值為 ；（2）的取值范圍為 .； 14. （常州市2011屆高三數(shù)學(xué)調(diào)研）曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為 . 6（姜堰二

10、中學(xué)情調(diào)查（三）若實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）滿足約束條件，則的最小值為 212. （泰州市2011屆高三第一次模擬考試）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 。；.10（江蘇省南通市2011屆高三第一次調(diào)研測試）若圓C：在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則的最小值為 8、（南通市六所省重點(diǎn)高中聯(lián)考試卷）設(shè) 若2x2，2y2，則z的最小值為 13. （蘇北四市2011屆高三第一次調(diào)研考試）若關(guān)于x的不等式的解集中的整數(shù)恰有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 講評(píng)建議：解決此題最好的方法是觀察，故對(duì)條件兩邊開方，化為，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)數(shù)形結(jié)合解決，當(dāng)然其它的方法也還是有的，教學(xué)中有必要展示學(xué)生解法，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性。絕對(duì)值函數(shù)教學(xué)

11、中要引起重視，絕對(duì)值函數(shù)即是分段函數(shù)。從二次函數(shù)角度也可以解決，主要是讓學(xué)生了解決拋物線開口大小的是二次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的大小。若硬解二次不等式，會(huì)者也可解之，或直接解一次不等式，等等。10、（宿遷市高三12月聯(lián)考）設(shè)，則的最小值是_ _；41 （無錫市1月期末調(diào)研）不等式對(duì)一切非零實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的范圍為 13（徐州市12月高三調(diào)研）若，且，則的最小值為 .410（鹽城市第一次調(diào)研）設(shè)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為35,則的最小值為 . 813. （蘇北四市2011屆高三第二次調(diào)研）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是 13. （蘇州市2011屆高三調(diào)研測試）已知的三邊長滿足，則的取值范圍為 .【

12、解析】通過求得可行域如圖因此可以看作是點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率，。試題精粹江蘇省2010年高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試題一、填空題:13（江蘇省南通市2010年高三二模）如圖正六邊形ABCDEF中，P是CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)（、R），則+的取值范圍是 14（江蘇省南通市2010年高三二模）設(shè)函數(shù)，若存在，使得與同時(shí)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析：由知，又存在，使得知即或，另中恒過，故由函數(shù)的圖象知：若時(shí), 恒大于0，顯然不成立。若時(shí)，若時(shí)，另，顯然不成立。13（江蘇省無錫市2010年普通高中高三質(zhì)量調(diào)研）已知，對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 。解析：由“對(duì)一切恒成立”轉(zhuǎn)化為“的最大值，又知，可轉(zhuǎn)化為求

13、“在上最大值”；因在上為減函數(shù)，的最大值為2；即的最大值為2，所以2；可得或。12（江蘇省泰州市2010屆高三聯(lián)考試題）點(diǎn)在兩直線和之間的帶狀區(qū)域內(nèi)（含邊界），則的最小值為_解析：由，又點(diǎn)在兩直線和之間的帶狀區(qū)域內(nèi)（含邊界）得，根據(jù)二次函數(shù)知的最小值為5.14（江蘇省泰州市2010屆高三聯(lián)考試題）已知實(shí)數(shù)滿足：，且，則的最小值為_ 解析：由知，又可化，所以，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）5(江蘇通州市2010年3月高三素質(zhì)檢測)已知a，b(0，+)，a+b=1，則ab的最大值為 9(江蘇通州市2010年3月高三素質(zhì)檢測)若不等式2x23x+a0的解集為( m,1)，則實(shí)數(shù)m 12（2010年3月蘇

14、、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查一）若不等式對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y總成立的必要不充分條件是，則正整數(shù)m只能取 1或2 9（江蘇省無錫市部分學(xué)校2010年4月聯(lián)考試卷）平面上滿足約束條件的點(diǎn)形成的區(qū)域?yàn)椋瑓^(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱的區(qū)域?yàn)?，則區(qū)域和中距離最近兩點(diǎn)的距離為 。13（江蘇省鹽城市2010年高三第二次調(diào)研考試）若二次函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為 .5、（江蘇省連云港市2010屆高三二模試題）已知不等式對(duì)于,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 13、（江蘇省連云港市2010屆高三二模試題）函數(shù)f(x)是定義在4，4上的偶函數(shù)，其在0，4上的圖象如圖所示，那么不等式 0的解集為 （，1）（1，）13（江蘇省

15、蘇南六校2010年高三年級(jí)聯(lián)合調(diào)研考試）當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_14（江蘇省蘇南六校2010年高三年級(jí)聯(lián)合調(diào)研考試）已知點(diǎn)與點(diǎn)在直線兩側(cè)，則下列說法：； 當(dāng)時(shí)，有最小值無最大值；，使恒成立；當(dāng)且，時(shí)，的取值范圍為，其中正確說法的序號(hào)是_11. （2010年江蘇省蘇北四市高三年級(jí)第二次模擬考試）對(duì)于問題：“已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式解：由的解集為，得的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為”，給出如下一種解法： 參考上述解法，若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為 . 3、（江蘇省南京市2010年3月高三第二次模擬）若，且，則的最大值是 110、（江蘇省南京市2010年3

16、月高三第二次模擬）定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x（0，+）時(shí)，f(x)=,則不等式f(x)<-1的解集是 。7（江蘇省洪澤中學(xué)2010年4月高三年級(jí)第三次月考試卷）設(shè)變量滿足約束條件則的最大值是 。18 二、解答題20(江蘇通州市2010年3月高三素質(zhì)檢測) (本小題滿分16分)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)求的最小值；(3)設(shè)函數(shù)，求不等式的解集.（1）若，則（2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 綜上（3）時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，>0,得：討論得：當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為.20（江蘇省無錫市部分學(xué)校2010年4月聯(lián)考試卷）（16分）已知函數(shù)。（1）若證明：對(duì)于任意的兩個(gè)正

17、數(shù)，總有成立；（2）若對(duì)任意的，不等式：恒成立，求的取值范圍。 所以：在上為增函數(shù)。 即：不等式解題方法不等式這部分知識(shí)，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，對(duì)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)融會(huì)貫通，起到了很好的促進(jìn)作用在解決問題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在了解、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的了解，許多問題，最終都可歸結(jié)

18、為不等式的求解或證明。一、知識(shí)整合 1解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地了解起來，互相轉(zhuǎn)化在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰2整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對(duì)值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)

19、形結(jié)合是解不等式的常用方法方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地了解起來，相互轉(zhuǎn)化和相互變用3在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰 4證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在了解，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)比較法的一般步驟是：作差(商)變形判斷符號(hào)(值)5證明不等式的方

20、法多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng)在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在了解，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч?，為溝通了解的途徑，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的6不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個(gè)條件缺一不可，有時(shí)需要適

21、當(dāng)拼湊，使之符合這三個(gè)條件利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：1.審題，2.建立不等式模型，3.解數(shù)學(xué)問題，4.作答。7通過不等式的基本知識(shí)、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識(shí)中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力在應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí)二、方法技巧1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解，。2.解含參數(shù)不等式時(shí)，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運(yùn)用。3不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適

22、用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)要注意調(diào)整放縮的度。4根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。三、例題分析b)M，且對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有ca，則a=_分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將是解決該問題的突破口怎樣理解“對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有ca”？M中的元素又有什么特點(diǎn)？解：依題可知，本題等價(jià)于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)(2)當(dāng)1y3時(shí)，所以當(dāng)y=1時(shí)，= 4簡評(píng)：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)即求集合M中的元素滿足關(guān)系式

23、例2已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足且，則的最大值是（ ） A B C D 解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識(shí)可得，選D例3數(shù)列由下列條件確定：（1）證明：對(duì)于,（2）證明：對(duì)于證明：（1）（2）當(dāng)時(shí)，=。例4解關(guān)于的不等式：分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對(duì)值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，而是去絕對(duì)值時(shí)必須對(duì)末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當(dāng)。例5若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范圍分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)

24、先將f(x)的表達(dá)形式寫出來即可求得f(-2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解解：因?yàn)閥=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組()變形得()所以f(-2)的取值范圍是6，10解法二(數(shù)形結(jié)合)建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組()所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分因?yàn)閒(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點(diǎn)A(2，1)，B(3，1)時(shí)，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范圍是：6f(-2)10解法三

25、(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10簡評(píng)：(1)在解不等式時(shí)，要求作同解變形要避免出現(xiàn)以下一種錯(cuò)解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11(2)對(duì)這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會(huì)迅速提高例6設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=x，均不相交

26、.試證明對(duì)一切都有.分析：因?yàn)閤R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點(diǎn)確定，故設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)證明：由題意知，a0設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則又二次方程ax2+bx+c=±x無實(shí)根，故1=(b+1)2-4ac0，2=(b-1)2-4ac0所以(b+1)2+(b-1)2-8ac0，即2b2+2-8ac0，即b2-4ac-1，所以|b2-4ac|1簡評(píng)：從上述幾個(gè)例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時(shí)，如果針對(duì)題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑例7某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？解：設(shè)2001年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛。由題意得不不等式過關(guān)