曲線與曲面積分習(xí)題參考答案

1、十 曲線積分與曲面積分習(xí)題(一) 對弧長的曲線積分1. 計算，其中為圓周 .解 .2. 計算，其中為由直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個邊界.解 .3計算,其中是拋物線上從到的一段弧.解 .4計算，其中為從點到的直線段.解 .5計算，其中是曲線的一段.解 .6計算，其中為圓周,直線及軸在第一象限所圍成的扇形的整個邊界.解7設(shè)在面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線,在點處它的線密度為,試用對弧長的曲線積分分別表達(dá)(1)這條曲線弧對軸,軸的轉(zhuǎn)動慣量；(2) 這條曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo). 解 （1） （2） (二) 對坐標(biāo)的曲線積分1計算，其中為圓周上對應(yīng)從到的一段弧.解 2計算，其中分別為（1）沿拋物線從到的一段；（2

2、）沿從到的直線段.；（3）沿封閉曲線，其中,.解 （1）. （2）.（3） .3計算，其中是從點到點的一段直線.解 直線方程為，其參數(shù)方程為，從0變到1.4計算，其中是螺旋線從到上的一段.解 .5設(shè)為曲線上相應(yīng)于從0變到1的曲線弧.把對坐標(biāo)的曲線積分化成對弧長的曲線積分.解 由于，故，. .(三) 格林公式及應(yīng)用1計算，其中為圓周，取逆時針方向.解 2計算，其中是在圓周上由點到點 的一段弧.解 , 3. 計算，其中為橢圓的上半周由點到的弧段.解 , 4. 計算,其中為在拋物線上由點到的一段弧解 ， 5. 計算，其中為圓周，的方向為逆時針方向.解 ，當(dāng)時， 所圍區(qū)域為，由于，故不能直接用格林公式

3、.選適當(dāng)小的，作位于內(nèi)的小圓周.記與所圍區(qū)域為，在上應(yīng)用格林公式，得0其中取逆時針方向.所以 .6. 計算星形線，所圍成區(qū)域的面積.解 7. 證明曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值.解 （1），在整個面上成立故曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān).（2）8驗證在整個平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求這樣的一個.解 （1）驗證略； （2）9試用曲線積分求的原函數(shù).解 ，在整個面上成立所以 =+C.(四) 對面積的曲面積分1計算，其中是錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面.解 .2. 計算，其中為平面在第一卦限的部分. 解 ， .（）3計算，其中為球面.解 4計算，是球面.有問題解 5求拋物面殼的質(zhì)量

4、，此殼的面密度為.解 .(五)對坐標(biāo)的曲面積分1計算，其中是球面的下半部分的下側(cè).解 2計算，其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè). 解 .3計算，其中為已知連續(xù)函數(shù)，為平行六面體表面的外側(cè). 解 所以 .4計算，其中為半球面的上側(cè). 解 同理：故.5計算，其中是柱面被及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè). 解 同理：故.6設(shè)為平面在柱面內(nèi)那一部分的上側(cè)，下面兩個積分的解法是否正確？如果不對，給出正確解法.（1）；（2）. 解 （1）正確； （2）錯誤.正確解法是：.(六) 高斯公式 利用高斯公式計算:1計算，其中為球面的內(nèi)側(cè). 解 2計算，其中是曲面在第一卦限中部分的下側(cè).解 補充曲

5、面： ，取上側(cè)； ，取左側(cè)； ，取后側(cè).，和構(gòu)成閉曲面，所圍的空間閉區(qū)域記為，由高斯公式，得 .3計算，為正方體的表面并取外側(cè),其中.解 4計算，其中是由及所圍成的閉曲面的外側(cè)，是此曲面的外法線的方向余弦. 解 = =.(七) 斯托克斯公式1計算，其中為平面與各坐標(biāo)面的交線，取逆時針方向為正向. 解 由斯托克斯公式，得 1.2計算，其中是從經(jīng)和回到的三角形. 解 由斯托克斯公式，得 .(八) 曲線積分與曲面積分自測題1計算曲線積分(1) ，其中為圓周； 解 =.(2) ，其中為曲線； 解 =. (3) ，其中為擺線上對應(yīng)從0到的一段??； 解 = =. (4) ，其中是曲線上由到 的一段??； 解 = (5) ，其中為上半圓周 沿逆時針方向； 解 補充積分路徑，x從0到2a. =2計算曲面積分(1) ，其中是介于平面及之間的圓柱面； 解 ，= =+=.(2) ，其中為錐面的外側(cè)； 解 = =. (3) ,其中為半球面的上側(cè)； 解 = =. (4) ，其中為曲面的上側(cè)； 解 （利用高斯公式） (5) ，其中為球面外側(cè). 解 =.3證明：在整個平面除去的負(fù)半軸及原點的區(qū)域內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的二元函數(shù).解 在整個平面除去的負(fù)半軸及原點的區(qū)域是單連通域.在內(nèi)， ，所以存在，使. 取積分