初高中數(shù)學(xué)銜接教材已整理

1、初高中數(shù)學(xué)銜接教材編者的話現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)” ：1、絕對值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內(nèi)容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次項系數(shù)為1 的二次三項式的分解，對系數(shù)不為 1的涉及不多， 而且對三次或高次多項式的分解幾乎不作要求； 高中教材中許多化簡求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、不等式常用的解題技巧；5 初中教材對二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了解水平。而高中則是貫穿整個數(shù)學(xué)教材的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡圖、求值域（

2、取值范圍） 、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基本題型和常用方法；6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）初中不作要求，此類題目僅限于簡單的常規(guī)運算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)中，它們的相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；7、圖像的對稱、平移變換初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)時，則作為必備的基本知識要領(lǐng)；8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點，并無專題內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，是高考必須考的綜合題型之一；9、幾何中很多概念（如三角形的五心：重心、內(nèi)心、外心、垂

3、心、旁心）和定理（平行線等分線段定理、 平行線分線段成比例定理、 射影定理、 相交弦定理） 初中早就已經(jīng)刪除，大都沒有去學(xué)習(xí)；10、圓中四點共圓的性質(zhì)和判定初中沒有學(xué)習(xí)。高中則在使用。另外， 象配方法、 換元法、 待定系數(shù)法、 雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老師根本沒有去延伸發(fā)掘，不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。新的課程改革，難免會導(dǎo)致很多知識的脫節(jié)和漏洞。本書當(dāng)然也沒有詳盡列舉出來。我們會不斷的研究新課程及其體系。將不遺余力地找到新的初高中數(shù)學(xué)教材體系中存在的不足，加以補充和完善。歡迎廣大讀者提出寶貴意見，我們將不勝感激！目錄第一章 數(shù)與式1.1 數(shù)與式的運算1.1.1 絕對值1.1.

4、2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章 二次方程與二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系2.2 二次函數(shù)2.2.1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)2.2.2 二次函數(shù)的三種表達(dá)方式2.2.3 二次函數(shù)的應(yīng)用2.3 方程與不等式2.3.1 二元二次方程組的解法第三章相似形、三角形、圓3.1 相似形3.1.1 平行線分線段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性質(zhì)與判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用3.3 圓3.3.1 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系：圓

5、哥定理3.3.2 點的軌跡3.3.3 四點共圓的性質(zhì)與判定3.3.4 直線和圓的方程(選學(xué))1.1數(shù)與式的運算1. 1 .1 .絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對 值仍是零.即絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：a-b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.例1解不等式：x-1 +x-3 >4.解法一：由 x1=0,得 x=1;由 x3=0,得 x=3;若xc1,不等式可變?yōu)?(x-1)-(x-3)>4,即2x+4>4,解得 x<0,又 x<1,.x<0;

6、若1Ex<2,不等式可變?yōu)?x-1)-(x-3)>4,即 1 >4,不存在滿足條件的x;若x3,不等式可變?yōu)?x-1) + (x-3) >4,即 2x4>4,解得 x>4.又 x>3,. x>4.綜上所述，原不等式的解為x<0,或 x>4.解法二：如圖1.11, x1表示X軸上坐標(biāo)為x的點P到坐標(biāo)為1的點A之間的距離 |PA,即| PA =|x1| ； |x 3|表示x軸上點P到坐標(biāo)為2的點B之間的距離|PB ,即|PB|x-3|PCABDI I I I .x0134x|x1|圖 1. 1-1=| x 3| .所以，不等式|x-1 +

7、|x-3 >4的幾何意義即為|PA + |PB>4.由| AB =2,可知點p在點q坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點P在點D(坐標(biāo) 為4)的右側(cè).x< 0,或 x>4.練 習(xí)1 .填空：(1)若 x =5 ,貝U x=;若 x = _4 ,貝U x=(2)如果 a + b =5,且 a = 1,貝U b=;若 1 c =2 ,貝U c =.2 .選擇題：下列敘述正確的是()(A) 若a=b,則 a=b(B)若 ab,則 ab(C)若 a<b,則 a<|b(D)若a = b,則 a = ±b3 .化簡：|x5| |2x13| (x>5).1.1.2.乘法

8、公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(a+b)(ab) = a2b2;(2)完全平方公式(a 士b)2 = a2 ±2ab+ b2 .(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三數(shù)和平方公式(4)兩數(shù)和立方公式(5)兩數(shù)差立方公式 對上面列出的五個公式,我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：(a +b)(a2 ab +b2) = a3 +b3;(a -b)(a2 +ab +b2) = a3 -b3;(a +b +c)2 =a2 + b2 +c2 + 2(ab + bc + ac);(a +b)3 = a3 +3a2b +3ab2 +b3;(a-b)3=a3-3a

9、2b+3ab2-b3.有興趣的同學(xué)可以自己去證明.例 1 計算：(x +1)(x -1)(x2 -x +1)(x2 +x +1).解法一：原式二 (x2 -1) (x2 +1)2 -x2 I242(x -1)(x x 1) x6 -1 .解法二：原式= (x+1)(x2 -x+1)(x-1)(x2 +x+1)=(x3 1)(x3 -1)=x6 -1 .例 2 已知 a+b+c = 4, ab+bc + ac = 4,求 a2+b2+c2 的值.解： a2 +b2 +c2 = (a +b +c)2 2(ab +bc + ac) = 8 .練 習(xí)1.填空：(1)9aT=(1b+3旬();22(2)

10、 (4m 十)=16m +4m+()；2222(3 )(a +2b -c) =a +4b +c +().2.選擇題：1(1)若x2+,mx+k是一個完全平方式，則k等于(2- c1c1c1c(A) m(B) -m(C) - m(D) m4316(2)不論 a, b 為何實數(shù)，a2+b22a4b+8IKt(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3 .二次根式一般地，形如石(a之0)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方 的式子稱為 無理式.例如3a + Ja2 +b +2b , Ja2 + b2等是無理式，而 T2x2+?x+1 , x2 +

11、 J2xy + y2, 4a等是有理式.1 .分母(子)有理化把分母(子)中的根號化去，叫做 分母(子)有理化.為了進行分母(子)有理化，需 要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式， 我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如應(yīng)與72,3n與金,眄+娓與屈-疵, 273-372 2 73 +3 72 ,等等. 一般地，a& 與&, aTx + byy a Tx - bjy , a/x+b 與a6-b互為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程； 而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式

12、，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行， 運算中要運 用公式 內(nèi)而= VOb(a20,b之0)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通 過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似， 應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括 號與合并同類二次根式.2.二次根式4a的意義例1將下列式子化為最簡二次根式：(1) A2b ；(2) Va"b(a>0) ;(3) J4x6y(x<0).解：(1)而b=2癡；(2) Vab = a|>/b =aVb(a 20)；(3) 6x6y =2 x36 = -2x3yy(x <

13、;0).例 2 計算：73+(3-73).解法一：石土(3-點)=33尸3 - .3.3 (3 、3)(3 一、3)(3、3)二 3、3 39 -3_ 3晨3 1)解法解:6二一 123 -，3試比較下列各組數(shù)的大?。?D衣-歷和E-M；(D .阮一舊=更二叵1.11 - .10 =、3/3(/3-1),3 13-1(V3_1)Q3+1)2_(2) 一和2”一旗.6 4( .12- ,11)(. 12 .11)1,12 .11.11 - .10 _ ( . 11 - . 10)( . 11 J10)幣 ,10.12、1T1VT1+VT0，二、312又衣+M >711710,厄布(布-加.

14、(2) . 242- 6g =2 2 6 _ (2、, 2- 6)(2 、. 2+ ,6)1又4 >2業(yè)m+ 4>加+2謳.-3<272-褥.6 4化簡：屋3 .2) 2004(、,3 -，、2 ) 20052.2+ .622.2+.6,解：(口 后2004 仆3-2) 2005=(點+近產(chǎn) 點在2004 )石揚=一點+技'(73 -亞)2°04 '(73 -亞=12004 (.3 -、,2) =、3 .2.例 5 化簡：(1) 79-475 ;(2)卜+十2(0 <x<1).解：(1)原式=55+475+4=、(/5)2 2 25 22

15、 = ,(2 - .5)2(2)原式=J(x )21, 一，、1, 0 <x <1 ,- >1 >x ,所以，原式=x .xx例 6 已知x=i理,y =省十卷,求3x25xy+3y2的值 .323- 2解：一 + 丫=卻1+夕，1 = (6-揚2+(«+揚2=10,3 - 2.3- 2填空:(1)(2)(3)(4)xy二3一、23、.2- 3 ,2 .3-.23x2 -5xy+3y2 =3(x + y)2 -11xy = 3父102 -11 = 289 .若 J(5-x)(x3)2 = (x -3K/5x ,則 x 的取值范圍是 _4月-6序 +3廊2715

16、0 =_若 x _ J5 則 Jx +1 Jx 1 + Jx + 1 + Jx 12 ' Jx +1 + Jx -1 Jx +1 - Jx -12.選擇題:工,獸=成立的條件是3.x-2(A) x02(B) x>0若b=、41+三 ,求a+b的值.(C) x 2(D) 0 :二 x :二 24.a 1比較大?。? 3乖-木(填“>”，或1.1.4 .分式1.分式的意義A形如公的式子，若B卜列性質(zhì)：A分式C具有B.、 一.A .B中含有子母'且B'0,則稱后為分式.當(dāng)MNO時,AA：-MBB-M上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).2,繁分式a像q m：n'p

17、這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. cd 2mn p例1若紅土生 =2+工一,求常數(shù)A,B的值.x(x 2) x x 2A B A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4用牛： 十=,x x 2 x(x 2) x(x 2) x(x 2)A B =5一 B 5,解得 A = 2,B=3.2A =4,例2(1)試證：一1一二1-工(其中n是正整數(shù))；n(n 1) n n 1(2)、上竹 111計算：+ +；1 2 2 39 10,11n(n 1)證明：對任意大于1的正整數(shù)n,有，+ +川+2 3 3 4(1)證明:n(n 1)11n(n 1)(2)解：由1n(n 1) n(1)

18、可知（其中n是正整數(shù)）成立.(3)jir1 2 2 39 101.IH -3 4 I又 n>2,11 111二（1一2）（2一3）川（9=）n(n 1)且n是正整數(shù)，；n(n 1)1二1 一一,11、 ，111()()1(2 33 410110 112- n + 1 '1、一時一定為正數(shù),1<2 .設(shè)$=£,且 e> 1, 2c25ac+2a2=0,求 e 的值. a解：在2c2 5ac+2a2= 0兩邊同除以a選擇題：,e2 5e+2=0, .(2e1)( e- 2) =0,e= 2.e= 2.填空題:對任意的正整數(shù)n,n(n 2)2.(A) 1(B)3.

19、正數(shù)x, y滿足x2-y =2xy,4.4求q的值.x y1(C)(D)+99 100習(xí)題A1.組解不等式：卜-1>3;(2)x + 3 + x-2 <7 ;(3)2 .已知3.填空:x -1 +|x +1 >6 .x +y =1,求 x3 + y+3xy的值.(1)(2 +痣)18(2 _后9 =(2)若加占了 +依可=2,則a的取值范圍是(3)11.21111工；33 .4.4,5 、5 ,6B組1.填空：(1)a=：2,1 nt1 3a -abb :一，貝23 3a 5ab -2b2 c2(2)若 x2+xy-2y2=0,則x y2.已知：x=l,y=1,求23 x-.

20、y的值.C1.選擇題：(1)若 7-a -b -2Tab = Cb - Ta(A)a :二 b(B) a b(C) a ：b： 0(D)b ： a ： 0a(2)計算a1 &(A). -a(B)(C) -.一112.解萬程 2(x2 +-2) -3(x+-)-1 =0 .x1113.計算：1 3 2 4 3 5JH 4 .試證：對任意的正整數(shù)n,有9 111+川+n(n 1)(n 2)1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng) 了解求根法及待定系數(shù)法.1 .十字相乘法例1分解因式：，一、2_(2) x +4x 12;(4) xy -1 +

21、x - y .，、2_(1) x -3x + 2;22(3) x -(a +b)xy +aby ;解：(1)如圖1. 1-1,將二次項x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成一 1與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一3x,就是x2 3x + 2中的一次項,所以，有 2-x 3x + 2=(x 1)( x-2).說明:x分解與本例類似白二次m項式時1以直接禰圖來表示(女&ST 1、1=22所示)1XT中的兩個x用1 ayx2+ 4x1/ (x 得 2)區(qū)1平 6 二 2圖 1. 1322x _(a+b)xy+aby = (x -ay)(x -by)(4) xy _1

22、+ x _y =xy+ (xy) 1= (x 1)( y+1)(如圖 1. 1 5所示).課堂練習(xí)一、填空題：1、把下列各式分解因式：圖 1. 15(1) x2 +5x-6 =(2) x2 _5x 6 =(3) x2 5x 6 ;(4) x2 - 5x - 6 =2(5) x _(a+1x+a =(6) x2 11x +18 =(7) 6x2 7x 2 ;(8) 4m2 -12m 9 ;(9) 5 +7x -6x2 = 22(10) 12x + xy -6y =2、x2 -4x += (x + 3 jx +)3、若 x2 +ax+b =(x+2 jx-4 狽tj a =, b=、選擇題：(每小

23、題四個答案中只有一個是正確的)1、在多項式(1)x2+7x+6(2)x2+4x+3(3)x2+6x+8(4)x2+7x + 10(5)A、只有(1) (2)x2+15x+44中，有相同因式的是(B、只有(3) (4)C、只有(3) (5)D (1)和(2); (3)和(4); (3)和(5)2、分解因式a2 +8ab-33b2得()A (a+11)(a-3) B 、(a +11bp -3b) C 、(a-11b p-3b) D3、(a +b 2 +8(a +b )-20分解困式得()A(a+b+10 Xa+b-2)B、(a +b+ 5)(a +b-4)C、(a+b+2/a+b10)D、(a+b

24、+4Xa+b-5)a -11b a 3b4、若多項式x2 -3x+a可分解為(x-5'(x-b ),則a、b的值是()A a=10, b=2 B 、a=10, b = -2 C 、a = -10, b = -2 5、若x2 +mx -10 =(x +a *x +b洪中a、b為整數(shù)，貝U m的值為(D 、a = -10, b = 2)A 3或 9 B 、±3 C 、±9 D 、±3或 土9三、把下列各式分解因式1、6(2p-q2 11(q2P)+33、2y2 -4y-62.提取公因式法例2分解因式：(1) a2 b -5 a 5-b-32_22、a3 -5a

25、2b+6ab2.4_ 2_4、b -2b -8(2) x3 9 3x2 3x解： (1). a2(b-5)+a(5-ba(b-5)(a-1)32322(2) x +9+3x +3x=(x +3x )+(3x+9)=x (x + 3)+3(x + 3)2(x+3)(x +3).1、2、3、4、5、6、7、1、2、3、4、(2) 3x 2y 2 - x-y 21、2、3、4、a2 -2ab +b2 , a2 -b2, a3、判斷題：（正確的打上4x2 -0.01 = 9z2彳 2-x I -(0.1 2 =<3 )-b3的公因式是,錯誤的打上“X”)-x+0.1 i!l-x-0.1<3

26、八 3J9a2 -8b2 = 3a 2 - 4b 2 = 3a 4b 3a -4b 25a2 16b = (5a +4b J(5a 4b )5、五、1、-x2 -y2 = -(x2 -y2 卜-(x + y *x _y ) a2 -(b +c 2 =(a +b+cj(a-b+c )把下列各式分解-9(m -n 2 +(m +n 23x23、4 -(x2 -4x +2 2、x4 -2x2 14.分組分解法例 4(1) x2 -xy +3y -3x(2) 2x2xy -y3232333x +9+3x +3x = (x +3x +3x+1)+8 = (x+1) +8 = (x+1) +2_2_2_2

27、_=(x+1)+2(x+1) -(x+1)x2+2 =(x + 3)(x +3)課堂練習(xí)：一、填空題:多項式6x 2x2 +xy - y2 -4x +5y -6 =2x2 +(y -4)x- y2 +5y -6y _2xy2 +4xyz中各項的公因式是 m(x _y)+n(y -x )=(x _ y )m(x -y f +n(y -x 2 =(x yj m(x -y z)+n(y+zx )=(x y -z ) m(x -y z) x + y+ z= (x y -z -13ab2x=(2x-y+2)(x+y-3). -39a= 2x2 +(y -4)x-(y-2)( y 3) =(2x y +

28、2)(x + y-3).b2x=(2x y)(x y) (4x 5y) 6 分解因式得 計算 992 99 =、判斷題：(正確的打上” ,錯誤的打上“X”)2a2b -4ab2 =2ab(ab )am +bm +m =m(a +b )-3x3 +6x2 -15x = -3x(x2 +2x -5 )xn +xn-=xn(x +1 ) 3:公式法例3分解因式：（1） -a或2222、2x xy -y _4x 5y -6 =(2 x xy-y )(4x-5y)6 +16 解：(1) -a4 16=42 -(a2)2 -(4 a2)(4-a2) -(4 a2)(2 a)(2 - a)(2) (3x +

29、2y 2 (x y 2 =(3x + 2y + x y)(3x + 2yx + y) = (4x + y)(2x +3y) 課堂練習(xí)課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項式(1) X2 -y2 a2 -b2 2ax 2by(2) a2 4ab +4b2 _6a +12b +95.關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(aw0)的因式分解.若關(guān)于x的方程ax2+bx + c = 0(a =0)的兩個實數(shù)根是x1、x2，則二次三項式ax2+bx + c(a= 0) 就可分解為a(x -x1)(x -x2).例5把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式:(1) x +2x1;(2) x 十4xy4y .解：(1)令 x

30、2+2x1=0, WJ 解得 x1 = 1+V2, x2=1 我，x2 2x -1= x-(-1 .2) x-(-1 - . 2)=(x+172)(x+1+ .(2)令 x2+4xy4y2=0, M解得 “ = (2+2&)y , %=(2 2>/2)y,.x2 +4xy_4y2=x+2(1_T2)yx+2(1 + J2)y.練 習(xí)1 .選擇題：多項式2x2 -xy -15y2的一個因式為(A) 2x -5y( B) x-3y2 .分解因式：(1) x2 + 6x + 8;(3) x2-2x-1;( )(C) x +3y(D) x-5y(2) 8a 3x2 +4xy - y2;-

31、 b3;(4) 4(x-y +1) + y(y-2x).習(xí)題1. 22.分解因式：(1) a3+1 ;22(3) b +c +2ab+2ac+2bc ;在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2(1) x -5x+3 ;(2) 4x4 -13x2 +9 ; 22(4) 3x +5xy -2y +x + 9y 4.(2) x2-2&x-3; ，一 2224) ) (x2 -2x)2 -7(x2 -2x) +12 .3.4.ABC三邊a, b , c滿足a2+b2+c2 = ab+bc+ca ,試判定AABC的形狀. 分解因式：x2 + x-(a2-a).1115) (嘗試題) 已知 abc=1, a+b+

32、c=2, a2+b2+c2=, 求+的值.ab c-1 bc a-1 ca b-12.1一元二次方程2.1.1根的判別式情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實例探索二次方程的根的求法，如求方程的根(1) x2 2x -3 =0(2) x2 2x 1 = 0 (3) x2 2x 3 = 0我們知道，對于一元二次方程 ax2+bx+ c=0 (a為)，用配方法可以將其變形為(xb 2b2-4ac媼:丁因為a為，所以，4a2>0.于是(1)當(dāng)b2-4ac>0時，方程的右端是個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)-b b2 -4acX1 2= ；X1 = X2 =2a，(2)當(dāng)b2 4ac= 0時

33、，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根(3)當(dāng)b2 4ac<0時，方程的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程的左邊(x + B)2 一定大于2a或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根.由此可知，一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (a為)的根的情況可以由b24ac來判定，我 們把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+ c= 0 (a0)的根的判別式，通常用符號”反表示.綜上所述，對于一元二次方程ax2+bx+ c= 0 (a加)，有(1)當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根xi, 2 =-b 十;b2 - 4ac2a(2)當(dāng)A= 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根 xi = x2= ；2a(3)

34、當(dāng)A< 0時，方程沒有實數(shù)根.例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出 方程的實數(shù)根.(1) x23x+3 = 0;(2) x2ax1=0;(3) x2-ax+ (a1)=0;(4) x22x+a=0.解：(1) = A= 32 4X1>= 3<0, .方程沒有實數(shù)根.(2)該方程的根的判別式 A= a2 4X1X1) = a2+4>0,所以方程一定有兩個不等的 實數(shù)根a , a2 4a -，a2 4x1 =2，x2 :2,(3)由于該方程的根的判別式為A= a2-4X1x(a-1)=a2-4a+ 4= (a 2)2,所以，當(dāng)a=2時，

35、A= 0,所以方程有兩個相等的實數(shù)根x1 = x2= 1 ；當(dāng)aw2時，A>0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根x1 = 1, x2 = a 1.(3)由于該方程的根的判別式為 _ 2A= 24 X1 >a=4 4a= 4(1 a),當(dāng)A>0,即4(1 - a) >0,即a<1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根X=1+j1-a,x2=1_j1-a；當(dāng)A= 0,即a=1時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1 = x2= 1 ；當(dāng)A<0,即a>1時，方程沒有實數(shù)根.說明：在第3, 4小題中，方程的根的判別式的符號隨著 a的取值的變化而變化，于是， 在解題過程中，需要對a的取

36、值情況進行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想 方法是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問 題.2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)若一元二次方程ax2+bx+ c=0 (a加)有兩個實數(shù)根-b -、:b2 - 4ac-b 一 由2 -4acx1 =2a ，x2 = 2a ，則有-b . b2 -4ac -b - . b2 -4ac -2bbx1 +x2 =+= = ；2a2a2a ab .b24ac -b - b 2-4ac b -(b - 4ac) 4ac cx1 x2 =2= 2 = 2 a2a4a4a a所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下

37、列關(guān)系：如果ax2+bx+ c= 0 (a加)的兩根分別是 xi, X2,那么xi + x2= - , xi x2=.這一 aa關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q = 0,若xi, x2是其兩根，由韋 達(dá)定理可知xi + x2= p, xix2=q,即P=(xi+x2), q=xix2,所以，方程x2 + px+ q = 0可化為x2- (xi + x2)x+ xi x2=0,由于xi , x2是一元二次方程 x2+px+ q = 0的兩根，所以，xi, x2也是一元二次方程x2 (xi + x2)x+xi x2 = 0.因此有以兩個數(shù)xi, X2為根

38、的一元二次方程(二次項系數(shù)為 1)是2x (Xl+X2)x+X1 X2=0.2例2已知萬程5x+kx-6 = 0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出 k的值，再由方程解出 另一個根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的 一個根及方程的二次項系數(shù)和常數(shù)項， 于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值.解法一：:2 是方程的一個根，. 5X22+kX26=0, k= 7.所以，方程就為5x27x 6 = 0,解得xi = 2, x2=-.5所以，方程的另一個根為一3, k的值為一7.5解

39、法二：設(shè)方程的另一個根為xi,則2xi=-, . xi = -3.55由 (一)+2=一一，得 k= 7.55所以，方程的另一個根為一3, k的值為一7.5例3 已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+ m2+4= 0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根 的平方和比兩個根的積大2i,求m的值.分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大 2i得到關(guān)于m的方 程，從而解得 m的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因 此，其根的判別式應(yīng)大于零.解：設(shè)xi, x2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得xi + x2= 2(m2), xix2=m2+4.xi2 + x22 xi x

40、2=2i,一 .2(X1 + X2)- 3 X1 X2=21,即 -2(m-2)2-3(m+ 4)=21,化簡，得 m216m17=0,解得 m=1,或 m=17.當(dāng)m= 1時，方程為x2+6x+5 = 0, A>0,滿足題意；當(dāng) m=17 時，方程為 x2+30x+293= 0, A= 302-4X1 >293< 0,不合題意，舍去.綜上，m=17.說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的 范圍，然后再由 兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大 21”求出m的值，取滿足條件的 值即可.(1)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時，還要考慮到根

41、的判別式否大于或大于零.因為，韋達(dá)定理成立的前提次方程有實數(shù)根.994次方程2x2+ 5x 3= 0的兩根.例5若X1和X2分別是(1)求 | X1X2|的值；解：: X1和X2分另1是例4已知兩個數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個數(shù).分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為 x, y,利用二元方程求解出這兩個數(shù).也可以利用 韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解.解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是x, y,則 x+ y=4,xy= 12.由，得 y=4 x,代入，得x(4 x)= 12,即x24x12 = 0, X1= 2, X2 = 6.fx-i _ -2,_Lx? =6,1 1,或<,% =6,y2 - -

42、2.因此，這兩個數(shù)是一2和6.解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個數(shù)是方程 x24x12=0的兩個根.解這個方程，得X1= -2, X2=6.所以，這兩個數(shù)是一2和6.說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二(直接利用韋達(dá)定理來解題)要比解法 一簡捷.(2)求十的值；(3) X13+X23. X1 X2二次方程2x2+5x3 = 0的兩根，32，X1X2 二2222.5 o325-49（1） | X1X2| =X1 + X2 12 X1X2=（X1+X2） 4 X1X2=（） -4父（一一）=k 6= ,2244.711X1X2z 5.2 9 f 325 oX12 X22 _ 區(qū) X2）2 -2K

43、X2 _（一2）-2 （-2）4 3 3722XiX2（XiX2）23 2（一 2）2一 | Xi X2|=-.(3) xi3+x23= (xi+x2)( xi2 xix2+x22)= (xi + x2) ( xi + x2)2 3xix2說明:= (_5)*(_5)2_3XJ3 *)一空次方程的 兩根之差的絕對值 是8個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律:設(shè)X1和X2分別是次方程 ax2+bx+c=0 (a0),則xi -b . b2 -4ac| X1 一X2| 二2a-b vb-b - . b2 -4ac，x2 二2a-4ac -b - b

44、 - 4ac2a2a2、b2 -4ac2a|a I于是有下面的結(jié)論：若X1和X2分別是次方程 ax2+bx+ c=0(a為)，則| xi X2|=Y (其中 A= b2|a|4ac).今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時,可以直接利用上面的結(jié)論.例6若關(guān)于x的一元二次方程x2x+a 4 = 0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)xi, x2是方程的兩根，則 xx2= a-4<0,且 A =( i)2 4(a-4) >0.由得由得a<4,i7 一 一一a<I .a的取值氾圍是a<4.練1.習(xí)選擇題：(1)方程-2而kx +3k2 =0的根的情

45、況是(A)有一個實數(shù)根(C)有兩個相等的實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根 (D)沒有實數(shù)根2.(2)若關(guān)于x的方程mx + (2m+i)x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù) 范圍是(C),im< 一4m< ,且 mw04，一、i(B) m> 24(D) m>一工,且 mw04填空:m的取值)(D(2)(3)方程mx2+x 2m=0 (mw。的根的情況是以一3和1為根的次方程是若方程x23xi=0的兩根分別是xi和x2,則工+=xix23.4.習(xí)題2.1A組1 .選擇題：(1)已知關(guān)于x的方程x2+kx 2=0的一個根是1,則它的另一個根是()(D) 2()(D) 4

46、個則a的值是()(D) 0,或一1(A) 3(B) 3(C) -2(2)下列四個說法：方程x2+2x7 = 0的兩根之和為一 2,兩根之積為一 7;方程x22x+7 = 0的兩根之和為一2,兩根之積為7;方程3 x27 = 0的兩根之和為0,兩根之積為一工；3方程3 x2+2x= 0的兩根之和為一 2,兩根之積為0.其中正確說法的個數(shù)是(A) 1 個(B) 2 個(C) 3 個(3)關(guān)于x的一元二次方程ax25x+a2+a = 0的一個根是0,2.填空:(A) 0(B) 1(0-1(1)方程kx2+4x1=0的兩根之和為一2,則k= (2)方程2x2 x 4 = 0的兩根為% 3則02+ 0

47、= (3)已知關(guān)于x的方程x2ax3a = 0的一個根是一2,則它的另一個根是 則 | x1 網(wǎng)=.m2x2 (2m+ 1) x+ 1 = 0有兩個不相等的實x2-7x- 1 = 0各根的相反數(shù).(4)方程2x2 + 2x 1 = 0的兩根為x1和x2, 3.試判定當(dāng)m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程1 .選擇題：若關(guān)于x的方程x2+(k21) x+k+1=0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為()(A) 1,或一1(B) 1(C) -1(D) 02 .填空：(1)若m, n是方程x2 + 2005x 1 =0的兩個實數(shù)根

48、，則m2n+mn2mn的值等(2)如果a, b是方程x2 + x-1=0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式 a3+a2b+ab2+b3的值 是.3 .已知關(guān)于x的方程x2kx2=0.(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩根為x1和x2,如果2(x + x2)>x1x2,求實數(shù)k的取值范圍.4 . 一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw。的兩根為x1和x2.求：(D | x1 x2|和 2； (2) x13 + x23.25 .關(guān)于x的方程x2+4x+m=0的兩根為x1, x2滿足| x1一x2|=2,求實數(shù)m的值.C組1 .選擇題：(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程

49、2x28x+7= 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于()(A) &(B) 3(C) 6(D) 9(2)若x1, x2是方程2x24x+1 = 0的兩個根，則_x1 + _x2的值為又2 x13A) 6B) 4C) 3D)2(3)如果關(guān)于x的方程x22(1 m)x+ m2=0有兩實數(shù)根 內(nèi)0,則a+ B的取值范圍為( )(A) ocd- B N( B) a+ B =(C) a+ 0>1( D) a+ 0 0 1(4)已知a, b, c是AABC的三邊長，那么方程cx2+(a+b)x+£ = 0的根的情況是() 4(A)沒有實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根(C)有兩個相

50、等的實數(shù)根(D)有兩個異號實數(shù)根2 .填空：若方程x28x+m=0的兩根為xi, x2,且3xi + 2x2=18,則m=.3 .已知xi, x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2-4kx+ k+ 1 = 0的兩個實數(shù)根.3 .(1)是否存在頭數(shù)k,使(2x1 x2)( x1 2 x2)= &成乂？右存在，求出k的值；右不存 在，說明理由；(2)求使土 +迄一2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值；(3)若k= 2,九=上，試求人的 x2 Xx2化24 .已知關(guān)于x的方程x2 -(m-2)x-m =0 .4(1)求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；(2)若這個方程的兩個實數(shù)根 與，

51、x2滿足|x2| =|x1| +2,求m的值及相應(yīng)的與，x2.5 .若關(guān)于x的方程x2+x + a = 0的一個大于1、零一根小于1,求實數(shù)a的取值范圍.2 . 2二次函數(shù)2.2.1二次函數(shù)y = ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖(1) y=x2 (2) y=-x2 (3) y=x2 2x-3問題1函數(shù)丫=2乂2與丫= x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問題，我們可以先畫出 v= 2x2, V= 1x2, v= 2x2的圖象，通過這些函數(shù)2圖象與函數(shù)y=x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)v= ax2與y=x2的圖象之間所存在的關(guān)系.先畫出函數(shù)y=x； y= 2x2的圖象.先列表：x-3-2-101232 x94r 1014r 92x2188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴大兩倍就可以了.再描點、連線，就分別得到了函數(shù) v= x2, y= 2x2的圖象(如圖2-1所示)，從圖21 我