圓錐曲線中的最值和范圍問題方法

1、專題14圓錐曲線中的最值和范圍問題高考在考什么2 x1.已知雙曲線a2- i(a>0, b>0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60° b2可編輯范本的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2)B. (1,2)C.2,(C )D.(2,+ 8)22M、N分別是圓(x+5)2 + y2=4和(x2 . P是雙曲線 1 i的右支上一點(diǎn),916-5)2 + y2 = 1上的點(diǎn)，則|PM| -|PN |的最大值為(A. 63 .拋物線4A.一32y=-x4 .已知雙曲線曲線的右支上，且4(A)-3B.7C.8上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離

2、的最小值是7B .一525 i,(a 0,b bD.9(A )D. 30)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,點(diǎn)P在雙| PFi|=4| PF2,則此雙曲線的離心率 e的最大值為：(B)5(B)-3(C)27(D)一35.已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(Xi,yi),B(X2,y2)兩點(diǎn),則yi2+y2 2的最小值是6.設(shè)橢圓方程為x2uuu坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP32 _2y42(1,uuuOA過點(diǎn)M (0, i)的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B, O是uuiri iOB)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-J),當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時,2 2 uuu求(1)動點(diǎn)P的軌跡方程；(2) |NP|的最小

3、值與最大值.【專家解答】(1)法1 ：直線l過點(diǎn)記A(xi,yi),B(x2,y2),由題設(shè)可得點(diǎn)M (0,1)設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+ 1.A、B的坐標(biāo)(xi,yi)、 (X2,y2)是方程組所以kx 12L4的解.將代入并化簡得(4+k2)x2+2kx-3=0 ,2kXix2yiy2設(shè)點(diǎn). i OP -(OA OB)P的坐標(biāo)為(x,y ),則k4 k2 ,4 k 消去參數(shù)k4 2". 4 k(xiX2 yiy22,2得 4x2+y2-y=0當(dāng)k不存在時，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0 所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=00）,也滿足方程,解法二：設(shè)點(diǎn)22 yi.Xii,

4、4P的坐標(biāo)為（x,y）,因A（xi,yi）,B（X2,y2）在橢圓上，所以2X2一得2 xi2X2i , 24(yiy2)0,所以（XiX2)(Xi當(dāng)Xi X2時，有、i /X2)(yi4i /XiX2-(yi4y2)(yi y2)0.、yiy2丫2) 0.XiX2XiX2yi y2 并且 y ,2y iyi y2將代入并整理得4x2+y2-y=0XiX2當(dāng)Xi = X2時，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0, 2）、（0, -2）,這時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0, 0）也滿足，所以點(diǎn) P的軌跡方程為/ i d (y -) 2 i.ii64 2ir-ii(2)由點(diǎn)P的軌跡萬程知X 一，即 X .所以i6443(x i

5、)267i22 i 2i 2i 2i 2|NP|(x 2)(y 2)(x 3)44x,ii故當(dāng)x一 ,| NP |取得最小值，最小值為一；44,i <2i當(dāng)x時，| NP|取得最大值，最大值為.66高考要考什么【考點(diǎn)透視】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題，因其考查的知識容量大、分析能力要求高、區(qū) 分度高而成為高考命題者青睞的一個熱點(diǎn)?！緹狳c(diǎn)透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：(1)結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；(2)不等式(組)求解法：利用題意結(jié)合圖形(如點(diǎn)在曲線內(nèi)等)列出所討論的 參數(shù)適合的不等式(組)，通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；(3)函數(shù)值域求

6、解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變 量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。(4)利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行 巧妙的構(gòu)思；(5)結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們 的一個共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價值在于： 通過參數(shù)。簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；(6)構(gòu)造一個二次方程，利用判別式0。 突破重難點(diǎn)1的兩個焦點(diǎn)Fi、F2的距離之和為定值,_x2【范例1】已知動點(diǎn)P與雙曲線 一2，一 一， 1且cos Fi PF2的

7、取小值為 .(1 )求動點(diǎn)P的軌跡方程；DN ,求實(shí)數(shù)的取值(2)若已知D(0,3) , M、N在動點(diǎn)P的軌跡上且DM范圍.講解cos(1)由題意 c2=5 .設(shè)|PF 1|+|PF 2|= 2aF1PF2IPF1I2 IPF2I2 IF1F2I22IPF1 | |PF2 I(a J5),由余弦定理，得2a2 10 d 1.I PF1 I I PF2 I,I PF1 I I PF2 I 22又1PF"(2)a當(dāng)且僅當(dāng) IPF 1I=IPF 2I 時,IPF 1I IPF2a2 102a2 10此時cos F1PF2取最小值 2 1 ,令 2 aa19 '2上1解得a2=9 ,

8、c J5 ,b2=4 ,故所求P的軌跡方程為(2)設(shè) N(s,t), M(x,y),則由 DM DN ,可得(x, y-3)= (s, t-3), 故 x= s, y=3+(t-3).M、N在動點(diǎn)P的軌跡上， 2222s2 t2 ( s)2 ( t 3 3 )2/ 1 且- -1 ,9494(t 3 3 )22t2 .2135消去s可得1,解得t ,461351又 | t|2,. |1 2 ,解得5,65 1故實(shí)數(shù)的取值范圍是-,5.5【點(diǎn)晴】為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方 法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等.【文】已知點(diǎn)M(-2, 0)

9、, N(2,0),動點(diǎn)P滿足條件|PM | | PN | 2夜.記動點(diǎn)P 的軌跡為W.(I )求W的方程；uuu uun(n)若A, B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求OA OB的最小值.解：(I)依題意，點(diǎn) P的軌跡是以M, N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，22所求方程為：-y=1 (x>0)22(n)當(dāng)直線 AB的斜率不存在時，設(shè)直線 AB的方程為x = X0,22uLin uur此時 A (X0, 7x2-2 ), B (X0, 4x02 ), OA OB =2當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線 AB的方程為y=kx +b, 22代入雙曲線方程 x-L = 1 中，得：(1 -k2)x2-2

10、kbx -b2-2=022依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根，設(shè)A(X1,y1),B(X2,y2),則4k2b2 4(1 k2)?( b2 2) 0X1X2X1X2uuu 又OA2kb1 k2 b2 2uUr2 1解得|k|>1 ,OB = X1X2+ y1y2 =X1X2+ (kx + b) (kx2 + b)22 2k2 + 2,4=(1+k ) X1X2 + kb(X1 + X2) + b = -2=2-2>2k -1 k -1 uuu unn綜上可知OA OB的最小值為2【范例2】給定點(diǎn)A(-2,2),已知B是橢圓252y161上的動點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，當(dāng)AB 5

11、 BF取得最小值時，試求 B點(diǎn)的坐標(biāo)。3. . 一 .一 3解析：因?yàn)闄E圓的 e ,所以AB55BF 3AB-BF，而1 BF為動點(diǎn)B到左準(zhǔn)線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點(diǎn)B,使得它到和最小，過點(diǎn) 義|BF IIBN |作l的垂線，垂點(diǎn)為 N,過A作此準(zhǔn)線的垂線,eA點(diǎn)和左準(zhǔn)線的距離之 垂點(diǎn)為 M ,由橢圓定|BN |BF Ie5 31BF1AB3bf|AB|BN | | AN | AM 為定值其中，當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)AM與橢圓的定點(diǎn)時等點(diǎn)成立，此時5.36（一 ._ _5 _所以，當(dāng)AB - BF取得最小值時, 35.3B點(diǎn)坐標(biāo)為(,2)2【點(diǎn)晴】在處理許多與焦點(diǎn)有關(guān)的距離和差最值問題時，常

12、常用圓錐曲線的定義化 折為直，是一種簡便而有效的好方法。【文】點(diǎn)A (3, 2)為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2=4x 的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上移動，若|PA|+|PF| 取得最小值，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè) P 到準(zhǔn)線的距離為 d , 則 |PA|+|PF|=| PA|+ d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由圖 3可知過A占 八、的直線與準(zhǔn)線垂直時，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入 y2=4x,得 P (1 , 2)。2x 2【范例3】已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點(diǎn)在橢圓 一 y1上移動，試9求|PQ|的最大值。解：故先讓 Q

13、點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng) PQ通過圓心 O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求| O1QI的最大值.設(shè)Q(x, y),則|O1Q|2= x2+(y-4)2因Q在橢圓上，則x2=9(1- y2)1將代入得 | OiQ| 2= 9(1-y2)+(y-4)28 y 萬 271因?yàn)镼在橢圓上移動，所以-1 y 1,故當(dāng)y金時，OQ|max 3/3此時 PQmax 3 31【點(diǎn)晴】1.與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。2 .、，.y 1 a 1短軸的一個端點(diǎn)

14、,Q為橢圓上的一個動點(diǎn),2 x 【文】設(shè)P是橢圓-2 a求| PQ|的最大值。解：依題意可設(shè)I所以 x2=a2(1 -yP(0,1),Q(x,y),貝U | PQ|= /x2+(y-1)22) , I PQ|二(1 a2)(y - ?21 a2= a2(1 _y2)+y2 2y+1=(1 -，又因?yàn)镼在橢圓上， a2)y2 2y+1+ a2)2 7+1+ a2 .因?yàn)?I y| w 1,a>1,若 a>2,則 |二7| 當(dāng) y=?T7時,| PQ|取最大值a2 1若1<a<、/2,則當(dāng)y = 1時，| PQ|取最大值2.uur uuur【范例4】已知 OFQ的面積為2J

15、6, OF FQ m(1)設(shè)J6 m 4 J6 ,求 OFQ正切值的取值范圍；(2)設(shè)以0為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn) Q(如圖) uuu當(dāng)|0Q|取得最小值時，求此雙曲線的方程。uuur"OF |解析：(1)設(shè) OFQ = uuur uLur| OF | |FQ| cos(1 umr2 |0F|uur|FQ|sintan4.6Q、6(2)2x-2-a4.6tan設(shè)所求的雙曲線方程為2 y b2uur1(a 0,b 0),Q(X1,y1),則 FQ(Xic, Yi) SOFQ1 uuur一嚴(yán)口，26 7,62c, m (1)c4uuur uuur 又OF FQuuur uuir.

16、69m , OF FQ (c,0) (x1 c, y1) (x1 c) c ( 1 c24Xiuur -T5m|OQ| p2 y296 3c2,12.當(dāng)且僅當(dāng)c=4時,uuu_ _|OQ|最小，此時q的坐標(biāo)是(J6, J6)或(J6,娓)6a2a【點(diǎn)晴】6b2b2 16222a4一 、/x2y29,所求方程為1.b212412當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時,可通過建立目標(biāo)函數(shù),求其目標(biāo)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、基本不等式法、判 別式法、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等?！疚摹恳阎獧E圓的一個焦點(diǎn)為F1(0,-2 J2),對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 y 述，且離4一 24 ,一

17、心率e滿足：一,e,一成等差數(shù)列。 33(1)求橢圓方程；(2)是否存在直線I,使I與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、N,且線段MN恰被直線1 ，x 平分，若存在，求出2l的傾斜角的范圍；若不存在，請說明理由。(1)解：依題意e2.232 ca Q c9、.2 c 42、2-249.2.a = 3, c=2 <2 , b=1 ,又F1(0, - 2 72),對應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y，、21，橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為 x29(2)假設(shè)存在直線I,依題意I交橢圓所得弦MN2平分I的斜率存在。kx my2 消去工19設(shè)直線V,整理得 I與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、I ： y = kx + m22(k +9)x

18、 +2kmx +m2-9 = 0N,，A = 4k2m2 4(k2+9)(m2 9) > 0 即 m一 k2 一 9 v 0設(shè) M(xi,yi),N(X2,y2)X x2km2k2 92k把代入式中得(k一9- (k2 9) 0 4k2. k >。或 k v - V3一一2直線 l傾斜角(,一) (一, )3 22 3自我提升一 一 ,一 x21 .設(shè)AB是過橢圓-2 a則4 F1AB的面積最大為（2 y /A )1(a0）中心的弦,橢圓的左焦點(diǎn)為Fi（-c, 0）,的最大值為（A. 10C.acA (32)、B ( 40)P是橢圓251 上一點(diǎn)，則 | PA| 十|PB|3 .已

19、知雙曲線)10 <5C.22;二 L 1,16910,510過其右焦點(diǎn)F的直線l交雙曲線于AB ,若 |AB |=5 ,則直線l有（B ）A. 1條C. 3條4.已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，設(shè)P到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為 d1,到直線x+2y+10=0 的距離為d2,則d1+d2的最小值為 （C ）11.5C .5(D)1152x5.設(shè)F是橢圓一72,3,)，使| FPi| ,2y6| FP2|1的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個不同的點(diǎn)Pi （i=1 ,| FP3| ,組成公差為 d的等差數(shù)列，則 d的取值范-y- 1的一段圍成封閉圖形，點(diǎn)3的一段與橢圓x48.如圖3 ,拋物線y2=4

20、x圍為11 6°)(0,m6 .拋物線y2=2x上到直線x-y +3=0距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為22x y7 .如圖，已知 A、B是橢圓 一 1的兩個頂點(diǎn)，169C、D是橢圓上兩點(diǎn)，且分別在 AB兩側(cè)，則四邊形 ABCD面積的最大值是 12 J222yN (1 , 0)在x軸上，又A、B兩點(diǎn)分別在拋物線及橢圓上，且 AB/X 軸，求 NAB的周長l的取值范圍。解：易知N為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，又為橢圓的右焦點(diǎn)， 拋物線的準(zhǔn)線li: x=-1 ,橢圓的右準(zhǔn)線12： x=4 ,過A作AC li于C,過B作BD 12于D,則C、A、B、D在同一條與x軸平行的直線上。-y2 4x2由x2 v2

21、，得拋物線與橢圓的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x y- 1343,1而 |BN|=e|BD|=- |BD|,|AN|=|AC|2 .NAB 的周長 1=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|二|BC|+ 1|BD|=|BC|+|BD|-1 |BD|22=|CD|- 1|BD|= 5- 1|BD|222 r 15Q4 2 | BD | 4 一,即 1 | BD | 一32310 1 4,即1的取值范圍為(10, 4) 339.求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使拋物線 y2=x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 y=m(x-3)對稱解法1:設(shè)拋物線上兩點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線 y=m(x-3)對稱，A, B

22、中點(diǎn)M(x,y),則當(dāng)m=0時，有直線y=0 ,顯然存在點(diǎn)關(guān)于它對稱。2y x1Vly2111當(dāng) m 。時， 21Xy2 1一 y2 x2X x2y1 y2 2y m所以y m,所以m的坐標(biāo)為 5, m , m在拋物線內(nèi)，2222則有5 m ，得加 m V10且m 0,綜上所述，mM,而22解法2：設(shè)兩點(diǎn)為 A(x1, y1),B(x2, 丫2),它們的中點(diǎn)為 M(x, y),兩個對稱點(diǎn)連線的方程為x=-my+b ,與方程y2=x聯(lián)立，得y2+my-b =0所以 y1 + y2= -m ,即 y又因?yàn)橹悬c(diǎn) M在直線y=m(x-3)上，所以得 M的坐標(biāo)為 5, m222一 .，, ， ,，5 m又因?yàn)橹悬c(diǎn) M在直線x=-my+b上，b -,22對于 ，有 =m2+4b=10- m2>0,所以 JT0 m J10 。P與A、B兩點(diǎn)連線的斜率分別為kpAFi, F2,若曲線C上存在點(diǎn)Q使得10 .已知 A (2, 0), B (2, 0