二維渠道中考慮流體黏滯性之瞬變?cè)觳M

1、中國(guó)土木水利工程學(xué)刊第十三卷第三期(民國(guó)九十年)Journal of the Chinese Institute of Civil and Hydraulic Engineering, Vol. 13, No. 3, pp. 585592, 2001二維渠道中考慮流體黏滯性之瞬變?cè)觳M黃煌煇1江文山2唐啟釗2關(guān)鍵詞：造波機(jī)、非線性波、流函數(shù)、渦度。摘要本文建立一數(shù)值模式，模擬計(jì)算二維渠道中考慮流體黏滯性之造波。模式的控制方程式是以流函數(shù)及渦度型式表示，同時(shí)考慮造波板的瞬時(shí)移動(dòng)邊界與自由水面的完全非線性邊界條件。利用瞬時(shí)貼壁座標(biāo)轉(zhuǎn)換，使計(jì)算領(lǐng)域與物理邊界完全契合。使用有限解析法對(duì)控制方程式離散

2、化，配合四階Adams-Bashworth-Moulton方法作時(shí)間微分項(xiàng)處理，求解問(wèn)題。模式計(jì)算結(jié)果除了利用解析解作驗(yàn)證，同時(shí)亦進(jìn)行實(shí)驗(yàn)造波量測(cè)比較。符合線性波條件下，模擬計(jì)算結(jié)果與解析解比較顯示，自由水面波形、波動(dòng)流場(chǎng)及邊界層流動(dòng)特性，兩者均一致。而模式計(jì)算與實(shí)驗(yàn)值比較結(jié)果證明，本文模式可精確的模擬造波板由靜止啟動(dòng)，經(jīng)過(guò)初始發(fā)展階段，最後達(dá)到穩(wěn)定造波過(guò)程所產(chǎn)生之水面波形變化。各種不同的造波條件下，模式計(jì)算與實(shí)驗(yàn)量測(cè)結(jié)果顯示，隨著Ur參數(shù)增大，非線性效應(yīng)增強(qiáng)，頻散效應(yīng)減弱，初始造波過(guò)程，波浪往下游傳遞時(shí)，波高變化愈不明顯。另外模式計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均顯示，隨Ur參數(shù)的增大，造波機(jī)由靜止啟動(dòng)達(dá)到造

3、出穩(wěn)定波形所需的造波週期數(shù)較少，亦即較快達(dá)到穩(wěn)定。NUMERICAL ANALYSIS ON TRANSIENT NONLINEAR WAVES GENERATION INCLUDING VISCOUS EFFECTSHwung-Hweng Hwung Wen-Son Chiang Chii-Jau TangDepartment of Hydraulics and Ocean EngineeringNational Cheng Kung UniversityTainan, Taiwan 70101, R.O.C.Key Words:wave maker, nonlinear wave, str

4、eam function, vorticity.ABSTRACT1國(guó)立成功大學(xué)水利及海洋工程研究所教授兼水工試驗(yàn)所所長(zhǎng)2國(guó)立成功大學(xué)水利及海洋工程研究所博士班研究生、水工試驗(yàn)所助理研究員3國(guó)立成功大學(xué)水利及海洋工程研究所副教授 A numerical model based on the stream function-vorticity form is developed to simulate the wave generated by a piston-type wavemaker at one end of a wave flume. The fully nonlinear free

5、surface boundary conditions are considered by using a time-deforming grid system to confirm all moving boundaries. With the fourth order Adams-Bashworth-Moulton treatment in time, the time-accurate solutions are obtained by finite-analytic method. The validation for a linear wavemaker problem illust

6、rates that the calculated free surface profiles, flow fields and flow characteristics inside the bottom boundary layer agree well with linear first order analytic solution. For nonlinear wave generation problems, the wavemaker is accelerated initially from rest to its final steady oscillation. The n

7、umerical result shows good consistency with the experimental data for whole evolution process from rest to steady waveform generation. According to experimental and numerical results, nonlinearity enhances and dispersion effect weakens as Ur increases, which induces to wave height slightly decreases

8、 as wave propagates downstream. Meanwhile, the number of wave cycles before steady waveform generation decreases as Ursell number increases.一、前言就海岸工程的研究而言，由於現(xiàn)場(chǎng)量測(cè)所需的人力、物力相當(dāng)可觀，再加上受限於自然天候的因素，因此通常只能進(jìn)行局部而且短暫的現(xiàn)場(chǎng)量測(cè)。至於較全面而且詳細(xì)的研究，則有賴物理模型實(shí)驗(yàn)。然而要對(duì)海岸工程物理模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果有正確的分析，則需先對(duì)造波機(jī)造出的波場(chǎng)有充分的了解，尤其是非線性造波時(shí)，造波機(jī)本身之操控與反應(yīng)特性，對(duì)形成

9、波浪之相互作用影響探討，更是重要。因此造波及其波流場(chǎng)特性分析，是物理模型實(shí)驗(yàn)探討海岸工程問(wèn)題中，相當(dāng)重要且屬基礎(chǔ)性的課題。一般而言，海岸工程實(shí)驗(yàn)室造水波主要有兩種方式，一為利用吹風(fēng)造波，另一為利用機(jī)械運(yùn)動(dòng)造波。近年來(lái)隨著電腦的發(fā)展，利用數(shù)值計(jì)算模擬機(jī)械造波的方法亦逐漸被採(cǎi)用。以數(shù)值虛擬造波可不受限造波機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與經(jīng)費(fèi)時(shí)程之限制，但需經(jīng)極嚴(yán)謹(jǐn)之驗(yàn)證評(píng)估，方能得到可靠的應(yīng)用。本文之研究係以嚴(yán)謹(jǐn)方式評(píng)估利用數(shù)值計(jì)算模擬於二維水槽中造波現(xiàn)象，除了與現(xiàn)有理論及實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較波形外，尚探討內(nèi)部流場(chǎng)特性，將可更深入了解波流作用機(jī)制與相關(guān)現(xiàn)象。Kennard 1 研究利用活塞式 (piston-type)

10、造波機(jī)造波之起始邊界值問(wèn)題，得到一積分型式的解析解，用以描述因造波板運(yùn)作，使得水面由靜止，發(fā)展至穩(wěn)定波形的過(guò)程，Hudspeth和Chen 2 進(jìn)一步推導(dǎo)可應(yīng)用於不同造波板運(yùn)動(dòng)型式且兩種水深情況的線性解析解，Lee等人 3 利用分離變數(shù)法配合Fourier轉(zhuǎn)換與Laplace轉(zhuǎn)換得到線性造波理論解析解。Madsen 4 利用Stokes展開(kāi)，忽略減衰成份波 (evanescent mode) 的影響，推導(dǎo)二階活塞式造波理論解，其理論解析結(jié)果顯示，由於造波板運(yùn)動(dòng)邊界條件與Stokes波速度剖面之間的差異，因此伴隨二階造波項(xiàng)的引入，波場(chǎng)中會(huì)出現(xiàn)二階自由波。Hudspeth和Sulisz 5 推導(dǎo)得

11、到完整的二階造波理論，進(jìn)而證明減衰成分波對(duì)造波流場(chǎng)中之週期平均速度具重要影響。Goda 6 忽略減衰波的影響，推導(dǎo)出活塞式造波的三階理論解，其結(jié)果顯示除強(qiáng)制波與自由波之外，尚出現(xiàn)另一種介面波 (interface wave) 的成份。由以上文獻(xiàn)的大略回顧可以了解，對(duì)於造波理論的基本問(wèn)題與現(xiàn)象，以往的研究成果已可提供相當(dāng)豐碩的結(jié)果可供參考。然以上文獻(xiàn)的理論發(fā)展都是考慮在勢(shì)能流的條件且應(yīng)用的邊界較規(guī)則者，再加上其數(shù)學(xué)解析過(guò)程繁瑣且複雜，對(duì)於進(jìn)一步應(yīng)用於實(shí)際包含黏滯性影響或複雜邊界形狀時(shí)，理論的發(fā)展往往遭遇極大的困難。至於數(shù)值造波問(wèn)題的研究，基本上可以分為三種類型： 1.為基於流體為不可壓縮及流場(chǎng)為

12、非旋流的假設(shè)，求解勢(shì)能流的Laplace方程，通常是以邊界積分法求解。此方法對(duì)於非線性的自由表面波可以得到相當(dāng)精確的結(jié)果，然而對(duì)於受黏滯性影響的流場(chǎng)則無(wú)法應(yīng)用，此類方法之研究如Yao等人 7 求解波浪邊頻 (side-band) 不穩(wěn)定現(xiàn)象引起的碎波，Zhang和Williams 8 計(jì)算二維渠道的造波問(wèn)題。 2.是根據(jù)淺水波的假設(shè)將問(wèn)題簡(jiǎn)化為求解長(zhǎng)波方程，其主要論點(diǎn)在於利用長(zhǎng)波的假設(shè)，將問(wèn)題的維度 (dimension) 減少一維，如此則計(jì)算機(jī)的容量需求減少，且計(jì)算時(shí)間節(jié)省，方便應(yīng)用，然受限於其基本假設(shè)，無(wú)法對(duì)各種相對(duì)水深條件下的波浪特性作整體描述，如Chapalain等人 9 利用數(shù)值解析

13、Boussinesq方程組，探討長(zhǎng)波在等深渠道中傳播過(guò)程的變形。 3.為求解完整的Navier-Stokes方程式，如Armenio 10 計(jì)算波浪通過(guò)水中結(jié)構(gòu)物時(shí)，因黏滯性影響造成的流動(dòng)分離現(xiàn)象，Huang等人 11 模擬考慮黏滯性之造波流場(chǎng)，前述二文章均是在固定格網(wǎng)系統(tǒng)直接求解速度及壓力場(chǎng)。就求解Navier-Stokes方程而言，因其為描述流體運(yùn)動(dòng)的一般化方程式，沒(méi)有勢(shì)能流等的限制，而且可適用於各種相對(duì)水深的波浪條件。然而一般直接求解速度及壓力場(chǎng)的方式計(jì)算相較繁複，往往使計(jì)算效率降低。而且使用固定格網(wǎng)系統(tǒng)處理自由液面條件時(shí)，因格網(wǎng)位置未能貼合液面而需複雜內(nèi)插，導(dǎo)致自由水面條件及位置的描述

14、不夠精確。本文的目的在克服上述的困難，發(fā)展一較精確、效率較高且可兼顧黏滯性影響與各種相對(duì)水深條件均能應(yīng)用的波流數(shù)值模式。模式的控制方程式是由Navier-Stokes方程式出發(fā)，引入流函數(shù)、渦度與速度場(chǎng)的關(guān)係，將原來(lái)求解速度與壓力的Navier-Stokes方程，轉(zhuǎn)換為流函數(shù)的Poisson方程，與渦度的傳輸擴(kuò)散方程。至於自由水面的不規(guī)則邊界及造波板瞬時(shí)位置，則利用瞬時(shí)貼壁座標(biāo)轉(zhuǎn)換，使計(jì)算格網(wǎng)與物理移動(dòng)邊界隨時(shí)契合，而得到較精確的處理。數(shù)值計(jì)算之結(jié)果，亦與實(shí)驗(yàn)造波之波流場(chǎng)量測(cè)比較，以作為模式計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證之依據(jù)。二、數(shù)學(xué)模式考慮二維斷面水槽中，一端 (左邊界) 裝置活塞式造波機(jī)，由於造波板運(yùn)動(dòng)對(duì)

15、水體作功，使得自由水面形成波動(dòng)，因此，造波板與自由液面均為瞬時(shí)變動(dòng)的邊界。渠道底部必須滿足不透水邊界，而且當(dāng)考慮黏滯性時(shí)，尚須滿足不滑動(dòng)邊界條件；右邊界為垂直壁邊界需滿足不透水邊界，問(wèn)題描述如圖1所示。圖1 二維渠道造波問(wèn)題示意圖2.1 流場(chǎng)控制方程式茲考慮二維波流場(chǎng)之流體為不可壓縮，定義流場(chǎng)中之流函數(shù) y (stream function)、渦度 w (vorticity) 與流體速度關(guān)係如下：(1)(2)選取無(wú)因次化之特性參數(shù)：長(zhǎng)度為靜水深d、速度為、流函數(shù)為、壓力為、時(shí)間為，將各物理量無(wú)因次化，其中g(shù)為重力加速度。以下若無(wú)特別說(shuō)明，下標(biāo)即代表微分。則可將流體運(yùn)動(dòng)控制方程式轉(zhuǎn)換為流函數(shù)的P

16、oisson方程與渦度的傳輸擴(kuò)散方程式如下，參考Currie 12：(3)(4)式中Reynolds數(shù)定義為 (v為流體運(yùn)動(dòng)黏滯係數(shù))，t 為無(wú)因次化時(shí)間。由於自由液面之波浪傳播運(yùn)動(dòng)為一不規(guī)則且具瞬時(shí)變動(dòng)特性，因此採(cǎi)用瞬時(shí)貼壁座標(biāo)系統(tǒng)以描述物理邊界之不規(guī)則形狀。卡氏直角座標(biāo)系統(tǒng) (x, y) 與一般移動(dòng)曲線座標(biāo)系統(tǒng) (x, h) 間之轉(zhuǎn)換必須符合一對(duì)一且映成關(guān)係，即滿足J = xx yh xh yx ¹ 0。經(jīng)座標(biāo)轉(zhuǎn)換後之流場(chǎng)控制方程式為(5)(6)上述式(5)及(6)中，各幾何參數(shù)分別為： 、及。因此，、為流體相對(duì)於格網(wǎng)移動(dòng)之傳輸速度的 (x, h) 抗變分量。式(5)及(6)用以

17、求解 y 與 w。若不考慮黏滯性效應(yīng)，則令 w = 0僅以式(5)求解 y 即可。2.2 初始與邊界條件經(jīng)變數(shù)及座標(biāo)轉(zhuǎn)換後初始條件與邊界條件如下：1. 初始條件：初始狀態(tài)造波板固定，水體靜止。(7)其中XL(t) (無(wú)因次x座標(biāo)值) 係給定造波板位置，為隨時(shí)間變動(dòng)的函數(shù)，XR為固定之右邊界位置，z 為無(wú)因次化自由液面水位。2. 造波板邊界條件：水槽左端為活塞式造波板，造波板運(yùn)動(dòng)位移為給定函數(shù)，或由實(shí)驗(yàn)量得，根據(jù)造波板的移動(dòng)，流場(chǎng)的範(fàn)圍跟著調(diào)整，造波板上的流體速度等於造波板運(yùn)動(dòng)速度，造波板上採(cǎi)用滑動(dòng)邊界條件。(8)XL¢(t) 為造波板移動(dòng)速度。式(8)中c值表示由造波板底部滲漏之流量

18、 (單位寬度)，本文以c = 0考量之。3. 下游邊界條件：水槽右端為不透水垂直壁，必須滿足不可穿透條件，壁上採(cǎi)用滑動(dòng)邊界條件。 (9)4. 底部邊界條件：水槽底部為一不透水邊界，且考慮流體黏滯性，水槽底部必須滿足不滑動(dòng)條件。 (10)5. 自由液面運(yùn)動(dòng)邊界條件：定義自由液面上之水粒子，保持於該界面上。 (11)6. 自由液面動(dòng)力邊界條件，參考張 13：作用於自由水面之壓力為均勻分布，並忽略自由水面的表面張力效應(yīng)及渦度。(12)上式中三、數(shù)值方法本節(jié)討論如何以有限解析法，將理論模式中的控制方程式離散化，配合瞬時(shí)貼壁格網(wǎng)的佈置，使計(jì)算領(lǐng)域與物理邊界完全契合，進(jìn)而求解此二維渠道之造波問(wèn)題。3.1

19、瞬時(shí)貼壁格網(wǎng)佈置波動(dòng)問(wèn)題的主要幾何特性為自由液面邊界具瞬時(shí)變動(dòng)與不規(guī)則形狀變化，且該處邊界條件所表現(xiàn)之物理現(xiàn)象與流動(dòng)特性極為重要，因此模式對(duì)自由水面位置與相關(guān)條件精確解析的能力，是影響計(jì)算結(jié)果的重要因素。本文計(jì)算格網(wǎng)採(cǎi)用對(duì)不規(guī)則邊界描述能力較佳的瞬時(shí)貼壁座標(biāo)格網(wǎng)系統(tǒng)。根據(jù)微分幾何關(guān)係與所使用格網(wǎng)的方便性，x 定值之格線均採(cǎi)垂直線 (h 線) 分佈，而可分成兩個(gè)部份佈置，第一個(gè)部分為水平距離造波板三倍水深以內(nèi)的範(fàn)圍，其 h 格線位置隨造波板運(yùn)動(dòng)而水平調(diào)整，格點(diǎn)水平間距採(cǎi)瞬間均勻分布，第二個(gè)部份為距離造波板三倍水深以外的範(fàn)圍，其 h 線位置為固定不動(dòng)，格點(diǎn)水平間距為均勻分布。至於 h 定值之格線

20、(x 線) 則由垂直向之上下兩邊界 (上邊界為自由水面，下邊界為渠道底床) 平均分配，故任兩 x 線間距為 z(x, t) 之函數(shù)，隨時(shí)間變動(dòng)。上述方法即為代數(shù)產(chǎn)生格網(wǎng)法。以代數(shù)法生成之格網(wǎng)，不但可節(jié)省計(jì)算時(shí)間亦可避免生成格網(wǎng)過(guò)程中之不安定性 (如解微分方程法引起者)，不致造成格網(wǎng)疊代計(jì)算上之發(fā)散及震盪等問(wèn)題。3.2 控制方程式與邊界條件離散化本文模式中內(nèi)部流場(chǎng)控制方程式以有限解析法 (Finite Analytic Method) 離散，選取該法的主要考量在於其離散式是根據(jù)傳輸擴(kuò)散方程式的基本解而來(lái)，具較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)，而且流場(chǎng)的物理特性，會(huì)自然反映在離散式中，因此更具物理意義。採(cǎi)用九點(diǎn)權(quán)重

21、分配之離散方式，經(jīng)整理後可表示為：(13)其中含下標(biāo)p者表示欲求解格點(diǎn)之變數(shù)值，含下標(biāo)nb者表示欲求解格點(diǎn)之周圍鄰近格點(diǎn)之變數(shù)值，Cnb、Cnb* 及CP、Cp* 稱為F.A. 係數(shù)，為源項(xiàng)，其表示式見(jiàn)附錄。自由液面條件中對(duì) x 微分項(xiàng)以中央插分離散化，對(duì) h 微分項(xiàng)以一階後項(xiàng)差分表示，左右邊界引用單邊二階差分法離散。至於時(shí)間微分項(xiàng)，在自由液面動(dòng)力邊界條件之處理，採(cǎi)用二階段平均隱式法近似，如Tang和Chang 14；在自由水面運(yùn)動(dòng)邊界條件，則以四階Adams-Bashworth- Moulton方法處理。運(yùn)動(dòng)條件用以決定自由水面的位置 z、動(dòng)力條件決定自由水面的流函數(shù)值 y。離散化後內(nèi)部流場(chǎng)

22、之流函數(shù)值與渦度值分別是以逐線超鬆馳 (LSOR) 與逐線降鬆馳 (LSUR) 及高斯消去法分別求得 (內(nèi)部迴圈) 收歛解，再以反覆疊代使自由液面、左右邊界條件及內(nèi)部流場(chǎng)解 (外部迴圈) 皆完全收歛，而得時(shí)間精確解。求解 y 與 w 之收斂精度則分別設(shè)為106及104。四、模型實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ接?jì)算之外，本研究亦進(jìn)行實(shí)驗(yàn)造波量測(cè)，以供兩者比較與驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)使用之水槽長(zhǎng)1500cm、寬30cm、深70cm，兩側(cè)為厚度1cm的強(qiáng)化透明玻璃，水槽底部為一不銹鋼板，分為兩段：前段為長(zhǎng)923cm之水平固定底床，後段為577cm長(zhǎng)之7/100坡度底床，水槽一端裝置一部活塞式規(guī)則造波機(jī)。右端邊界與計(jì)算模式雖有不同，但對(duì)

23、實(shí)驗(yàn)初期比較非線性波現(xiàn)象足敷使用。造波機(jī)為一機(jī)械螺桿電動(dòng)裝置，其運(yùn)作過(guò)程由靜止啟動(dòng)時(shí)，將經(jīng)過(guò)不穩(wěn)定的加速變化時(shí)期而達(dá)穩(wěn)定，為模擬此一完整過(guò)程，數(shù)值計(jì)算時(shí)所需的造波板運(yùn)動(dòng)位移條件必須由實(shí)驗(yàn)值提供，因此實(shí)驗(yàn)時(shí)必須同時(shí)量測(cè)造波板運(yùn)動(dòng)狀況與水位變化，造波板的運(yùn)動(dòng)狀況量測(cè)，以位移計(jì)直接量測(cè)造波板位移，經(jīng)一次微分得到速度，作為數(shù)值模式輸入的條件。實(shí)驗(yàn)時(shí)使用的電子量測(cè)儀器主要為L(zhǎng)VDT變位計(jì)與電容式水位計(jì)，變位計(jì)用以量測(cè)造波板的位移記錄，而水位計(jì)則量測(cè)水位變化。每次實(shí)驗(yàn)前、後變位計(jì)與波高計(jì)均經(jīng)過(guò)率定檢核，由率定資料顯示水位、變位與輸出電壓之線性轉(zhuǎn)換相關(guān)係數(shù)皆達(dá)0.99以上，證明水位變化與儀器輸出訊號(hào)具準(zhǔn)確線

24、性關(guān)係，水位計(jì)於靜態(tài)率定時(shí)，其訊號(hào)跳動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差值為0.02Volt，以實(shí)際量測(cè)訊號(hào)介於 5Volt 5Volt，相對(duì)應(yīng)之量測(cè)波高範(fàn)圍20cm而言，則因水位量測(cè)可能的波高誤差為0.08cm。為了方便實(shí)際觀察與資料分析，在實(shí)驗(yàn)前，均將造波板移動(dòng)到最後端，啟動(dòng)造波機(jī)的同時(shí)，亦開(kāi)始造波板位移與水位量測(cè)，水位量測(cè)點(diǎn)布置於造波板運(yùn)動(dòng)中心前距離1、4、7及10倍水深處，均沿渠道中心線布置，造波板位移與水位取樣頻率設(shè)定為100Hz，每次取樣時(shí)間至少為30秒。經(jīng)過(guò)數(shù)次的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)造波板與水槽底部、側(cè)壁之間的間隙，對(duì)波高有相當(dāng)?shù)挠绊?，即使該間隙只有3mm，當(dāng)造波板運(yùn)作時(shí)，水經(jīng)由兩側(cè)間隙處滲漏產(chǎn)生液面渦流，使得造

25、出的波高較線性造波理論值明顯偏小，於是乃以塑膠材質(zhì)的軟墊填充造波板與水槽的間隙，但為使造波板順利運(yùn)動(dòng)，故仍儘量使間隙減小以降低上述效應(yīng)。模型實(shí)驗(yàn)條件分成四種，如表1所示，其中S與T為造波板之衝程與週期，H代表波高，L為根據(jù)線性理論計(jì)算之波長(zhǎng)，而Ur參數(shù)代表非線性與頻散效應(yīng)之比。表1 造波實(shí)驗(yàn)條件衝程週期靜水深相對(duì)水深非線性波參數(shù)CaseS (m)T (sec)d (m)d/LUr = (HL2/d3)A0.02220.6220.1950.33491.494B0.02360.9050.1950.18463.767C0.02411.2340.1950.12515.840D0.03581.5520.

26、1950.096110.115五、結(jié)果與討論本文發(fā)展之造波計(jì)算模式共有三種結(jié)果驗(yàn)證，第一種為非黏性線性瞬變?cè)觳ㄖ?yàn)證，與Lee 3 之一階瞬變?cè)觳ń平獗容^定點(diǎn)水位變化，並與一階穩(wěn)定造波解析解，如Dean and Dalrymple 15，比較穩(wěn)定波形及流速剖面；第二種為考慮黏性效應(yīng)之波動(dòng)流場(chǎng)驗(yàn)證，與一階線性波動(dòng)底部邊界層流理論相比較。第三種則利用本研究實(shí)驗(yàn)造波量測(cè)到之定點(diǎn)水位變化作驗(yàn)證。5.1 非黏性理論線性造波驗(yàn)證設(shè)定計(jì)算條件為水深3.5m，水槽長(zhǎng)度210m，週期2秒，造波衝程0.1m，相對(duì)水深0.56，造波時(shí)間40秒，並利用Lee等人 3 推導(dǎo)的一階近似解析解加以驗(yàn)證。圖2為上述造波條件

27、下，模式計(jì)算結(jié)果與Lee等人 3 解析結(jié)果在距離造波板1倍水深與3倍水深處，水位變化時(shí)序列的比較，顯示造波板由開(kāi)始造波至波浪場(chǎng)達(dá)穩(wěn)定的過(guò)程，模式計(jì)算結(jié)果與理論解都非常吻合。進(jìn)一步選擇波場(chǎng)達(dá)穩(wěn)定時(shí)段，造波時(shí)間介於10至12週期，在距離造波板1、4、7及10倍水深的位置，分析模式計(jì)算之波高，其間差異均小於平均波高的4%。根據(jù)模式計(jì)算結(jié)果與理論解析之水位時(shí)序列資料，進(jìn)行不同位置間之水位相位差分析，進(jìn)而計(jì)算得到模式的波速為3.18m/s，而理論的波速為3.12m/s，兩者差異0.9%。圖2 模式計(jì)算與理論計(jì)算之水位時(shí)序列比較依據(jù)線性造波理論造波板啟動(dòng)後，經(jīng)過(guò)數(shù)個(gè)週期的運(yùn)作，若無(wú)反射波的影響，波浪場(chǎng)將會(huì)

28、達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)空間上固定位置之波高一定且波形不變。圖3為達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，距離造波板5倍水深處，模式計(jì)算之一週期波形變化與微小振幅波之理論解比較，兩者波形的差異量，其值皆在波高的2.3% 以內(nèi)，顯示模式計(jì)算達(dá)穩(wěn)定時(shí)，亦能符合穩(wěn)定狀態(tài)的理論解析解。圖4及圖5為達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，距離造波板5倍水深處，一週期內(nèi)模式計(jì)算之各相位水平速度剖面及垂直速度剖面與微小振幅波之理論解比較，因自由水面位置，在模式計(jì)算中是隨波峰、波谷而高低起伏，而理論解析是計(jì)算在平均水面處，故在靠近自由水面有相對(duì)較大的差異，但整體上看來(lái)趨勢(shì)完全一致，且其間差異均屬微小量。圖3 模式計(jì)算之穩(wěn)定波形與理論波形之比較圖4模式計(jì)算之水平速

29、度剖面與理論值之比較(圖中符號(hào)與圖3之符號(hào)所在相位對(duì)應(yīng))圖5模式計(jì)算之垂直速度剖面與理論值之比較(圖中符號(hào)與圖3之符號(hào)所在相位對(duì)應(yīng))由以上的比較討論，證明在線性波條件下，不論是瞬時(shí)水位變化、穩(wěn)定狀態(tài)的波形或瞬時(shí)流場(chǎng)之速度剖面，本文模式計(jì)算結(jié)果與理論解析結(jié)果都相當(dāng)吻合。5.2 考慮黏滯性之線性波流場(chǎng)驗(yàn)證考慮流體具黏滯性時(shí)，流場(chǎng)內(nèi)靠近底床部份與近水面處均會(huì)有一邊界層區(qū)域，其流況主要受黏滯效應(yīng)影響，因水面附近之邊界層效應(yīng)較底床微小，故一般均不需特別考量。本文亦僅討論近底床之邊界層流況。該區(qū)域非常小，因此計(jì)算上要兼顧效率且能顯現(xiàn)出此區(qū)域流況特性，計(jì)算格網(wǎng)需適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。沿水槽方向的格網(wǎng)佈置如3.1節(jié)所述

30、，沿水深方向的格網(wǎng)，則是採(cǎi)自水面至底床相鄰格網(wǎng)間距等比例縮小的方式佈置。圖6為波高1.02cm，週期1.25秒，水深0.4m之造波條件，模式計(jì)算之自由表面波形與微小振幅波解析解比較，兩者幾乎完全一致，顯示在此線性波浪條件下，考慮流體的黏滯性與否對(duì)波形並無(wú)明顯影響，而僅對(duì)底床局部流場(chǎng)有高階效應(yīng) (Longuet-Higgins 16 )。圖7及圖8分別是相對(duì)於圖6中6個(gè)不同符號(hào)所示相位，其邊界層內(nèi)水平及垂直速度剖面與線性解析解比較圖，此圖顯示邊界層內(nèi)的水平速度極值遠(yuǎn)大於垂直速度，且水平速度剖面存在明顯的超射現(xiàn)象，而垂直速度則沒(méi)有，這些特性模式計(jì)算均與理論解完全一致，證明本文模式考慮黏滯性計(jì)算結(jié)果

31、的正確性。圖6 考慮黏滯性計(jì)算結(jié)果之波形與解析解之比較圖7 模式計(jì)算邊界層內(nèi)水平速度剖面與解析解之比較圖8 模式計(jì)算邊界層內(nèi)垂直速度剖面與解析解之比較經(jīng)過(guò)上述兩小節(jié)討論，線性造波驗(yàn)證及受黏滯性影響產(chǎn)生之波動(dòng)底部邊界層流場(chǎng)的驗(yàn)證，均證明本文模式分析波動(dòng)流場(chǎng)的合理性與正確性。5.3 實(shí)驗(yàn)水槽造波驗(yàn)證在符合線性造波條件下，已有簡(jiǎn)單的理論解可茲比較，但是在波浪尖銳度趨大而相對(duì)水深趨小的非線性波情況下，則牽涉到非線性效應(yīng)，其造波理論相當(dāng)複雜。本文將利用造波水槽實(shí)驗(yàn)實(shí)際量測(cè)資料，作局部模式的驗(yàn)證。圖9為根據(jù)表1中四組造波條件變位計(jì)所量測(cè)造波板的位移時(shí)間記錄，利用零上切法 (zero-up crossing

32、) 計(jì)算得到之造波板運(yùn)動(dòng)週期。由圖中可見(jiàn)週期的變化由造波板啟動(dòng)後逐漸變短，最後達(dá)穩(wěn)定，週期越短的條件越慢達(dá)穩(wěn)定。caseA造波條件下，於距離造波板1、7及10倍水深位置處，理論解析、模式計(jì)算與實(shí)驗(yàn)量測(cè)水位比較如圖10。基本上看來(lái)，模式計(jì)算之波形由起始到穩(wěn)定階段皆能很吻合的描述實(shí)驗(yàn)量測(cè)的結(jié)果，而Lee等人 3 之一階近似解析解在初始階段明顯偏離實(shí)驗(yàn)與計(jì)算值。主要原因?yàn)槔碚摰陌l(fā)展是假設(shè)造波機(jī)一啟動(dòng)即以固定週期與衝程運(yùn)作，本文所使用之造波機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)則非如此。由圖9的分析明確顯現(xiàn)本文所使用之造波機(jī)的運(yùn)作，一開(kāi)始週期較長(zhǎng)，而後逐漸縮短達(dá)穩(wěn)定，衝程是由大轉(zhuǎn)小逐漸穩(wěn)定。顯然在初始啟動(dòng)階段實(shí)際造波機(jī)的運(yùn)作情況

33、與理論的基本假設(shè)不符合，而咸信一般造波機(jī)皆很難與這些理論符合。故應(yīng)用一般造波理論解析的波形與實(shí)驗(yàn)值有明顯差異，而本研究發(fā)展之模式中並未限制造波板的運(yùn)動(dòng)條件，是由實(shí)驗(yàn)量測(cè)給定，故可以得到與實(shí)驗(yàn)值吻合的結(jié)果。圖9 造波機(jī)由啟動(dòng)至達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)週期之演變圖10 模式計(jì)算、理論解析與實(shí)驗(yàn)量測(cè)之水位比較 (caseA)圖11 模式計(jì)算與實(shí)驗(yàn)量測(cè)之波形比較 (caseB) caseB與caseD造波條件下，模式計(jì)算與實(shí)驗(yàn)量測(cè)的水位比較如圖11及圖12?？梢园l(fā)現(xiàn)初始造波階段其間的差異比較大，一個(gè)共同現(xiàn)象為實(shí)驗(yàn)量測(cè)的波峰偏低。其原因可能為造波過(guò)程中，水由造波板與水槽壁間之間隙向造波板移動(dòng)反方向流動(dòng)，同時(shí)造波板傳

34、遞給其前方流體的能量亦由此間隙滲漏，導(dǎo)致實(shí)測(cè)波高較計(jì)算波高為小。其次，由於非線性的增強(qiáng)，波形明顯出現(xiàn)波峰、波谷之不對(duì)稱的現(xiàn)象，而且不同位置的波形不盡相同，亦即波浪往下游傳遞的過(guò)程中，其波形不保持固定，此等現(xiàn)象模式計(jì)算結(jié)果均與實(shí)驗(yàn)量測(cè)有良好的一致性。經(jīng)由與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，證明由造波機(jī)啟動(dòng)後直到穩(wěn)定造波狀態(tài)的過(guò)程，本模式皆可合理的模擬其水位變化，而線性造波理論解析解在造波機(jī)初啟動(dòng)時(shí)期的不穩(wěn)定過(guò)程，對(duì)水位變化的解析結(jié)果則有較大誤差。圖13為根據(jù)表1之四組造波條件，在距離造波板運(yùn)動(dòng)中心前1、4、7及10倍水深處，量測(cè)到之波高的演變，由圖中可見(jiàn)在初始造波階段，非線性波參數(shù)最小者 (caseA)，前幾個(gè)波的

35、波高往下游傳遞時(shí)有明顯降低，而配合空間波形變化的時(shí)序列圖14，可以發(fā)現(xiàn)伴隨波高的變小，其波形佔(zhàn)據(jù)的範(fàn)圍逐漸擴(kuò)大。而非線性波參數(shù)最大者 (caseD)，波往下游傳遞時(shí)，波高並無(wú)明顯變化。另外圖13亦顯示caseA (ur = 1.494) 直到造出第12個(gè)波，其波高在空間上不同位置才保持為定值的狀態(tài)。而由caseD (ur = 10.115) 可發(fā)現(xiàn)在空間上沿水槽往下游方向，其造出之波高皆保持近定值狀態(tài)，在時(shí)間上則至造出第7個(gè)波以後，其波高已達(dá)定值。由此可見(jiàn)從造波機(jī)啟動(dòng)到造出穩(wěn)定波浪，其間所需的運(yùn)轉(zhuǎn)週期與所設(shè)定之波浪條件有關(guān)。目前的結(jié)果顯示ur參數(shù)越小，越慢達(dá)到穩(wěn)定，這與本文使用之造波機(jī)為活塞式

36、 (piston-type)，初始造出流速剖面較接近淺水波之現(xiàn)象有直接關(guān)係。圖12 模式計(jì)算與實(shí)驗(yàn)量測(cè)之波形比較 (caseD)圖13造波機(jī)由靜止啟動(dòng)至穩(wěn)定造波過(guò)程所造出之波高往下游傳遞之變化情形圖14 空間上波形變化之時(shí)間序列圖 (caseA)六、結(jié) 論本文根據(jù)一般的Navier-Stokes方程為基礎(chǔ)，經(jīng)由流函數(shù)、渦度與速度場(chǎng)之關(guān)係，轉(zhuǎn)換為求解流函數(shù)的Poisson方程與求解渦度的傳輸擴(kuò)散方程，配合有限解析數(shù)值方法，發(fā)展一模擬造波數(shù)值模式。經(jīng)過(guò)理論及實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證顯示：不論是水位變化、波動(dòng)流場(chǎng)及邊界層流動(dòng)特性，本模式均可合理而且精確的模擬。利用量測(cè)造波板位移作為模式輸入條件的方式，本模式可精確

37、計(jì)算造波板由靜止啟動(dòng)到穩(wěn)定造波的過(guò)程，所引起水面波形的變化。非線性波參數(shù)小者，其初始階段造出的波形，往下游傳遞時(shí)頻散現(xiàn)象較明顯，波高有明顯變小的趨勢(shì)，而非線性波參數(shù)大者，波高變化並不明顯。由本研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨Ur參數(shù)降低，造波運(yùn)作要達(dá)到造出穩(wěn)定波形所需的造波週期數(shù)越多。參考文獻(xiàn) 1.Kennard, E.H., “Generation of surface waves by a moving partition,” Quarterly of Applied Mathematics, Vol. 7, No. 3, pp. 303312 (1949). 2.Hydspeth, R.T., and

38、Chen, M-C., “Design curves for hinged wavemakers: theory,” Journal of the Hyfraulics Division, Vol. 107, No. HY5, pp. 533552 (1981). 3.Lee, J-F., Kuo, J-R., and Lee, C-P., “Transient wavemaker theory,” Journal of Hydraulic Research, Vol. 27, No. 5, pp. 651663 (1989). 4.Madsen, O.S., “On the generati

39、on of long waves,” Journal of Geophysical Research, Vol. 76, No. 36, pp. 86728683 (1971). 5.Hydspeth, R.T., and Sulisz, W., “Stokes drift in two-dimensional wave flumes,” Journal of Fluid Mechanics, Vol. 230, pp. 209229 (1991). 6.Goda, Y., “Recurring evolution of water waves through nonresonant inte

40、ractions,” Proceedings of Waves97, Virginia, pp. 123 (1998). 7.Yao, YiTao, Tulin, M.P., and Kolaini, A.R., “Theoretical and experimental studies of three-dimensional wavemaking in narrow tanks, including nonlinear phenomena near resonance,” Journal of Fluid Mechanics, Vol. 276, pp. 211232 (1994). 8.Zhang, S., and Williams, A.N., “Time-domain simulation of the generation and propagation of second-order stokes waves in a two-dimensional wave flume, part I: monochromatic wavemaker motions,” Journal of Fluid and Structures, Vol. 10, pp. 319335 (1996). 9.Chapalain, G., Cointe, R., and Te