機(jī)器人學(xué)第6章動(dòng)力學(xué).

1、第八章動(dòng)力學(xué)Chapter VI Dynamics6. 1引言6.2拉格朗日力學(xué)6.3機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程6.1 弓|言(Introduction )動(dòng)力學(xué)是機(jī)器人控制的基礎(chǔ)，本章主要從控制的角度來(lái)研究 機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。機(jī)械手通常是一種開鏈?zhǔn)蕉嚓P(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，是- 種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，需要采用系統(tǒng)的分析方法來(lái)研究它的動(dòng)態(tài)特 性。本章我們運(yùn)用拉格朗日力學(xué)原理來(lái)分析機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題， 因?yàn)槔窭嗜辗椒芤宰詈?jiǎn)單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué) 方程。本章的主要內(nèi)容如下：運(yùn)用拉格朗II力學(xué)原理分析和求取兩H 口度機(jī)械于的動(dòng)力學(xué)方程；介紹六自由度機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的求取方法和步驟：推導(dǎo)出完整的動(dòng)力學(xué)方程，

2、然貢根據(jù)右效性分析來(lái)簡(jiǎn)化這些方程。6.2拉格朗日力學(xué) 一個(gè)簡(jiǎn)例(Lagrangian Mechanics A Simple Example )拉格朗口算子L定義為系統(tǒng)的動(dòng)能K與勢(shì)能P的差(6.1)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可以用任何能使問(wèn)題簡(jiǎn)化的坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)農(nóng)示, 并不一定要使用笛卡爾坐標(biāo)。動(dòng)力學(xué)方程通常表述為dLr _d dL1 dtdqi(6.2)圖61兩連桿的機(jī)械手其中，務(wù)是表示動(dòng)能和勢(shì)能的坐標(biāo)值是速度，而耳是對(duì)應(yīng)的力或 力矩，耳是力還是力矩，這取決于是直線坐標(biāo)述是角度坐標(biāo)。這 些力.力矩和坐標(biāo)分別稱為廣義力.廣義力矩和廣義坐標(biāo)。為了說(shuō)明問(wèn)題，我們看一個(gè)具 體例JS假定有如圖6.1所示的兩連 桿的機(jī)

3、械手，兩個(gè)連桿的質(zhì)量分別 為叫、血2，由連桿的端部質(zhì)量代表, 兩個(gè)連桿的長(zhǎng)度分別為d、d2，機(jī) 械手直接懸掛在加速度為g的亟力場(chǎng) 中，廣義坐標(biāo)為8 1和8 2o6. 2. 1 動(dòng)能和勢(shì)能(The Kinetic and Potential Energy )動(dòng)能的一般表達(dá)式為K =丄陽(yáng)/質(zhì)最的的動(dòng)能可苴接寫出 2K =舟(6. 3)勢(shì)能弓質(zhì)最的垂直高度有關(guān)，高度用，坐標(biāo)表示，于是勢(shì)能可直接寫出P = mgdCos( )(6. 4)對(duì)J：質(zhì)量 由圖6.1,我們先寫出直角坐標(biāo)位置表達(dá)式,然后求微分，以便得到速度x2 = dS加(岡)+ dSin + %)(6. 5)乃=_dCos(6)_ dqCos

4、 + 色)(6. 6)速度的直角坐標(biāo)分量為尢2 = cZCos(tS| )密 +4- t$2 )(*1 + S2 )(6. 7)y2 =KS 加(幼)j + dosing +6)(! +Q)(6. 8)速度平方的值為匕 2 = d22 * 2(&2 * 攻 2良2 十財(cái))+ 22Cos（禺）Cos（禺+內(nèi)）（父彳+幺毎）+ 2dxd2Sin(19l)Sin(l +92)(912 +AA)=|鈴2 +d（歐 2 +2&2可 +陽(yáng)）+ 2皿26$（*92）（禺+久2）(6. 9)從而動(dòng)能為&2 =舟加 2哲2岔2 + -An2t/22(.9|2 + 2912922 + c922)+ mQdClzC

5、osQBdQ 董 + 禺2)(6.10)質(zhì)量的高度由式(6. 6)表示，從而勢(shì)能就是P2 = 一加2尺“Cos(切)一niogd2Cos幼 + 內(nèi))(6. 11)6. 2. 2 拉格朗日算子(The Lagrangian )拉格朗日算子L = K-P可根據(jù)式(6.3)、(6.4)、(6.10)和(6.11)求得厶=丄(初1 + 2)12!2 +丄力2色2(&2 + 2總！彳禺？十 禺2)+ AZ?2H1&2Uo$(冷)(禺 2 + 9|)(6. 12)+(“ + m2)gdxCos ) + m2gd2Cos + 內(nèi))(6. 13)(6. 14)丹j麗=心 + 已)(6. 15)根據(jù)式(6.2)

6、,把式(6. 14)與(6. 15)相減就得到關(guān)節(jié)1的力矩7 = (m + friodydCosS) )19+ lYlyCl -7+ tTiryd j d CJOS ( 7 )2.m2dxd2Sin2 m2dxd2Sin2 )922+0巾 + m2)gSin(S)皿2加2$加(6 +%)(6. 16)為了求得動(dòng)力學(xué)方程，我們現(xiàn)在根據(jù)式(6. 2)對(duì)拉格朗I算子進(jìn)行微分+ 加 2)&22 + m26/229)2 + /n26/22t922 + 2皿2 &+ 皿2“d (小32)91d J : =(/Z2 + m2)d廠 +)9j dt。場(chǎng)+ ( itiqcI od2Sin(i92 )9p92 m

7、2dxd2Sin&2 )922用拉格朗日算子對(duì)禺和蟲求偏微分，進(jìn)而得到關(guān)節(jié)2的力矩方程a9丄22=/M2Z2t9l + /n2d2i92 + m/d ?CcsQ9JS2(6. 17)J2 9 2 z = ns 6 + 皿衛(wèi) f $2 + Hipdd?CosJ9工)3、-2外卜bS加）6&2(6. 18)誇=叫樣加22）（殲+ 02） m2gcl ,Sin+(6. 19)(6. 20)D (6.21)于是關(guān)節(jié)2的力矩為T2 = _m2c/2 -+- m26/IcZ2C7o5,(i92 y 4- m26Z2?92+ m26/16/2SZzz(t92 )9I24-m272SZH(.9I + 92)將

8、式(6和(6. 20)重寫為如下形式丁 = D 胡 + D2 + D11A2 + DM + D g + D2$T2 = D129, + D2292 + O2l ,9/ + D222.922 + D2I29,A + Q 22)在方程(6.21)和(6.22)中各項(xiàng)系數(shù)D的含義如下:Djj一 關(guān)節(jié) i 的等效慣量(Effective inertia ),關(guān)節(jié)i的加速度使關(guān)節(jié)i產(chǎn)生的力矩Djj關(guān)節(jié)i與關(guān)節(jié)j之間的耦合慣量(Coupling inertia)關(guān)節(jié)i或關(guān)節(jié)j的加速度分別使關(guān)節(jié)j或i產(chǎn)生的力矩1禍和山關(guān)節(jié)j的速度產(chǎn)生的作用在關(guān)節(jié)i上的向心力Pjp；系數(shù)(Centripetal force

9、)Dik 作用在關(guān)節(jié)i上的復(fù)合向心力(哥氏力Coriolis force)的組合項(xiàng)D腫+ D腫j系數(shù)，這是關(guān)節(jié)j和關(guān)節(jié)k的速度產(chǎn)生的結(jié)果Dj 作用在關(guān)節(jié)i上的重力(Gravity)把方程(6.16)、(6.20)與(6.21)、(6.22)比較，我們就得到各項(xiàng)系數(shù)的值：等效慣量Dn = (mi + m2)dl2 + m2d22 + 2m2d1d2cos(02 )(6.23)D22=m2d22(6.24)耦合慣鼠D12= m2d22 + m2dld2cos(02)(6.25)向心加速度系數(shù)Dlll = (6.26)D122 = 一 m2dld2sin(02 )(6.27)D2II = m2d1d

10、2sin(02 )(6.28)D222 = 0(6.29)町氏加速度系數(shù)D112 = D2 = 一 ndasin)(6.30)D212=D221 = 0(6.31)重力項(xiàng)為D)= (m, + m2)gd|Sin(0|) + mjgdjSinCO + 02)(6.32)D2 = m2gd2Sin(0 + 02 )(6.33)下而給兩連桿機(jī)械手賦予具體數(shù)值，并且對(duì)于靜止?fàn)顟B(tài)(& =為=0)和 在無(wú)亟力環(huán)境中的機(jī)械手求解方程(6.21)和(6.22)。求解在下列兩種條件卜進(jìn) 行：關(guān)節(jié)2處丁鎖定狀態(tài)(總=0)：關(guān)節(jié)2處丁白由狀態(tài)(T2=0 )o在第一種 條件下，方程(6.21)和(6.22)簡(jiǎn)化為刁=

11、d 1 禺(6. 34)(6. 35)在第二種條件下，T2 = (),我們町以由方程(6.22)解出區(qū)，再把它代入方 程(6.21),得到T+ 廠222兀=02禺代入方程(6.21)有(6. 36)現(xiàn)在，取d, = d2 = 1 , m嚴(yán)2,而對(duì)于三個(gè)不同的m?值，分別求出各個(gè) 系數(shù)：m2= 1,表示機(jī)械手無(wú)負(fù)找怙:況；ni2 = 4,表示有菽我：m2 = 100 ,表 示位于外太空(無(wú)垂力環(huán)境)的機(jī)械手的負(fù)戯。在外太空，沒(méi)有亟力負(fù)載，允許 非常大的工作負(fù)載。根據(jù)求得的系數(shù)以及方程(6.34)和(6.35),分別對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)2的 四種不同的鎖怎狀態(tài)h.和自由狀態(tài)，計(jì)算關(guān)節(jié)1的慣雖如下表所示(表中I

12、L表示鎖定狀態(tài)，If表示自由狀態(tài))O1 , d2=1表6. 1mi = 2 , m2=1 , di =e2COS0 2DnD】2D22IIIfo16216290041143180-120122270041143表6. 2m1 = 2 ,叫=4,d = 1,d2 =1COS0 2DnD12D22IIIf0118841829001044106180-12042227001044106表6. 3m1 = 2 ,1112=100,=1=102COS0 2Dn%D22IIJ014022001004022900202100100202102180-120100222700202100100202102上面

13、三個(gè)表格中，靠右兩列衣明關(guān)節(jié)1的等效慣量。衣6.1說(shuō)明， 對(duì)于無(wú)負(fù)載的機(jī)械手來(lái)說(shuō)，8 2從0變?yōu)?80 ,在鎖定狀態(tài)情況 下，等效慣量I：的變化為3:lo同時(shí)，在6 2=0時(shí)，鎖定狀態(tài)（IL ） 和自由狀態(tài)（If ）等效慣量的變化也為3:1。從表6. 2可以看出，刈于加載機(jī)械手，6 :從0變?yōu)?80 ,在 鎖定狀態(tài)悄況卜，等效慣量、的變化為9:lo而白山狀態(tài)等效慣量If 的變化為3:1。對(duì)于表6. 3所示的負(fù)載為100的外太空機(jī)械手，在不同狀態(tài)下慣量 的變化竟為201:1。這些關(guān)聯(lián)的變化情況對(duì)于機(jī)械于的控制問(wèn)題將有 重要的影響。6. 3 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程（The Manipulator Dyn

14、amics Equation ）推導(dǎo)機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)方程可按下述五個(gè)步驟進(jìn)行首先計(jì)算機(jī)械手任意連桿上任意一點(diǎn)的速度么；再計(jì)算它的動(dòng)能K；然后推導(dǎo)勢(shì)能P ;形成拉格朗日算子L二K P；對(duì)拉格朗日算子進(jìn)行微分得到動(dòng)力學(xué)方程尸（/（ /（ / o山兩兩6. 3. 1 機(jī)械手上一點(diǎn)的速度(The Velocity of a Point on the Manipulator )假定機(jī)械手的連桿i I有一個(gè)點(diǎn)h它在基坐標(biāo)中的位置為是，它的速度就是(6. 37)(6. 38)或者用矩陣形式表為(-)2 = Tracer r )(6. 39)dt根擁方程（G. 38）nf得(6. 40)6. 3. 2 動(dòng)能(T

15、he Kinetic Energy )在連桿i上S處，質(zhì)量為dm的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能是= Trace 2y-i A-i(6.41)于足，連桿/的動(dòng)能就是=dKTrace 乞券( link 乙 J=1 k= q j(6. 42)dKi link/Trace 尹dm2 七仁 嘰式(6.42)中的積分稱為偽慣量矩陣，可由下式確定J xdmj ydmJ x zjdtnj dmlink,linkflinllinkfj lydmj 1 y2 dinj yzdmj 1 ydmJi= f i八丁dm =linklink.link,linkj(6. 43)1 Jlink,J 1 xlzdmlylzdmJ dmJ zdml

16、in%linlinktlink.j x dmr,亦j 1 zdmdtn link,link,link,叭冋顧下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，慣量叉積和物體的階動(dòng)量的定義為Ixx =J(/+Z2)m】xy = J xydmnix J xdmIyy =j(x2 + z2)dmIx: = j xzdmmy = j ydmAz=J（）+）為I、： = J yzdmmz = J ：dm從而J a 2 dm = _ * I* (y $ + 乙 2)加十 * J(” 十乙2 )dm j*(j2 + a2 )dm=(一/心+ /” + /J/2(6. 44)j*(x2 + z?)t/w+ J(y2 + x2 )dm= (+6_M

17、J/2(6. 45)j*Z1 dm 二 + * J(y2 4- z)d加 + *( +j (y2 + x2)dm=（+ + 心一4）/2(6. 46)一/+/ +/M ixv M iyy * izzj2十 hxx - hyy + 】iZZ4 =lizy2于是，就能農(nóng)示為“ XiyinijXilg + hyy lizz(6. 47)2MM機(jī)械手的總動(dòng)能就是6 | 6K = K =-Trace(6. 48)匕1何這個(gè)方程表示了機(jī)械手結(jié)構(gòu)的動(dòng)能，然而，動(dòng)能還有另外一個(gè)巫耍 組成部分，即各個(gè)關(guān)節(jié)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能（對(duì)非直接驅(qū)動(dòng)機(jī)械手而言）。我 們通過(guò)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的慣暈以及有關(guān)的關(guān)節(jié)速度表示這部分動(dòng)能aetu

18、atof在棱柱形滑動(dòng)關(guān)節(jié)的情況下，1“成為一個(gè)等價(jià)質(zhì)量。把Trace運(yùn)算和求和運(yùn)算相互交換一下，冉加上傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)能部分, 最后得到機(jī)械手的總動(dòng)能為(6. 49)6. 3. 3 勢(shì)能(The Potential Energy )在重力場(chǎng)g中，一個(gè)物體的質(zhì)量為加，位于某個(gè)參考零點(diǎn)Z上的髙度 為h,它的勢(shì)能為P = mgh(6.50)如果由重力引起的加速度農(nóng)示為欠量g,物體質(zhì)心的位置表為矢量7 ,那 么式(6.50)就變?yōu)閜 -mg r(6.51)例如，在重力場(chǎng)中，;? = 0/ + 0/-32.2A, r = 10/ + 20/- + 30k ,位于廣處的 質(zhì)量加就有勢(shì)能966 n mo如果連桿i的質(zhì)心用欠量林農(nóng)示，它相對(duì)于坐標(biāo)系7；的勢(shì)能為(6. 52)Pi=-gT：t其中(6. 53)8yg =0(6. 54)從而，機(jī)械手的總勢(shì)能就是1=16. 3. 4 拉格朗日算子(The Lagrangian )由式(6. 49)和(6. 54)得到的攵和 只 可計(jì)算拉格朗日算子L = K 一 P= “込需 j,爭(zhēng))$ & + 當(dāng)土 +士 “ f厶