高中數(shù)學(xué)排列組合題型總結(jié)

1、排列組合題型總結(jié)排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時(shí)，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復(fù)遺漏外，還應(yīng)注意積累排列組合問題得以快速準(zhǔn)確求解。1 直 接法1 特殊元素法例 1 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 這 6 個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（ 1 ）數(shù)字 1 不排在個(gè)位和千位（ 2 ）數(shù)字1 不在個(gè)位，數(shù)字6 不在千位。分析： （ 1 ）個(gè)位和千位有5 個(gè)數(shù)字可供選擇A52 ，其余2 位有四個(gè)可供選擇A42 ，由乘法原理：A52 A42 =2402 特殊位置法（ 2 ）當(dāng)

2、1 在千位時(shí)余下三位有A53 =60 ， 1 不在千位時(shí)，千位有A41 種選法，個(gè)位有A41 種，余下的有 A42 ，共有A41 A14 A42 =192 所以總共有192+60=2522 間 接 法 當(dāng) 直 接 法 求 解 類 別 比 較 大 時(shí) ， 應(yīng) 采 用 間 接 法 。 如 上 例 中 （ 2 ） 可 用 間 接 法A642A53A42 =252例 2 有五張卡片，它的正反面分別寫0 與 1 ， 2 與 3 ， 4 與 5 ， 6 與 7 ， 8 與 9 ，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三維書？分析：此例正面求解需考慮0 與 1 卡片用與不用，且用此卡片又

3、分使用 0 與使用 1 ， 類別較復(fù)雜，因333而可使用間接計(jì)算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C5323A33 個(gè)，其中 0 在百位的有222C422 2A22 個(gè) ， 這 是 不 合 題 意 的 。 故 共 可 組 成 不 同 的 三 位 數(shù)C5323A33- C4222A22=432 （個(gè)）3 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例 3 在一個(gè)含有8 個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中， 臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目， 且保持原節(jié)目順序， 有多少中插入方法？分析：原有的 8 個(gè)節(jié)目中含有9 個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0 個(gè)，故有A91A110 =100中插入方法。4 捆綁法 當(dāng)需排元素中

4、有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。例4 4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？44 分析：先將男生捆綁在一起看成一個(gè)大元素與女生全排列有A4種排法，而男生之間又有 A4種排法,又乘法原理滿足條件的排法有：A4 x A4 =576練習(xí)1.四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有種_ 23（C4 A3）2 .某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園 30天內(nèi)不同的安排方法有（c29 A；）1（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成

5、一天作為一個(gè)整體來選有C29其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列）五.閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共一種。分析：此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在 12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有C二種練習(xí)1.（a+b+c+d） 15有多少項(xiàng)？當(dāng)項(xiàng)中只有一個(gè)字母時(shí)，有C4種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15故C4 C104O2當(dāng)項(xiàng)中有2個(gè)字母時(shí)，有C4而指數(shù)和為15,即將15分配給2個(gè)字母時(shí)，如何分，閘板法一分為2,C14 即

6、C4 C14當(dāng)項(xiàng)中有3個(gè)字母時(shí)C3指數(shù)15分給3個(gè)字母分三組即可C43C124當(dāng)項(xiàng)種4個(gè)字母都在時(shí)C： C134四者都相加即可.練習(xí)2.有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號(hào)2數(shù)，I可有多少種不同的萬法？ （ C16）493 .不定萬程X1+X2+X 3+X 50=100中不同的整數(shù)解有（C99）六.平均分堆問題例66本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？分析：分出三堆書（a1,a2）,（a3,a4）, （a5,a6）由順序不同可以有 A3 =6種，而這6種分法只算一種分C；C：C2堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有6 4 2 =15種

7、A3練習(xí)：1 . 6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2.某年級(jí)6個(gè)班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個(gè)班，則分派方法的種數(shù)。七.合并單元格解決染色問題例7 （全國卷（文、理）如圖1 , 一個(gè)地區(qū)分為 5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是 2、3、4、5.下面分情況討論：（i）當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時(shí)，將2、4合并成一個(gè)單元格，此時(shí)不同的著色方法相當(dāng)于44個(gè)元素的全排列數(shù) A2,44（ii）當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時(shí)，與情形（i）類似同理可

8、得 A 種著色法.（iii）當(dāng)2、4與3、5分別同色時(shí)，將2、4; 3、5分別合并，這樣僅有三個(gè)單元格2,43,53 3從4種顏色中選3種來著色這三個(gè)單元格，計(jì)有 C4人3種方法.4 33由加法原理知：不同著色方法共有2 A4 C 4 A3=48+24=72（種）練習(xí)1 （天津卷（文）將3種作物種植12345在如圖的5塊試驗(yàn)田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共 種（以數(shù)字作答）（72）2 .（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃 6分為個(gè)部分（如圖3）,現(xiàn)要栽 種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色的話，不同的栽種方法有

9、 種（以數(shù)字作答）.（120）8 / 63 .如圖4,用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù).（540 ）4 .如圖5:四個(gè)區(qū)域坐定4個(gè)單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個(gè)單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是 種（84 ）5.將一四棱錐（圖6）的每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，若只有五種顏色可供使用,則不同的染色方法共 種（420）八.遞推法例八一樓梯共10級(jí)，如果規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要走

10、上這10級(jí)樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設(shè)上n級(jí)樓梯的走法為an種，易知ai=1,a 2=2,當(dāng)n>2時(shí)，上n級(jí)樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級(jí)，有an-i種走法，第二類是最后一步跨兩級(jí)， 有an-2種走法，由加法原理知：an=a n-1 + an-2,據(jù)止匕，a3=a i+a 2=3,a 4=a #+a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34 ,a9=55,a io=89.故走上 10 級(jí)樓梯 共有89種不同的方法。九.幾何問題1 .四面體的一個(gè)頂點(diǎn)位 A,從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)取 3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有3種（

11、3 C5 +3=33 ）2 .四面體的棱中點(diǎn)和頂點(diǎn)共 10個(gè)點(diǎn)（1）從中任取3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，共能確定多少個(gè)平面？ 333 3（C10-4 C6+4-3 C4+3-6C 4 +6+2 X6=29）（2）以這10個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，共能確定多少格凸棱錐？三棱錐C104-4C 64-6C44-3C 44=141四棱錐6 X4 X4=96 3 X6=18 共有 114十.先選后排法例9有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需 2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同 的選派方法有（）A.1260 種B.2025 種C.2520 種D.5054 種分析：先從10人中選出2人十一.用轉(zhuǎn)換法解排列組合問

12、題例10.某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié) 果有多少種.2解 把問題轉(zhuǎn)化為四個(gè)相同的黑球與四個(gè)相同白球，其中只有三個(gè)黑球相鄰的排列問題.A；=20種例11 .個(gè)人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法.解 把問題車t化為5個(gè)相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的 10個(gè)相同的黑土之間的 9個(gè)空隙種的排列問 一 5一.題.C9 =126 種例12 從1, 2, 3, , 1000個(gè)自然數(shù)中任取10個(gè)不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去法.10解 把穩(wěn)體轉(zhuǎn)化為10個(gè)相同的黑球與990個(gè)相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。C991例1

13、3 某城市街道呈棋盤形，南北向大街 5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最 短的走法有多少種.解無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3個(gè)相同的白球與四個(gè)相同的黑球的排列問3一.題.C7 =35 （種）例14 一個(gè)樓梯共18個(gè)臺(tái)階12步登完，可一步登一個(gè)臺(tái)階也可一步登兩個(gè)臺(tái)階，一共有多少種不同的 走法.解 根據(jù)題意要想12步登完只能6個(gè)一步登一個(gè)臺(tái)階，6個(gè)一步登兩個(gè)臺(tái)階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個(gè)相同的黑球與6個(gè)相同的白球的排列問題.C*=924 （種）.例15 求（a+b+c ） 10的展開式的項(xiàng)數(shù).解 展開使的項(xiàng)為aabpc丫，且“+什產(chǎn)10 ,因此，把問題轉(zhuǎn)化為 2個(gè)

14、相同的黑球與10個(gè)相同的白球的排2列問題.C12=66 （種）例16 亞、歐乒乓球?qū)官?，各?duì)均有5名隊(duì)員，按事先排好的順序參加擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者淘汰，勝者再與負(fù)方 2號(hào)隊(duì)員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程.那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？解 設(shè)亞洲隊(duì)隊(duì)員為 a1,a2,a5,歐洲隊(duì)隊(duì)員為b1, b2,，b5,下標(biāo)表示事先排列的出場(chǎng)順序，若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序.比賽過程轉(zhuǎn)化為這10個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列，最后師勝隊(duì)種步被淘汰的隊(duì)員和可能未參加參賽的隊(duì)員，所以比賽過程可表示為5個(gè)相同的白球和5個(gè)相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為C；0=252 （

15、種）十二.轉(zhuǎn)化命題法例17圓周上共有15個(gè)不同的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn)，則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以兩弦的四端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的15個(gè)不同的點(diǎn)能構(gòu)成多少個(gè)圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有 C2 =1365 （個(gè)）十三.概率法例18 一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前, 那么該天的課程表有多少種排法？ 一 一1,分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為一，故本21 1例所求的排法種數(shù)就是所有排法的一，即一 A=360種2 2十四.除序法 例19用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中,（1）若偶數(shù)2, 4, 6次序一定，有多少個(gè)？（2）若偶數(shù)2, 4, 6次序一定，奇數(shù)1, 3, 5, 7的次序也一定的有多少個(gè)?解（1）(2)A7A3A4十五.錯(cuò)位