模型04等時(shí)圓模型(原卷版)

1、模型041.模型特征等時(shí)圓模型(原卷版)12(D質(zhì)點(diǎn)在豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦從其上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點(diǎn)所用時(shí)間相等，如圖甲所示。(2)質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上最高點(diǎn)沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等，如圖乙所示。(3)兩個豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到下端所用 時(shí)間相等,如圖丙所示。我們先看弦軌道模型問題并證明物體下滑的等時(shí)性。如圖所示，讓物體從豎直圓環(huán)上的最高點(diǎn)A處由靜止開始沿光滑的弦軌道AB、AC、AD下滑(AD豎直)，下滑的時(shí)間分別為。、G、3。試證明證明：物體由靜止開始沿AB弦軌道下滑，AB弦軌道長為占，AB弦軌道與豎直方向夾角為，

2、直徑AD長為“0 m = g cos o (D x、= d cos 0 2解得：八=欄可知物體由靜止開始沿光滑弦軌道下滑的時(shí)間與弦與豎直方向的夾角無關(guān)，即4=，3如果把圓環(huán)及軌道倒置，如圖所示，使A在最低點(diǎn)，讓物體從B、C、D點(diǎn)由靜止開始沿光滑弦軌道滑 到A點(diǎn)，通過同樣方法證明，物體下滑時(shí)間仍相等。結(jié)論：物體由靜止開始沿著一個端點(diǎn)在圓環(huán)最高點(diǎn)的不同光滑弦軌道下滑到圓環(huán)的時(shí)間相等：或物體在 圓環(huán)上由靜止開始沿著另一個端點(diǎn)在圓環(huán)最低點(diǎn)的不同光滑弦軌道下滑，滑到圓環(huán)最低點(diǎn)的時(shí)間相等。【典例1】如圖甲所示，在傾角為e的斜而上方的A點(diǎn)放置一光滑的木板AB.B端剛好在斜面上，木板與豎直 方向AC所成角度為

3、一小物塊由A端沿木板由靜止下滑，要使物塊滑到斜面的時(shí)間最短，則a與6角的大小 關(guān)系為（）。A.a=0 B.a=y Ca=26D.a=【變式訓(xùn)練1】如果定點(diǎn)A在斜面下而，在斜而上如何找到一點(diǎn)P ,使其沿光滑弦到A點(diǎn)時(shí)間最短？ 如圖.在豎直平面內(nèi)，定點(diǎn)A位于斜而ML的下面，A與斜面之間連接光滑直軌道，作圖求出物體由斜 而上一點(diǎn)從靜止開始沿光滑直軌道滑到A點(diǎn)最短時(shí)間的徑跡?！镜淅?如圖所示，幾條足夠長的光滑直軌道與水平而成不同角度，從P點(diǎn)以大小不同的初速度沿各軌道發(fā) 射小球，若各小球恰好在相同的時(shí)間內(nèi)到達(dá)各自的最高點(diǎn)，則各小球最高點(diǎn)的位置（）0A.在同一水平線上B.在同一豎直線上C在同一拋物線上D.

4、在同一圓周上【變式訓(xùn)練2】如圖所示，光滑細(xì)桿8C、。和AC構(gòu)成矩形A3CD的兩鄰邊和對角線，AC ： BC ： DC=5 :4 ： 3, AC桿豎直，各桿上分別套有一質(zhì)點(diǎn)小球“、”，“、機(jī)”三小球的質(zhì)量比為1 ： 2 ： 3,現(xiàn)讓三小球 同時(shí)從各桿的頂點(diǎn)由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，則氏”三小球在各桿上滑行的時(shí)間之比為（）A. 1 ： 1 ： 1B. 5 ： 4 ： 3C. 5 ： 8 ： 9D. 1 ： 2 ： 3【典例3】（2018黑龍江大慶一模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy,該平面內(nèi)有AM、BM、 CW三條光滑固定軌道，其中A、。兩點(diǎn)處于同一個圓的圓周上，C是圓周上任意一點(diǎn)，A

5、、M分別為此圓 與x、y軸的切點(diǎn)：8點(diǎn)在y軸上且NBMO=60。，。'為圓心?，F(xiàn)將“、b、。三個小球分別從A、B、。點(diǎn)同 時(shí)由靜止釋放，它們將沿軌道運(yùn)動到M點(diǎn)，所用時(shí)間分別為"、3、tc,則以、斯、大小關(guān)系是（） A.B. tA=tc<tliC. tA = tc=tHD.由于C點(diǎn)的位置不確定，無法比較時(shí)間大小關(guān)系【變式訓(xùn)練3】如圖甲所示,位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓環(huán)軌道與水平面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于從點(diǎn)。 豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為60°.C是圓環(huán)軌道的圓心。已知在同一時(shí)刻a、b兩球分別 由從、8兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道AW、8M運(yùn)動

6、;c球由。點(diǎn)自由下落。則（）。A.u球最先到達(dá)M點(diǎn)B.h球最先到達(dá)M點(diǎn)C.c球最先到達(dá)M點(diǎn)D.b球和c球都可能最先到達(dá)M點(diǎn)【典例4】如圖所示，在同一豎直線上有A、B兩點(diǎn)，相距為h, B點(diǎn)離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋 找一點(diǎn)P，使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板.下滑 到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求O、P兩點(diǎn)之間的距離而。【變式訓(xùn)練4】如圖，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板a。、bO、cO.其下簾都固定于底部圓心O, 而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為30°、45。、60%若有三個小孩同時(shí)從八從c處開始下滑（忽略阻力），則 （A、“

7、處小孩最先到O點(diǎn)C、C處小孩最先到。點(diǎn)B、b處小孩最后到。點(diǎn)D、a、c處小孩同時(shí)到O點(diǎn)【典例5】（單選）如圖6所示，AB和CD為兩條光滑斜槽，它們各自的兩個端點(diǎn)均分別位于半徑為R和r 的兩個相切的圓上，且斜槽都通過切點(diǎn)P.設(shè)有一重物先后沿兩個斜槽，從靜止出發(fā)，由A滑到8和由C 滑到D，所用的時(shí)間分別為/和缶 則h與打之比為（）.A. 2 ： 1 B. 1 ： 1 C?。? D. 1 ： 5【變式訓(xùn)練5】如圖8所示，圓弧AB是半徑為R的;圓弧，在A8上放置一光滑木板3。，一質(zhì)量為,的小 物體在8。板的。端由靜止下滑，然后沖向水平面8C,在8C上滑行2后停下.不計(jì)小物體在8點(diǎn)的能量 損失，已知小物

8、體與水平而BC間的動摩擦因數(shù)為.求：小物體在8。上下滑過程中，重力做功的平均功 率.【典例6】如圖所示，。、ob、oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，。、“、b、c、4位于同一圓周上，點(diǎn) 為圓周的最高點(diǎn)，c點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)都從。點(diǎn)無初速釋放, 用小匕、力依次表示滑環(huán)到達(dá)、b、c所用的時(shí)間，則（）A. t = t2 = t3 B. t> tl> t3 C. t<t2< t3 D. t3> t> t2【變式訓(xùn)練6】傾角為30。的長斜坡上有C、。、B三點(diǎn),CO = OB= 10m,在C點(diǎn)豎直地固定一長10 m的 直桿40。

9、A端與。點(diǎn)間和坡底B點(diǎn)間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點(diǎn)），將兩球從A點(diǎn) 由靜止開始、同時(shí)分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖所示，則小球在鋼繩上/AG和/AB分別為（取& = 10nVs2）A. 2s 和 2sB. y/2s 和 2sC. 2s 和 4sD. 4s 和 V2s模型04等時(shí)圓模型（解析版）L模型特征質(zhì)點(diǎn)在豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦從其上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點(diǎn)所用時(shí)間相等，如圖甲所(2)質(zhì)點(diǎn)從豎直圓環(huán)上最高點(diǎn)沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時(shí)間相等,如圖乙所示，(3)兩個豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到下端所用 時(shí)間相

10、等,如圖丙所示。我們先看弦軌道模型問題并證明物體下滑的等時(shí)性。如圖所示，讓物體從豎直圓環(huán)上的最高點(diǎn)A處由靜止開始沿光滑的弦軌道AB、AC、AD下滑(AD豎直),證明：物體由靜止開始沿AB弦軌道下滑，AB弦軌道長為占，AB弦軌道與豎直方向夾角為e，直徑AD 長為。« = g cos 6 0x、= d cos 0 2x. =i 2 解得：0 =可知物體由靜止開始沿光滑弦軌道下滑的時(shí)間與弦與豎直方向的夾角無關(guān)，即乙=如果把圓環(huán)及軌道倒置，如圖所示，使A在最低點(diǎn)，讓物體從B、C、D點(diǎn)由靜止開始沿光滑弦軌道滑到A點(diǎn)，通過同樣方法證明，物體下滑時(shí)間仍相等。結(jié)論：物體由靜止開始沿著一個端點(diǎn)在圓環(huán)最

11、高點(diǎn)的不同光滑弦軌道下滑到圓環(huán)的時(shí)間相等；或物體在 圓環(huán)上由靜止開始沿著另一個端點(diǎn)在圓環(huán)最低點(diǎn)的不同光滑弦軌道下滑，滑到圓環(huán)最低點(diǎn)的時(shí)間相等?！镜淅?】如圖甲所示，在傾角為°的斜而上方的月點(diǎn)放置一光滑的木板四6端剛好在斜而上，木板與豎直 方向月。所成角度為。，一小物塊由月端沿木板由靜止下滑，要使物塊滑到斜面的時(shí)間最短，則。與6角的兀大小關(guān)系為（A. a =。 B, o C. o =2 0 D,1 4【答案】B【解析】如圖乙所示,在豎直線月。上選取一點(diǎn)0,以適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫圓，使該圓過A點(diǎn),且與斜而相切于 0點(diǎn)。由等時(shí)圓模型的特點(diǎn)知，由A點(diǎn)沿木板滑到。點(diǎn)所用時(shí)間比由A點(diǎn)到達(dá)斜而上其他

12、各點(diǎn)所用時(shí)間都短。將木板卜.端6點(diǎn)與。點(diǎn)重合即可，而N的，則項(xiàng)正確。作法:過A點(diǎn)作豎直線AB,過A作水平線，斜而交Q點(diǎn),作N。的角平分線叮AB交于0點(diǎn),以0點(diǎn)為圓心、A0長為半徑作圓切斜而于P點(diǎn)，AP徑跡即為所求:【變式訓(xùn)練1】如果定點(diǎn)A在斜面下面，在斜面上如何找到一點(diǎn)P ,使其沿光滑弦到A點(diǎn)時(shí)間最短？如圖.在豎直平面內(nèi)，定點(diǎn)A位于斜而ML的下而，A與斜面之間連接光滑直軌道，作圖求出物體由斜面 上一點(diǎn)從靜止開始沿光滑直軌道滑到A點(diǎn)最短時(shí)間的徑跡。作法同1, PA徑跡即為所求?！镜淅?】如圖所示，幾條足夠長的光滑直軌道與水平而成不同角度，從尸點(diǎn)以大小不同的初速度沿各軌道發(fā) 射小球,若各小球恰好在

13、相同的時(shí)間內(nèi)到達(dá)各自的最高點(diǎn),則各小球最高點(diǎn)的位置（）。A.在同一水平線上B.在同一豎直線上C.在同一拋物線上D.在同一圓周上【答案】D【解析】設(shè)某一直軌道與水平面成0角，末速度為零的勻減速直線運(yùn)動可逆向看成初速度為零的勻加速宜線運(yùn)動,則小球在直軌道上運(yùn)動的加速度/誓擊sin ，由位移公式得a時(shí)SsiMR即壺也/不同的傾角時(shí)應(yīng)不同的位移，但矗相同，即各小球最高點(diǎn)的位置在直徑為土一的圓周上,D項(xiàng)正確?！咀兪接?xùn)練2】如圖所示，光滑細(xì)桿況; %和4C構(gòu)成矩形的兩鄰邊和對角線,AC： BC： DC=5 ： 4 ： 3、 4。桿豎直，各桿上分別套有一質(zhì)點(diǎn)小球a、b、d, a、b、d三小球的質(zhì)量比為1 ：

14、 2 ： 3,現(xiàn)讓三小球同時(shí)從 各桿的頂點(diǎn)由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，則出、6、d三小球在各桿上滑行的時(shí)間之比為（）A. 1 ： 1 ： 1B. 5 ： 4 ： 3D. 1 ： 2 ： 3C. 5 ： 8 ： 9【答案】A【解析】 利用等時(shí)圓模型，以月。為直徑畫圓，6、，剛好在圓上，所以時(shí)間相等，故A正確?！镜淅?】（2018 黑龍江大慶一模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系*分，該平面內(nèi)有山/、6從CM 三條光滑固定軌道，其中&。兩點(diǎn)處于同一個圓的圓周上，。是圓周上任意一點(diǎn)，月、"分別為此圓與x、y 軸的切點(diǎn)；5點(diǎn)在y軸上且N3"=60° , O

15、9;為圓心?，F(xiàn)將a、6、c三個小球分別從乩6、。點(diǎn)同時(shí)由靜止 釋放，它們將沿軌道運(yùn)動到"點(diǎn)，所用時(shí)間分別為心、山、M則云云大小關(guān)系是（）A. t< tX tsB. tA= tX tsC. tc= tBD.由于C點(diǎn)的位置不確定，無法比較時(shí)間大小關(guān)系16，故正確選項(xiàng)為B。O R意；對于CV段，同理可解得【答案】B【解析】對于出/段，位移在=舟 加速度a，=§sin45° =半§，根據(jù)*=焉一得，t尸 乙乙對于£1/段，位移及=2凡 加速度電= gsin 60° =號§,得“=【變式訓(xùn)練3】如圖甲所示，位于豎直平面內(nèi)的固定光

16、滑圓環(huán)軌道與水平面相切于0點(diǎn)，與豎直墻相切于月點(diǎn)。豎直墻上另一點(diǎn)5與M的連線和水平面的夾角為60° ,C是圓環(huán)軌道的圓心，已知在同一時(shí)刻a、6兩球分別由小6兩點(diǎn)從靜止開始沿光滑傾斜直軌道4K的/運(yùn)動;。球由。點(diǎn)自由下落。則（）。A. ”球最先到達(dá)"點(diǎn)球最先到達(dá)M點(diǎn)C. c球最先到達(dá)“點(diǎn)D. 6球和。球都可能最先到達(dá).“點(diǎn)【答案】C；設(shè)4"與【解析】如圖乙所示,設(shè)圓環(huán)半役為R,則c球由。點(diǎn)自由卜落到M點(diǎn)用時(shí)演足 足或，所以 水平面成角，則a球下滑到必用時(shí)滿足4gksin響3疝仍叱,即七若；同理占球從6點(diǎn)下滑到用點(diǎn) 用時(shí)也滿足hWjjG為過氏.“目水平而相切于明點(diǎn)的豎

17、直圓的半徑，爾c綜上所述可得項(xiàng) 正確°【典例4】如圖所示，在同一豎直線上有A、B兩點(diǎn)，相距為h, B點(diǎn)離地高度為H,現(xiàn)在要在地而上尋找 一點(diǎn)P，使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由R和B沿木板，下滑到P 點(diǎn)的時(shí)間相等，求0、P兩點(diǎn)之間的距離而?！窘馕觥坑伞暗葧r(shí)圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時(shí)圓周上，且P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿 足題設(shè)要求。如圖所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為：R = O1P = H + 3 ,所以 OP =r2_（：）2 =【變式訓(xùn)練4】如圖，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板以0、60、。，其下潑都固定于底部圓心0,而上端則擱在倉庫側(cè)壁，

18、三塊滑塊與水平面的夾角依次為30°、45 60%若有三個小孩同時(shí)從小6、。處開始下滑（忽略阻力），則 （A、a處小孩最先到0點(diǎn)C、。處小孩最先到。點(diǎn)）B、6處小孩最后到。點(diǎn)D、a、c處小孩同時(shí)到0點(diǎn)【答案】D【解析】選D.三塊滑板與圓柱形倉庫構(gòu)成的斜面底邊長度均為圓柱形倉庫的底而半徑，則R 1 2 ,凸 2 4R-=-gtJsin6,tJ = 'cos9 2gsin26當(dāng)I）-一時(shí)，1最小，邙0=30°和60°時(shí)，sin2。的值相同，故只有D正確.【典例5】（單選）如圖6所示，相和為兩條光滑斜槽，它們各自的兩個端點(diǎn)均分別位于半徑為斤和r的 兩個相切的圓上，

19、且斜槽都通過切點(diǎn)正.設(shè)有一重物先后沿兩個斜槽，從靜止出發(fā)，由4滑到6和由?；?到G所用的時(shí)間分別為工和餐則七與左之比為（）.A. 2 ： 1 B. 1 ： 1 C.木：1 D. 1 ： 3【解析】 由“等時(shí)圓”模型結(jié)論有：tn tn 2,所以r&=3 + tr, tztn,知=& B項(xiàng)正確.【變式訓(xùn)練5】如圖8所示，圓弧四是半徑為斤的口圓弧，在池上放置一光滑木板劭，一質(zhì)量為0的小物 4體在劭板的。端由靜止下滑，然后沖向水平而6C在左上滑行后停下.不計(jì)小物體在5點(diǎn)的能量損失，己知小物體與水平面芯間的動摩擦因數(shù)為.求：小物體在切上下滑過程中，重力做功的平均功率.【答案】 【解析】由動能定理可知小物體從，到。有W"儂£=0,所以楊