導(dǎo)數(shù)的專題一

1、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用一一、考綱要求：(1) 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。(2) 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式。(3) 了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處取得導(dǎo)數(shù)的必要條 件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào))，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值；會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題。二、復(fù)習(xí)重點(diǎn)：(1) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、向量、不等式、解析幾何、立體幾何等知識(shí)的交匯。(2) 充分利用導(dǎo)數(shù)作為解題工具，求單調(diào)性和最值問(wèn)題。三、雙基考察1、設(shè)函數(shù) f(X)二 x(x 1)(x2) (x n)，則 f'(0

2、) =n!2、 在函數(shù)y =x3 -8x的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)4是(D )A、3B、2C、1D、0解：設(shè)切點(diǎn)(xo，y°)，該點(diǎn)處的切線的斜率為y' x=x0 = 3x2 -8,其大于等于0小于1，故8 < x2 : 3且x0 Z，這樣的點(diǎn)不存在。33、 對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線y =xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 an，則數(shù)列出的前n項(xiàng)和公式是2nd - 2n 1解：由y二xn(1 -x)求導(dǎo)得y二nxnJ -(n - 1)xn， x =2處的切線的斜率為k 二 n 2nJ -(n 1)2n，切線方程為 y -(2n -

3、2n J 珂門(mén)鳥(niǎo)心1 -(n 1)2n(x-2)，令 x = 0,切- a.線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 an = (n，1)2n，則數(shù)列-?的通項(xiàng)公式為2n，前n項(xiàng)和為n +1n 12 -2。4、(天津卷)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,貝U函數(shù)f (x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)( A)yh y = f "(x)A. 1 個(gè) B. 2 個(gè)乂zC. 3個(gè)1 / 10>x注：X = Xo是函數(shù)的極值點(diǎn)=X = X0是方程f'（x） = 0的根；反之不一定成立。四、典型例題3 例一、曲線y =2x - x在點(diǎn)（1,1）

4、處的切線方程。解：曲線y = 2xX3在點(diǎn)（1,1）處的切線的斜率k = yx=1，故（1，1）處的切線方程為y -仁 -（x -1）即x y -2 = 0變式訓(xùn)練一、2已知曲線C： f（x）=：x3-x2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1,2）的曲線C的切線方程。解：因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線上，過(guò)點(diǎn) P的切線有兩種情況：（1）點(diǎn)P為切點(diǎn)，切線方程為 2x-y =0 ；（2）點(diǎn)P不為切點(diǎn)，切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,設(shè)切點(diǎn)為M （ x0,y0）（x0式1），則k = y'X0=kMp即33x2 -1 =Xo_Xo，化簡(jiǎn)得（X0_1）（2X01）-0，X0=1（舍去）或X。= -1，x0 -122*1 191為（一2,8），斜率一

5、4，切線方程為x，4y-9 = 0。所以經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（1,2）的曲線 C的切線方程為2x-y = 0 或 x 4y-9 = 0。變式訓(xùn)練二、已知曲線C : f（x） =X3-X2，求經(jīng)過(guò)（2, 0）的曲線的切線方程。3+2解：點(diǎn)P（2, 0）不在曲線上，故設(shè)切點(diǎn)為 M（ x0,y0），則k = y' x»0 = kmp即3x2 -1 =x°-2化簡(jiǎn)得X：（X0 -3） =0，得X0 =0或x° =3。當(dāng)x° =0時(shí)，切點(diǎn) （0，2），斜率-1，切線方程x y -2 =0 ;當(dāng) X0 =3時(shí)，切點(diǎn)（3，26）斜率 26,切線方程 26x - y -5

6、2 =0.所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（ 2，0）的曲線的切線方程為 xy-2=0或26x-y-52 = 0.例二、已知函數(shù)f （x）二ax3+bx2+cx在x0處取得極大值，其導(dǎo)數(shù)f （x）的圖象經(jīng)過(guò)（1，0），（2，0）如圖所示,求(1) Xo的值；(2) 求 a,b,c 的值；(3) 求f(x)在0, 3的最大值和最小值。解：由圖象可知，在(汽 1 )上 f (x) .0，在(1,2)上 f(X)： 0，在 (2,：)上 f (x) . 0 ,故 f (x)在(-：,1),(2,：)上遞增,在 (1,2)上遞減,因此f (x)在x =1處取得極大值，所以xo=1.(n ) f (x) =3ax2 2bx

7、 c,由 f (1) =0, f (2) =0, f(1)=5,3a 2b c = 0,得 12a 4b c =0,a b c =5,解得 a =2,b - -9,c =12.(川)由圖可知f'(x) = 0得X1 =1,X2 = 2x0(0, 1)1(1 , 2)2(2,3)3y,+0-0+y0/極大值5極小值4/9最大值9,最小值0變式訓(xùn)練一、設(shè)函數(shù)f(x)二ax3-6ax2 b(a>0)在-1 ,2上最大值與最小值分別為3和-29,求常數(shù)a,b。解：f (x) = 3ax2 -12a，令 f (x) = 0得 x = 0(x = 4不合題意，舍去)x(-1, 0)0(0,

8、2)f'(x)+0-f(x)/極大值當(dāng) x=0 時(shí)， 函數(shù)有最大值， 從而 3二f(0)=bf(-1)= -7a 3, f (2) = -16a3 ： f (-1)，所以 一 29 二 f (2) = -16a3得a = 2變式訓(xùn)練二、若函數(shù)f(x) =x3 _6ax2 2x在-1 , 2上是增函數(shù)，求a的取值范圍。解：f (x) =3x2 -12ax 2，要使函數(shù)在-1，2上是增函數(shù)，則f (x)丄0對(duì)稱軸2a1 '_5(1 )當(dāng) 2a _ -1 時(shí)，即 a ， f (-1) _ 0，得 a ， a不存在；(2)當(dāng)一1 ： 2a ： 2 時(shí),2 12剛 1*'46&l

9、t;676后即 a :1時(shí)f (2a) _0，得a "， a的取值范圍是a "； ( 3)當(dāng)2 6 6 6 676 V 62a亠2時(shí)，即a亠1時(shí)f_ 0，得a ， a不存在。故a的取值范圍是a _12 6 6例三、(四川卷第21題)已知函數(shù)f(x) = x3+3ax - 1, g(x)二f (x)-ax-5,其中f'(x)是 的f(x)的導(dǎo)函數(shù)。(I)對(duì)滿足-1空a乞1的一切a的值， 都有g(shù)(x) : 0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍；()設(shè)a = -m2，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y= 3只有一個(gè)公共點(diǎn)。解: (I)由題意 g x = 3x2

10、_ax 3a _5令(a) = (3 _ x)a 3x2 _ 5, _1 _ a _ 1對(duì)1乞a豈1，恒有g(shù) x : 0，即'a : 0 (1) 3-x=0即卩x =3時(shí)，顯然不成立；(2) x = 3時(shí)有1 : 0 譏 T ：0即宀-2 ：03x2 x -8 02解得 x : 13故xJ21 i時(shí)，對(duì)滿足1WaE1的一切a的值，都有g(shù)(x)c0 I 3丿3 ' 2 2(n) f(x) = x+3ax T, f x =3x2-3m2 當(dāng)m =0時(shí)，f x二x3 -1的圖象與直線y = 3只有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng) m0 時(shí)，令® (x)= f(x)-3= x3+3ax4 ,

11、® '(x) = 3x2 + 3a =3x2 3m2列表：x(-°°,-m)-|m(-|m|, m|)lm(m|,焜)0(x)+00+®(x)單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增(x)極小值 hF (m) - -2m2m - 4 :：: -4又(x)的值域是R，且在(|m，址)上單調(diào)遞增 當(dāng)xa m時(shí)函數(shù)y =®(x)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)x彳m時(shí)，恒有:(x) _ (- m)由題意得(-m) ： 0即 2m2 m -4 ： 0解得 m-3 2,00,32綜上,m的取值范圍是三、鞏固練習(xí)321、已知曲線C： f(x)=x -3x 2

12、x a的一條切線方程為 y=2x，則實(shí)數(shù)a的值等于 0或4。32、(廣東卷)設(shè)函數(shù)f(x)二-x 3x 2分別在為、x2處取得極小值、極大值.xoy平面上點(diǎn) A B的坐標(biāo)分別為(為(為)、(X2, f(X2),該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足PA?PB=4,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線 y =2(x - 4的對(duì)稱點(diǎn).求(I) 求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(II)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程(I )令 f (x)二(-x3 3x 2) = -3x23 = 0 解得 x = 1 或x = -1當(dāng) x ： -1 時(shí),f (x) ：0,當(dāng) 一1 ： x : 1 時(shí)，f (x)0 ，當(dāng) x 1 時(shí)，f (x) ： 0所以屈數(shù)在x二-1處取得極小值

13、，在x =1取得極大值，故x1 - -1,x2 =1, f (T) =0, f (1) =4所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(_1,0), B(1,4).22(n )設(shè) p(m, n), Q(x, y), PA PB 二 一1 一 m,n 1 一 m,4 - n = m -1 n _4n=4kpQ，所以 土蘭，又PQ的中點(diǎn)在y =2(x4)上，所以丄=2匚一 42x -m 222消去 m,n 得(x 8 f + (y + 2 $ = 93、(江蘇卷)請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為的正六棱錐(如右圖所示)。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) 0到底面中心oi的距離為多少時(shí)，帳篷的

14、體積最大?3m解：設(shè)00為x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為32 - (x -1)2 = 8 2x -X2 (單位：m于是底面正六邊形的面積為(單位：吊)6 (、8 2x _x2)24帳篷的體積為(單位:卅)V(x)=遼(8 2xx2) 】(x1) 1 二出232(16 12宀)求導(dǎo)數(shù)，得V (x)乜仆？ 3x2)2令V(X)=0解得x=-2(不合題意，舍去),x=2.當(dāng) 1<x<2 時(shí)，V (x)0 ,V(x)為增函數(shù)；當(dāng) 2<x<4 時(shí)，V(X)： 0 ,V(x)為減函數(shù)。所以當(dāng)x=2時(shí),V(x)最大。答當(dāng)OO為2m時(shí)，帳篷的體積最大。導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、考綱要求：

15、(3) 了解導(dǎo)數(shù)的概念的某些實(shí)際背景；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 理解導(dǎo)數(shù)函數(shù)的概念(4) 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式(5) 會(huì)從幾何直觀了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處取得導(dǎo)數(shù)的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào))，會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題的最大值和最小值、復(fù)習(xí)重點(diǎn)：(6) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、向量、不等式、解析幾何、立體幾何等知識(shí)的交匯(7) 充分利用導(dǎo)數(shù)作為解題工具，求切線、單調(diào)性和最值問(wèn)題三、雙基考察:1、設(shè)函數(shù) f (x)二 x(x 1)(x2) (x n)，貝y f ' (0)=2、 在函數(shù)y=x3-8x的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐

16、標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4()A、3B、2C、1D、03、 對(duì)正整數(shù)n ,設(shè)曲線y = xn (1 - x)在x = 2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 a.,則數(shù)列出詁勺前n項(xiàng)和公式是n 14、(天津卷)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所)示，則函數(shù)f (x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(四、典型例題例1、曲線y =2x-x3在點(diǎn)(1,1)處的切線方程例2、已知函數(shù)f (x) = ax3+bx2+ex在x0處取得極大值5，其導(dǎo)數(shù)f (x)的圖象經(jīng)過(guò)(1,0), (2, 0)如圖所示，求(1) X。的值；(2) 求 a,b,e 的值；(3) 求f (

17、x)在0, 3的最大值和最小值變式訓(xùn)練1、設(shè)函數(shù)f (x) =ax - 6ax2 - b(a>0)在-1 , 2上最大值與最小值分別為3和-29,求常數(shù)a,b.變式訓(xùn)練2、若函數(shù)f(x) =x3 -6ax2 2x在-1，2上是增函數(shù)，求a的取值范圍例 3、(四川卷第 21 題)已知函數(shù) f(x) = x3+3ax-1, g(x) = f(x)-ax-5,其中 f'(x)是的f(x)的導(dǎo)函數(shù).(i)對(duì)滿足-1乞a叮的一切a的值， 都有g(shù)(x) < 0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(n)設(shè)a=-m2，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y= 3只有個(gè)公共點(diǎn)四、練習(xí)321、 已知曲線C： f (x) = x -3x 2x a的一條切線方程為 y=2x，則實(shí)數(shù)a的值等于2、 (廣東卷)設(shè)函數(shù)f (x) - -x3 3x 2分別在x2處取