2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合經(jīng)典題附詳細(xì)答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合經(jīng)典題附詳細(xì)答案、圓的綜合1.在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為 2的正方形OABC的兩頂點(diǎn) A、C分別在y軸、x軸的正 半軸上，點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點(diǎn)一次落在直線 y X上 時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交直線y x于點(diǎn)m , BC邊交x軸于點(diǎn)N (如圖).C(1)求邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)，求正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(3)設(shè) MBN的周長(zhǎng)為p ,在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過(guò)程中，P值是否有變化？請(qǐng)證明 你的結(jié)論.【答案】(1)兀2 (2) 22.5。(3)周長(zhǎng)不會(huì)變化，證明見(jiàn)解析【

2、解析】試題分析：(1)根據(jù)扇形的面積公式來(lái)求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；(2)解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出/AOM的度數(shù)；(3)利用全等把4MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子.試題解析：(1) ; A點(diǎn)第一次落在直線 y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，直線 y=x與y軸的夾角是 45。，OA 旋轉(zhuǎn)了 45 °. OA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為4522360(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.又,. BA=BC, .1. AM=CN.又. OA=OC, /OAM=

3、/OCN, . OAM OCN.Z AOM=ZCON=- (/AOC-/ MON) =- (90 -45。)=22.5 .22，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)，正方形 OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45 22.5 =22.5 .(3)在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化.證明：延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn)，貝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN.QAEAOCN.，OE=ON, AE=CN又 / MOE=Z MON=45 , OM=OM

4、, .OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN , p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過(guò)程中，p值無(wú)變化.考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.如圖，已知 4ABC中，AC=BC以BC為直徑的。交AB于E,過(guò)點(diǎn)E作EG,AC于G,交BC的延長(zhǎng)線于F.(1)求證：AE=BE(2)求證：FE是。的切線；(3)若FE=4, FC=2,求。的半徑及CG的長(zhǎng).【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析；(3) I【解析】(1)證明：連接CE,如圖1所示：BC是直徑，/ BEC=90 ；CE!AB；又. AOBG 1- AE=BE.(2)證明：連接O

5、E,如圖2所示： BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位線， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FEI OE,，F(xiàn)E是。的切線.(3)解：.EF是。的切線，F(xiàn)E?=FC?FB.設(shè) FC=x,貝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=82=6, . OB=OC=3,即。的半徑為 3;CG 2.OE=3.CG FC _. OE/ AC,AFCCAFOE, ，即點(diǎn)睛：本題利用了等腰三角形三線合一定理，三角形中位線的判定，切割線定理，以及勾 股定理，還有平行線分線段成比例定理，切線的判定等知識(shí).3.如圖，AB是。的直徑，PA是。O的切線，點(diǎn) C在。O上，

6、CB/ PO.(1)判斷PC與。O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；若AB=6, CB=4,求PC的長(zhǎng).【答案】（1） PC是。的切線，理由見(jiàn)解析；（2） 3J52【解析】試題分析：（1）要證PC是。的切線，只要連接 OC,再證Z PCO=90即可.（2）可以連接AC,根據(jù)已知先證明 ACPPCQ再根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì) 求出PC的長(zhǎng).試題解析：（1）結(jié)論：PC是。的切線.證明：連接OC1. CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB .OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又. OA=OC, OP=OP.,.APOACPO/ OAP=Z OCP.PA是。O的切線/ OA

7、P=90 °/ OCP=90 ° .PC是。的切線.（2）連接AC.AB是。O的直徑 ./ACB=90 （6 分）由（1）知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC / ACB=Z PCO .ACBAPCO.BC AC.一 OC PCh8CC346一PC=二. 一一 一 ,二二0 BC 44點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可.同時(shí)考查了勾股定理和相似三角形的性質(zhì).4.如圖，4ABC 中，/A=45°, D 是 AC 邊上一點(diǎn)， 。經(jīng)過(guò) D、A、B 三點(diǎn)，OD/ BC. （1）求證

8、：BC與。相切；（2）若 OD=15, AE=7,求 BE的長(zhǎng).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）18.【解析】分析：（1）連接OB,求出/ DOB度數(shù)，根據(jù)平行線性質(zhì)求出 /CBO=90,根據(jù)切線判定 得出即可；（2）延長(zhǎng)BO交。于點(diǎn)F,連接AF,求出ZABF,解直角三角形求出 BE.詳解：（1）證明：連接OB.-.1 / A=45 ,°/ DOB=90 :1. OD/ BC, / DOB+/ CBO=180 ,°/ CBO=90 : 直線BC是。O的切線.（2）解：連接BD.則AODB是等腰直角三角形，/ODB=45； BD=T1OD=15/l, . /ODB=/ A, /D

9、BE=/ DBA,.,.DBEAABD,BD2=BE?BA（15石）2= （7+BE BE, .BE=18 或-25 （舍棄）， .BE=18.點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn) 行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.5.已知：AB是。0直徑，C是。0外一點(diǎn)，連接BC交。0于點(diǎn)D, BD=CD連接AD、AC.(1)如圖 1,求證：/BAD=/ CAD (2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CH AB于點(diǎn)F交。0于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CF交。0于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)作EHL AG于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)K,求證AK=2OF；(3)如圖3,在(2)的條件下，EH交AD于點(diǎn)L,若

10、0K=1,AC=CGJ：線段AL的長(zhǎng).12 【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析 10 5得到/ADB=90°,再證明AB4 4ACD即/GAB=/BEG.再證KFEBFE,得到【解析】試題分析：(1)由直徑所對(duì)的圓周角等于90。,可得到結(jié)論；(2)連接BE.由同弧所對(duì)的圓周角相等，得到BF=KF=- BK.由 OF=OB-BF, AK=ABBK,即可得到結(jié)論.2(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/ GAB=.先證CM垂直平分AG,得到AM=GM, Z AG(+ZGCM=90°,再證 / GAF=/GCM = .通過(guò)證明AG®4CMG,得到1BG=GM=-

11、AG.再證明 /BGC=/MCG= .設(shè) BF=KF=a,可得 GF=2a, AF=4a.2由 OK=1,得至ij OF=a+1 , AK=2 (a+1) , AF= 3a+2,得至U 3a+2=4a,解出 a 的值，得至U AF,HK 1AB, GF, FC的值.由tan a =tsd HAK=AK=6,可以求出 AH的長(zhǎng).再由AH 21tan GAF tan BAD /日-tan BAD tan BCF 一,利用公式 tan Z GAD=，得至U31 tan GAF tan BADZ GAD=45 ；則AL= 72 AH,即可得到結(jié)論.試題解析：解：(1) .AB 為。的直徑，ZADB=9

12、0°,Z ADC=90°. BD=CD, / BDA=Z CD/ AD=AD,AABD AACD,/ BAD=Z CAD.(2)連接 BE.BG=BG , . . / GAB=/BEG.-.CF± AB, ./KFE=90：1BF=KF= BK .EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ； /AKH=/EKF,Z HAK=ZKEF=Z BEF. FE=FE, Z KFE=Z BFE=90 ； KFE BFE OF=OB-BF, AK=AB-BK,AK=2OF.C(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/ GAE=. AC=CG,點(diǎn)C在AG的垂直平分線上.1

13、 OA=OG,點(diǎn)O在AG的垂直平分線上,.CM 垂直平分 AG, .-.AM=GM, / AGC+/GCM=90 ：/ GAF=Z GCM =. AFXCG,/ AGC+/ GAF =90.AB 為。的直徑，Z AGB= 90,° Z AGB=Z CMG=90 :.AB=AC=CG,AAGBACMG,1BG=GM=-AG.2在 RtAGB 中，tan GAB tanGBAG / AMC=Z AGB= 90BG/ CM,. / BGC=Z MCG=設(shè) BF=KF=a, tan BGF tanBFGF1-,GF=2a, tan GAF tan2GFAFAF=4a. OK=1, OF=a+

14、1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, ，3a+2=4a,tan aAK=6, .,.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FOCGGF=6.HK 1=tanHAK= ,設(shè) KH=m ,貝U AH=2m ,AK= JmAH 2(2 m)2 =6,解得:6 .5m=5AH=2m=125 ,在 RBFC中,5tan BCFBFFC / BAD+ / ABD=90 °, / FBC+ / BCF=90,Z BCF=Z BAD,tan BADtanBCFtan GAF tanBAD.tan/ GAD=1 tan GAF

15、tan BAD2 311 1 1，12 3/ GAD=45 ； HL=AH, AL=5/2 AH= 1210 . 56 .問(wèn)題發(fā)現(xiàn).(1)如圖，RtABC中，ZC=90°, AC= 3, BC= 4,點(diǎn)D是AB邊上任意一點(diǎn)，則 CD的 最小值為.(2)如圖，矩形ABCD中，AB=3, BC= 4,點(diǎn)M、點(diǎn)N分別在BD、BC上，求CM+MN的 最小值.(3)如圖，矩形ABCD中，AB=3, BC= 4,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且 AE= 2,點(diǎn)F是BC邊 上的任意一點(diǎn)，把 4BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,連接AG、CG,四邊形AGCD的面積是否存在最小值，若存在，求這個(gè)最小值及此時(shí)B

16、F的長(zhǎng)度.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.15129615【答案】(1) CD ;(2) CM MN的最小值為一.(3)一5252試題分析：(1)根據(jù)兩種不同方法求面積公式求解；(2)作C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C ,過(guò)C作BC的垂線，垂足為 N ,求C N的長(zhǎng)即可;(3)連接AC ,則Sfeagcd Svadc Svacg，GB EB AB AE 3 2 1,則點(diǎn) G 的軌跡為以 E 為圓心，1為半徑的一段弧.過(guò) E作AC的垂線，與O E交于點(diǎn)G ,垂足為M ,由VAEM sVACB求得GM的值，再由S四邊形AGCDSVACDSVACG求解即可.試題解析：(1)從C到AB距離最小即為過(guò) C作AB的垂線，垂足為

17、 D ,cCD AB AC BCSVABC ，AC BC 3 4 12CD AB 55(2)作C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C，過(guò)C作BC的垂線，垂足為 N ,且與BD交于M ,則CM MN的最小值為C N的長(zhǎng)，設(shè)CC與BD交于H ,則CH BD , VBMCsVBCD ,且CH125CCB BDC24VC NCsVBCD ,CN CC-CBD24-5596 ,25(3)連接 AC ,則 Szgagcd一一. 96即CM MN的最小值為25SVADCSVACG 'GB EB AB AE 3 2 1 ,點(diǎn)G的軌跡為以E為圓心，1為半徑的一段弧.過(guò)E作AC的垂線，與。E交于點(diǎn)G ,垂足為M , VAE

18、M sVACB ，EM AEBC ACAE BC 248EM ,AC 55-83 .GM EM EG - 15535S四邊形 AGCD SVACD SVACG ,23152【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合題、最短問(wèn)題、勾股定理、面積法、兩點(diǎn)之間線段最短等知 識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱解決最值問(wèn)題，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題.7.已知：BD為。的直徑，O為圓心，點(diǎn) A為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) B作。的切線交 DA的延 長(zhǎng)線于點(diǎn)F,點(diǎn)C為。上一點(diǎn)，且 AB= AC,連接BC交AD于點(diǎn)E,連接AC.(1)如圖 1,求證：/ABF=/ABC；(2)如圖2,點(diǎn)H為。內(nèi)部一點(diǎn)，連接 OH, CH若/ OHC=/HC

19、A= 90°時(shí)，求證：CH=1DA;2在(2)的條件下，若 OH=6,。的半徑為10,求CE的長(zhǎng).21見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3) 一51由BD為e O的直徑，得到 dABD 90°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到FBA結(jié)論；ABD 90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ABC ,等量代換即可得到2如圖2,連接OC,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得到ACO COH ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 OBCOCB, ABC CBOACB OCB ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;3根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB BDOH2 ,根據(jù)勾股定理得到OCAD JBD2 AB2 16，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

20、到 BF BE, AF AE，根據(jù)射影 122,16【詳解】7E理得到AF 一 9 ,根據(jù)相交弦定理即可得到結(jié)論.1 Q BD為e O的直徑，BAD 900,D ABD 90°，Q FB是e O的切線，F(xiàn)BD 900,FBA ABD 900,FBA D ,Q AB AC ,C ABC ,Q C D ,ABF ABC；2如圖2,連接OC,Q OHC HCA 900,AC/OH ,ACO COH ,QOB OC ,OBC OCB,ABC CBO ACB OCB, 即 ABD ACO,ABC COH , Q H BAD 90o,VABD sVHOC ,AD BD 八一 一 2,CH OC-

21、1CH DA ；23 由 2 知，VABCs VHOC ,AB BD 八一 一 2,OH OCQOH 6, e O的半徑為10,AB 2OH 12, BD 20,AD ，BD2 AB216,在VABF與VABE中，ABF ABEAB AB , BAF BAE 90oVABF VABE ,BF BE , AF AE ,Q FBD BAD 900,2 AB2AFAEDEAF AD，12216AF 9,7, BE ，AB2 AE215,Q AD , BC交于 E,AE DE BE CE ,AE DE 9 7 21CE BE 155本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的

22、判定和性 質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.8.如圖，AB是。的直徑，弦BC= OB,點(diǎn)D是Ac上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，連接BD 分別交OC, OE于點(diǎn)F, G.(1)求/DGE的度數(shù)；/CF 1- BF i(2)若=一，求的值；OF 2 GF(3)記CFB ADGO的面積分別為Si, S2,若CF =k，求 £ 的值.(用含k的式子表OFS2示)_7 S k2 k 1【答案】(1)/DG60; (2); (3)=-_k-1 2 S2 k 1【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，可以求得/DGE的度數(shù)

23、；(2)過(guò)點(diǎn)F作FHI±AB于點(diǎn)H設(shè)CF= 1,則OF=2, OC= OB= 3,根據(jù)勾股定理求出 BF的 BF長(zhǎng)度，再證得 FG8 4FC玲進(jìn)而求得 的值；GF(3)根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出的值.S2【詳解】解：(1)BC= OB=OC,/ COB= 60 ；1/ CDB= ZCOB= 30 ,2. OC= OD,點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，.OECD,/ GED= 90 ；/ DGE= 60 ；(2)過(guò)點(diǎn)F作FHAB于點(diǎn)H設(shè) CF= 1 ,貝U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 °.OH= 1OF=1,2.H

24、F= 3 OH=芯,HB= OB- OH= 2,在 RtA BHF 中，BF JhB2HF2 J7，由 OC= OB, /COB= 60°得：/OCB= 60°,又 ZOGB= / DGE= 60°,/ OGB= / OCB, / OFG= / CFB, .-.FGOAFCB,OF GFBF CF GF=27BF _7 =一.GF 2過(guò)點(diǎn)F作FHAB于點(diǎn)H,設(shè) OF= 1,則 CF= k, OB= OC= k+1,/ COB= 60 ； - OH = _OF=, 22.HF= .30H, HB=OB-OH=k+1 ,在 RtBHF 中，BF= 而1HF Jk2 k

25、 1 ,由(2)得：AFGOAFCBGOCBOF GO 1，即 22 2BF k 1k2 k 1.GO_k_1_k2 k 1過(guò)點(diǎn)C作CP, BD于點(diǎn)P / CDB= 301 PC= - CD, 2點(diǎn)E是CD中點(diǎn),1.DE= - CD,2PC= DE,.DEXOE,.bfS2 - GO.k2 k 1k_1_JUk2 k 1k 1圓的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用三角形相似和 勾股定理、數(shù)形結(jié)合的思想解答.9.在直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A坐標(biāo)為(2, 0),以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等 邊AOAB, C為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(OC> 2),連接BC,以

26、BC為邊在第一象限內(nèi)作 等邊ABCD,直線DA交y軸于E點(diǎn).(1)求證：OB8 4ABD(2)隨著C點(diǎn)的變化，直線 AE的位置變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變,請(qǐng)求出直線AE的解析式.(3)以線段BC為直徑作圓，圓心為點(diǎn) F,當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線 EF/直線BO;這時(shí) O F和直線BO的位置關(guān)系如何？請(qǐng)給予說(shuō)明.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)直線AE的位置不變，AE的解析式為：y3Xx2聚,(3) C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(4,0)處時(shí)，直線EF/直線BO；此時(shí)直線BO與。F相切，理由見(jiàn)解析. 【解析】【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得到OB=AB, BC=BD, / OBA=/ DBC,等號(hào)兩邊都加

27、上/ABC,得到/OBC=/ ABD,根據(jù)“SAS到 OBX ABD. (2)先由三角形全等，得到 /BAD=/ BOC=60,°由等邊ABCD,得至U / BAO=60 ,0根據(jù)平角定義及對(duì)頂角相等得到 /OAE=60 ；在直角三角形 OAE中，由OA的長(zhǎng)，根據(jù)tan60的定義求出 OE的長(zhǎng)，確定出 點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)出直線 AE的方程，把點(diǎn) A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式 .(3)由 EA/ OB, EF/ OB,根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點(diǎn)，又F為BC的中點(diǎn)，得到A為OC中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)即可 求出C的坐標(biāo)；相切理由是

28、由 F為等邊三角形 BC邊的中點(diǎn)，根據(jù) 主線合一 ”得到DF與BC 垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證.【詳解】(1)證明：4OAB和4BCD都為等邊三角形, .OB=AB, BC=BQ /OBA=/ DBC=60 ,° / OBA+/ ABC=Z DBC+Z ABC, 即 / OBC=Z ABD,在OBC和ABD中，OB AB OBC ABD , BC BD.,.OBCAABD.(2)隨著C點(diǎn)的變化，直線 AE的位置不變，-/OBCAABD,/ BAD=Z BOC=60 ；又 / BAO=60 ,/ DAC=60 ；/ OAE=60 ,° 又 OA=2,在 R

29、tAOE 中，tan60 °=OE, OA則 OE=2、,3 ,點(diǎn)E坐標(biāo)為(0, -2£),設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,把E和A的坐標(biāo)代入得:0 2kb2芯b '解得,k .3b 2、3 直線AE的解析式為：y向x 273.（3） C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（4,0）處時(shí)，直線EF/直線BO;此時(shí)直線BO與。F相切，理由如下: / BOA=Z DAC=60 ； EA/ OB,又 EF/ OB,則EF與EA所在的直線重合， 點(diǎn)F為DE與BC的交點(diǎn)，又F為BC中點(diǎn)， .A 為 OC 中點(diǎn)，又 AO=2,貝U OC=4, 當(dāng)C的坐標(biāo)為（4, 0）時(shí)，EF/ OB,這時(shí)直線BO與。F相

30、切，理由如下：.BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，.-.DF± BC,又 EF/ OB, FBXOB,直線BO與。F相切,【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)；三角形全等的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān) 系.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵 .10.如圖，AB為。的直徑，DA、DC分別切。O于點(diǎn)A, C,且AB=AD.(1)求 tan/AOD 的值.(2) AC, OD交于點(diǎn)E,連結(jié)BE.求/ AEB的度數(shù)；連結(jié)BD交。O于點(diǎn)H,若BC=1,求CH的長(zhǎng).【答案】(1) 2; (2) /AEB= 135° CH 2【解析】【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)可得 /BAD=90,

31、由題意可得 AD=2AO,即可求tan/AOD的值；(2) 根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得 AD=CD, OD平分/ADC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DOXAC, AE=CE根據(jù)圓周角定理可求 /ACB=90°,即可證/ ABC=/ CAD,根據(jù)"AAST證 AB8 4DAE,可得 AE=BC=EC可求/ BEC=45；即可求 /AEB的度數(shù)；由BC=1,可求AE=EC=1 BE &,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求/ ABE=/ HBC,可證AB&4HBC,可求CH的長(zhǎng).【詳解】(1) . DA 是。O 切線， ./BAD=90. AB=AD, AB=2AO, . . AD

32、=2AO, ，tan/AOD 竺 2；AO(2)DA、DC 分別切。O 于點(diǎn) A, C,AD=CD, OD 平分 / ADC, . DO, AC,AE=CE AB 是直徑，/ ACB=90 ,° / BAC+/ ABC=90，且/ BAC+/ CAD=90 ；AABCADAE (AAS) , . CB=A/ ABC=/ CAD,且 AB=AD, / ACB=/ AED=90 , . CE=CB 且 / ACB=90 ,° / BEC=45=2 EBC,/ AEB=135 ,° 如圖，BC=1,且 BC=AE=CE . . AE=EC=BC=1 . . BE 72

33、AD=AB, / BAD=90 / ABD=45，且/ EBC=45,/ ABE=Z HBC,且 / BAC=Z CHB,2CH.CH 2本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三 角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí) 是解題的關(guān)鍵.11.如圖，過(guò)。外一點(diǎn)P作。的切線PA切。于點(diǎn)A,連接PO并延長(zhǎng)，與。交于C、D兩點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接 AM交CD于點(diǎn)N,連接AC、CM.(1)求證：cm2=mn.ma；(2)若 / P=30°, PC=2,求 CM 的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) CM=2 72

34、.【解析】【分析】(1)由 CM DM 知 CAM DCM ,根 /CMA=/NMC 據(jù)證 AAM6ACMN即可得；1 1(2)連接OA、DM,由直角二角形 PAO中/P=30知OA PO PC CO ,據(jù)此2 2求得OA=OC=2,再證三角形CMD是等腰直角三角形得 CM的長(zhǎng).【詳解】(1) QeO中，M點(diǎn)是半圓CD的中點(diǎn)，C M D M，CAM DCM ,又 Q CMA NMCAMCs CMN,CMMNAMCM2，即 CM MN MA ;(2)連接 OA、DM ,Q PA是e O的切線,PAO 90 , 又 Q P 30 ,11OA -PO 1 PC CO 22'設(shè)e O的半徑為r

35、,Q PC 2 ,122又Q CD是直徑,CMD 90 ,QCM DM ,CMD是等腰直角三角形，2在 Rt CMD 中，由勾股te理得 CM 2 DM 2 CD2,即 2CM 2r 16 ,則 CM 2 8,CM 2>/2 【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角 形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)12.在的處C中,皿X呵,匹=知=4p,用分別是邊收E,何的中點(diǎn)，若等腰 尺田川。/:繞點(diǎn)門(mén)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rid，小片，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0<a< WOT ,記直線舊小 與匚F】的交點(diǎn)為P(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,當(dāng)a=9。上時(shí)，線段#色的長(zhǎng)等于

36、,線段仃&的長(zhǎng)等于 .(2)探究證明如圖2,當(dāng)優(yōu)二1卅時(shí)，求證： 網(wǎng)=。如，且，。瓦.(3)問(wèn)題解決求點(diǎn)F到科所在直線的距離的最大值.(直接寫(xiě)出結(jié)果)【答案】(1) 20; 2%口； (2)詳見(jiàn)解析；(3) l + y3【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD的長(zhǎng)和CE1的長(zhǎng)；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，/ D1AB=/EiAC=135°,進(jìn)而求出 DiABEiAC ( SAS ,即可得出答案；(3)首先作PGJ± AB,交AB所在直線于點(diǎn) G,則Di,日在以A為圓心，AD為半徑的圓 上，當(dāng)BDi所在直線與。A相切時(shí)，直線BDi與CE1的

37、交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，此時(shí) 四邊形ADiPEi是正方形，進(jìn)而求出 PG的長(zhǎng).【詳解】(1)解：./A=90°, AC=AB=4, D, E 分別是邊 AB, AC 的中點(diǎn)，.AE=AD=2,等腰RHADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰 RtA ADiEi,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 a ( 0V a W 180 °,當(dāng) a =90寸，AEi=2, /EiAE=90：BDi' + 22 =八 5®c =+ ” = 2；故答案為：芹；2$;(2)證明：由題意可知,皿二八。=4, 4n =4斤=2,叫孫&是由曄繞點(diǎn)口逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)|135,得到,.呼產(chǎn)叫“g二5八八1行，

38、在dAi/JB和力團(tuán)。中ADi ADAli = AEiACi AB = AC '.串小加蘭1"0'的，.孫二£E4 苗&”如RA.KCAB - 90-."PHJBDl 1 CFi孫=0E日 HD 1 CE(3)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是在|0川的上半圓周，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是在|。0的弧內(nèi)尸段.即當(dāng)N5與O月相切時(shí)，P行有最大值.點(diǎn)到所在直線的距離的最大值為1 +、耳.【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換以及等腰腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理以及切線的性質(zhì)等知 識(shí)，根據(jù)題意得出 PG的最長(zhǎng)時(shí)P點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵.13.如圖，已知四邊形 ABCD內(nèi)接于。0,點(diǎn)E在C

39、B的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AC、AE,/ ACB= / BAE=45 :(1)求證：AE是。的切線;求BE的長(zhǎng).(2)若 AB=AD, AC=3x/2 , tan/ADC=3,5【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) BE -2【解析】試題分析：(1)連接OA、OB,由圓周角定理得出 /AOB=2/ ACB=90,由等腰直 角三角形的性質(zhì)得出/ OAB=Z OBA=45 ,求出 / OAE=Z OAB+Z BAE=90，即可得出結(jié)論；(2)過(guò)點(diǎn) A作AFLCD于點(diǎn)F,由AB=AD,得到/ ACD=/ACB=45°,在RAFC中可求得 AF =3,在 RtAAFD 中求得 DF= 1 ,所以 AB=

40、 AD = J10 , CD= CF+DF=4，再證明 ABEsCDA,得出 當(dāng) 幽，即可求出BE的長(zhǎng)度；DA CD試題解析：(1)證明：連結(jié)OA, OB, / ACB=45 °/ AOB=2/ ACB= 90 , .OA=OB,/ OAB=Z OBA=45 / BAE=45 ；/ OAE=Z OAB+Z BAE=90 ； OAXAE. 點(diǎn)A在。O上， .AE是。的切線.(2)解：過(guò)點(diǎn) A 作 AF，CD于點(diǎn) F,則/AFC=/ AFD=90°.AB=AD, uuir uuur AB =AD/ ACD=ZACB=45 ；在 RtAFC 中，. AC=3V2 , /ACF=4

41、5；，AF=CF=A0in/ACF=3,AF 在 RtA AFD 中，tan / ADC= 3 ,DFDF=1, AB AD.32 1210,且 CD= CF+DF=4, 四邊形ABCD內(nèi)接于OO,/ ABE=Z CDA, / BAE=Z DCA, .AB&CDA,BE ABDA CD.BE_J0廂 4 '14.如圖，在。O中，直徑 AB垂直弦 CD于E,過(guò)點(diǎn)A作/DAF=/ DAB,過(guò)點(diǎn)D作AF的 垂線，垂足為F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接CO并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)G,連接EG.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 AD=DP, OB=3,求 BD 的長(zhǎng)度;(3)若DE=4, AE=8,求線段EG的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)兀(3) 2 A【解析】試題分析：(1)連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)得出/DAB=/ ADO,再由已知條件得出/A