高中數(shù)學(xué)向量專(zhuān)題-概念+例題

1、高中數(shù)學(xué)向量專(zhuān)題學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.掌握向量的加法和減法.掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件 .2 .掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練運(yùn)用，掌握平移公式.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件.3 .了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它彳門(mén)解斜三角形 .向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，作為數(shù)形結(jié)合的有力工具，它的應(yīng)用極其廣泛，在復(fù)數(shù)、平幾、解幾、立幾、物理

2、等知識(shí)中均有涉及.本章在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了平面向量的概念及運(yùn)算的基礎(chǔ)上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解決問(wèn)題是 本章特點(diǎn)的一個(gè)方面，向量本身具有數(shù)與形結(jié)合的雙重身份，這為解決問(wèn)題過(guò)程中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法創(chuàng)造 了條件.通過(guò)本章學(xué)習(xí)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力知識(shí)點(diǎn)1 .向量的定義既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向線段表示.AB表示從點(diǎn)A到B的向量（即A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量），也可以用字母a、b、c等表示.（印刷用黑體a、b、c,書(shū)寫(xiě)用a 6、C注意：長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等為 數(shù)量，位移、速度、力等為向量 ）.2 .向量的模所謂向量AB的大小，就是向量 AB

3、的長(zhǎng)度（或稱(chēng)模），記作| AB |或者| a | .向量不能比較大小，但向量的模 可以比較大小.3 .零向量與單位向量： 長(zhǎng)度為0的向量稱(chēng)為零向量，用0表示.0向量的方向是不定的， 或者說(shuō)任何方向都是 0向量的方向，因此0向量有兩個(gè)特征：一長(zhǎng)度為 0;二是方向不定.長(zhǎng)度為1的向量稱(chēng)為單位向量.4 .平行向量、共線向量方向相同或相反的非零向量稱(chēng)為平行向量.特別規(guī)定零向量與任一向量都平行 .因此，零向量與零向量也可以平行.根據(jù)平行向量的定義可知：共線的兩向量也可以稱(chēng)為平行向量.例如AB與BA也是一對(duì)平行向量.由于任何一組平行向量都可移到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量.例如，若四邊形 ABCD

4、是平行四邊形，則向量AB與CD是一組共線向量；向量 AD與BC也是一組共線向量.5 .相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a與向量b相等，記作a =b .零向量與零向量相等，任意兩個(gè)相等的非零向量都可以用一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)重點(diǎn)難點(diǎn)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，應(yīng)該掌握：（1）理解向量、零向量、單位向量、相等向量的概念；（2）掌握向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量；（3） 了解平行向量的概念及表示法，了解共線向量的概念例1判斷下列各命題是否正確（1）若 I a I = I b I ,貝U a = b（2）若A、R C、D是不共線的四點(diǎn)，則 aB = DC是四邊形ABC皿平

5、行四邊形的充要條件.(3)若 a = b, b = c,貝 Ua = c(4)兩向量a、6相等的充要條件是r I G I = I S I(5) | a | = | b |是向量a = b的必要不充分條件.(6) AB =CD的充要條件是 A與C重合，B與D重合.解：(1)不正確，兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同(2)正確. AB = Dc , AB = De 且云B / DC.又A、B、C D是不共線的四點(diǎn).四邊形 ABCD是平行四邊形，反之，若四邊形ABCD是平行四邊形則 AB _DQ且AB與DC方向相同，因此AB = DC .(3)正確.: a =b，a, 6的長(zhǎng)度相等且方向相同

6、；又 b =c.b, C的長(zhǎng)度相等且方向相同.a , c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故 a = c(4)不正確.當(dāng)a / b ,但方向相反，即使| a | = I b | ,也不能得到a =b ,故rl J 1 = 1 3 I不是a = b的充要條件.(5)正確.這是因?yàn)閨 a | , F,a=b ,但a = b| a | = | b | ,所以| a | 二 | b |是a = b的必要不充分條件.(6)不正確.這是因?yàn)锳B=CD時(shí)，應(yīng)有： Ab = CD 及由a到b與由c到d的方向相同，但不一定要有 a 與C重合、B與D重合.說(shuō)明：針又上述結(jié)論(1)、(4)、(5),我們應(yīng)該清醒的認(rèn)識(shí)到，兩非零

7、向a、b相等的充要條件應(yīng)是a、b的方 向相同且模相等.針對(duì)結(jié)論(3),我們應(yīng)該理解向量相等是可傳遞的.結(jié)論(6)不正確，告訴我們平面向量a與b相等，并不要求它們有相同的起點(diǎn)與終點(diǎn).當(dāng)然如果我們將相等的兩 向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn).則這時(shí)它們的終點(diǎn)必重合例2 如圖所示， ABC中，三邊長(zhǎng)| AB|、| BC|、| AC|均不相等，E、F、D是AC, AB, BC的中點(diǎn).(1)寫(xiě)出與EF共線的向量(2)寫(xiě)出與EF的模大小相等的向量.(3)寫(xiě)出與EF.相等的向量.解：(1) F分別是AG AB的中點(diǎn)EF/ BC從而，與EF共線的向量，包括：FE , BD , DB , DC, CD, BC , CB

8、.(2) /B F、D分別是AG AB BC的中點(diǎn)1八 J 八EF=- BC,BD=DC= BC.22又AR BG AC均不相等從而，與EF的模大小相等的向量是：FE、bd Db dc Cd與EF相等的向量，包括： DB、CD .例3判斷下列命題真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共線向量一定相等.(3)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等的向量(4)不相等的向量，則一定不平行 .*非零向量的單位向量是土 -a.a解：(1)假命題，還可以方向相反；(2)假命題，共線向量?jī)H方向相同或相反；大小不一定相等；(3)真命題，因?yàn)橄蛄颗c起點(diǎn)位置無(wú)關(guān)；r r-b-ta-rr(4)假命題，因?yàn)槿鬭

9、 , b方向相同，但只要| a|w| b|,則awb.真命題，任一非零向量：a的單位向量為土 -a.a例4 如圖，已知：四邊形 ABCN, N M分別是AR BC的中點(diǎn)，又 AB = DC .DN A求證：CN=MA,證明：.AB=DC.I AB| = | DC| ,且AB/ DC.從而，四邊形 ABCD平行四邊形 AD/ BC, AD=BCN、M分別是AD BC的中點(diǎn).AN=1AD,MC=1 BC.22AN=MC. 又 AN/ MC四邊形 AMCN1平行四邊形.于是得：AM/ NG I AM| = | NC| . 又由圖可知：CN與MA的方向一致.CN =MA【難題巧解點(diǎn)拔】例1如圖，已知四

10、邊形ABC虛矩形，。是兩對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集M=A,B,C,D,O、向量的集合T= PQ | 任P, QC M,且P、Q不重合，試求集合T的子集個(gè)數(shù).ABDC分析：要確定向量為元素的集合 T有多少個(gè)子集，就需搞清楚集合 T中有多少個(gè)相異的向量解：以矩形ABCM四頂點(diǎn)及它的對(duì)角線交點(diǎn) 0,五點(diǎn)中的任一點(diǎn)為起點(diǎn)，其余四點(diǎn)中的一點(diǎn)為終點(diǎn)的向量共有20個(gè)，但是這20個(gè)向量不是各不相等的，我們下面將這20 個(gè)向量一一列舉出來(lái)：AO =0C、0A =C0 ; DO =0B、BO=OD;AC、CA ； BD、DB ； AD = BC、DA=CB;AB=DC、BA=CD.它們中有 12 個(gè)向量是各不

11、相等的 故T是一個(gè)12元集.所以T有212個(gè)子集.說(shuō)明：在上述解題過(guò)程中，我們一定要根據(jù)集合元素的互異性.算出T中的元素個(gè)數(shù)為12.而不是20.這樣才能得到正確的結(jié)果.例2 已知；如圖，點(diǎn) D在4人3儀勺邊BC上，且與B、C不重合，E、F分別在AR AC上，DF = EA .TD(1)求證： BD DCF.(2)求當(dāng)D在什么位置時(shí)，四邊形 AED用勺面積可以取到最大值 ？ 證明：(1) DF =EADF/ AE, | DF| = | EA| .從而，得：四邊形 AEDF是平行四邊形DE/ AF, | DE| = | AF |由DE/ AF可得：/ BDEhC由 DF/ AE可得：/ B=Z F

12、DC. BDa DCF(2)設(shè) | BC| =a, | AC| =b, | AB | =c, | BD| =x，則 | DC| =a-x.BDa DCF.BD _ BE _ ED CD DFC從而，-BE- = -D ,設(shè)比為ki.x a xEDFC一L ,設(shè)比為k2.由 | BE | + | DF| =c, | ED| + | FC | =b.可得：xki+(a-x)k, ci=c, - ki =.axk2+(a-x)k 2=b,k2=bc.I DF| = c(a-x)a| DE| =bx a由點(diǎn)F作FT, AB,垂足為T(mén)由銳角三角函數(shù)，| FT | = | AF | sinA= bx -

13、sinA a.Su aed= | DF| - | FT | = c (a-x) - bx - sinA a abc2、=(ax-x )sinAa=bc - (x- 亙)2 sinA bc sinA a2424當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)，等號(hào)成立.2答：D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，Sbaedf取到最大值.Al, A2A8及圓心。九個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向例3如圖A, X, A8是。上的八個(gè)等分點(diǎn)，則在以量中，模等于半徑的向量有多少個(gè)？模等于半徑北倍的向量有多少個(gè)？分析：（1）由于Al、A2A8是。上的八個(gè)等分點(diǎn)，所以八邊形AAA8是正八邊形，正八邊形的邊及對(duì)角線長(zhǎng)均與。的半徑不相等.所以模等于半徑的向量只可

14、能是OA與AO （i=1,2,，8）兩類(lèi).（2）。內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)是半徑的J2倍，所以我們應(yīng)考慮與圓心O形成90。圓心角的兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量個(gè)數(shù).解：（1）模等于半徑的向量只有兩類(lèi)，一類(lèi)是03（i=1,2 ,，8）共8個(gè)；另一類(lèi)是 麗（i=1,2, ,8）也有8個(gè)，兩類(lèi)合計(jì)16個(gè).（2）以A1, A2,，A8為頂點(diǎn)的。O的內(nèi)接正方形有兩個(gè)，一是正方形AAAA7；另一個(gè)是正方形 A2A4AAs.在題中所述的向量中，只有這兩個(gè)正方形的邊（看成有向線段，每一邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量）的長(zhǎng)度為半徑的 J2倍.所以模為半徑 J2倍 的向量共有4X2X2=16個(gè).說(shuō)明：（1）在模等于半徑的向量個(gè)數(shù)的計(jì)算中，要計(jì)算O氏

15、與AO（i=1 , 2,，8）兩類(lèi)，一般我們易想到OAi（i=1,2,，8）這8個(gè)，而易遺漏 AO （i=1 , 2,，8）這8個(gè).（2）圓內(nèi)接正方形的一邊對(duì)應(yīng)了長(zhǎng)為 | b |a bC. a=b| a | / | b |D. | a | =0 a=0解：由向量的定義知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B,零向量、數(shù)字 0是兩個(gè)不同的概念，零向量是不等于數(shù)字 0的.，應(yīng)排除D, 應(yīng)選C.例4 下列四個(gè)命題：若| a | =0，則a =0；若| 2| = |6|,則2=6或2=；若a與b是平行向量，則|a I = I b I ；若a = 0 ,則-a = 0正確命題個(gè)數(shù)是（）A

16、.1B.2C.3D.4分析：是忽略了 0與0不同，由于 a =0 a=0,但0不能寫(xiě)成0；是對(duì)兩個(gè)向量的模相等與兩個(gè)實(shí)數(shù)相等混淆了，兩個(gè)向量的模相等，只能說(shuō)明它們的長(zhǎng)度相同，并不意味它們 的方向相同或相反；是對(duì)兩個(gè)向量平行的意義理解不透，兩個(gè)向量平行，只是這兩個(gè)向量的方向相同或相反，而它們的模不一定相 等；正確，故選A.強(qiáng)化練習(xí)：一、選擇題1 .下列命題中的假命題是（）A.向量AB與BA的長(zhǎng)度相等B.兩個(gè)相等向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同C.只有零向量的模等于 0D.共線的單位向量都相等2 .如圖，在圓。中，向量OB, oc ,有是（）A.有相同起點(diǎn)的向量B.單位向量C.相等的向量D.模相等的向

17、量（2期留）B黑圖）3 .如圖， ABC中，DE BC,則其中共線向量有（）A.一組B.二組C.三組D.四組4 .若a是任一非零向量，b是單位向量，下列各式| a | | b | ；a / b ；| a I 0；I b I = 1 ； 1ar=b ,其中正確的有（）aA.B.C.D.5 .四邊形ABCD,若向量 AB與CD是共線向量，則四邊形 ABCD（）A.是平行四邊形B.是梯形C.是平行四邊形或梯形D.不是平行四邊形，也不是梯形6 .把平面上所有單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（）A. 一條線段B.一個(gè)圓面C.圓上的一群弧立點(diǎn)D.一個(gè)圓7 .若a, b是兩個(gè)不平行

18、的非零向量，并且a / c , b/c,則向量c等于（）toffA. 0B. aC. bD. c 不存在I-I-fc-8.命題p： a與b是方向相同的非零向量，命題 q: a與b是兩平行向量，則命題 p是命題q的（）A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件二、判斷題1 .向量aB與bA是兩平行向量.（）2 .若I是單位向量，b也是單位向量，則 a=b.（）3 .長(zhǎng)度為1且方向向東的向量是單位向量，長(zhǎng)度為 1而方向?yàn)楸逼珫|30。的向量就不是單位向量.（）4 .與任一向量都平行的向量為0向量.（）5 .若AB =DC ,則A B、C D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形.（）.()

19、6 .兩向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同7 .設(shè)O是正三角形ABC的中心，則向量 AB的長(zhǎng)度是OA長(zhǎng)度的J3倍.（）8 .已知四邊形ABC比菱形，則| AC | = | BD |是菱形ABC的正方形的充要條件.（）9 .在坐標(biāo)平面上，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為起點(diǎn)的單位向量的終點(diǎn)P的軌跡是單位圓.（）10 .凡模相等且平行的兩向量均相等.（）三、填空題1.已知a , b , c為非零向量，且 a與6不共線，若c / a ,則c與b必定 2.已知| OA| =4, | AB | =8, Z AOB=60 ,則 | AB | =則在圖中所標(biāo)出的各向量中，模等于該正六邊形邊長(zhǎng)的向量共有個(gè).3.如圖

20、，已知O是正六邊形的中心,R4.如圖所示，四邊形 ABCDW ABDE都是平行四邊形，則與向量AB共線的向量有;若 | AB | =1.5,則 | CE | =.5.已知四邊形ABCM, AB =- DC，且| AD | = | BC | ,則四邊形ABCD勺形狀是.2四、解答題1 .如圖，在 ABC中，已知：向量 AD = DB , DF =BE,求證：DE=AF.2 .在直角坐標(biāo)系中，將所有與y軸共線的單位向量的起點(diǎn)移到x軸上，其終點(diǎn)的集合構(gòu)成什么圖形【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】 fc-fc- -rto-wr wr r f f1 .已知a、b是任意兩個(gè)向量，下列條件：a = b；| a | = | b

21、 |；a與b的方向相反；a=0或b=0；與b都是單位向量.其中，哪些是向量 a與b共線的充分不必要條件.2 .已知ABC比等腰才!形，AB/ DQ下列各式： AB = DC ;AD =BC ;| AC | = | BD | ;| AB |豐DC | ; AB / CD .正確的式子的序號(hào)是.3 .不相等白向量a和b,有可能是平行向量嗎？若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若有可能，請(qǐng)把各種可能的情形一一列出4 .下列各組量是不是向量 ？如果是向量，說(shuō)明這些向量之間有什么關(guān)系？(1)兩個(gè)三角形的面積 Si, S2；(2)桌面上兩個(gè)物體各自受到的重力Fi, F2;(3)某人向河對(duì)岸游泳的速度vi與水流的速度V2；(4)浮在水面上的物體受到的重力W和水的浮力F.【生活實(shí)際運(yùn)用】10某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了 10