五矩陣運(yùn)算與方程組求解

1、Mathematica入門一、引言Mathematica是美國Wolfram公司開發(fā)的一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件系統(tǒng)，它主要包括：數(shù)值計(jì)算、符號計(jì)算、圖形功能和程序設(shè)計(jì).本指導(dǎo)書力圖在不大的篇幅中給讀者提供該系統(tǒng)的一個(gè)簡要的介紹.指導(dǎo)書是按Mathematica4.0版本編寫的，但是也適用于Mathematica的任何其它圖形界面的版本.Mathematica在數(shù)值計(jì)算、符號運(yùn)算和圖形表示等方面都是強(qiáng)有力的工具，并且其命令句法驚人地一致，這個(gè)特性使得Mathematica很容易使用.不必?fù)?dān)心你還不太熟悉計(jì)算機(jī).本入門將帶你迅速了解Mathematica的基本使用過程，但在下面的介紹中，我們假定讀者

2、已經(jīng)知道如何安裝及啟動(dòng)Mathematica.此外，始終要牢記的幾點(diǎn)是：Mathematica是一個(gè)敏感的軟件.所有的Mathematica函數(shù)都以大寫字母開頭；圓括號(，花括號,方括號都有特殊用途，應(yīng)特別注意；句號“.”，分號“；”，逗號“：感嘆號“！”等都有特殊用途，應(yīng)特別注意；用主鍵盤區(qū)的組合鍵Shfit+Enter或數(shù)字鍵盤中的Enter鍵執(zhí)行命令.二、一般介紹1 .輸入與輸出例1計(jì)算1+1:在打開的命令窗口中輸入1+2+3并按組合鍵Shfit+Enter執(zhí)行上述命令，則屏幕上將顯示：In1:=1+2+3Out1=6這里In1:=表示第一個(gè)輸入，Out1=表示第一個(gè)輸出，即計(jì)算結(jié)果.2

3、 .數(shù)學(xué)常數(shù)Pi表示圓周率n;E表示無理數(shù)e;I表示虛數(shù)單位i;Degree表示n/180;Infinity表示無窮大.注:Pi,Degree,Infinity的第一個(gè)字母必須大寫，其后面的字母必須小寫.3 .算術(shù)運(yùn)算Mathematica中用“+”、“-”、“*”、“/”和“人”分別表示算術(shù)運(yùn)算中的加、減、乘、除和乘方.例2計(jì)算5001-F氣虧4-)負(fù).99輸入100A(1/4)*(1/9)A(-1/2)+8A(-1/3)*(4/9)A(1/2)*Pi則輸出3d0-3這是準(zhǔn)確值.如果要求近似值，再輸入N%則輸出10.543這里表示上一次輸出的結(jié)果，命令N%表示對上一次的結(jié)果取近似值.還用%表

4、示上上次輸出的結(jié)果用6表示Out6的輸出結(jié)果.注:關(guān)于乘號*,Mathematica常用空格來代替.例如,xyz則表示x*y*z,而xyz表示字符串,Mathematica將它理解為一個(gè)變量名.常數(shù)與字符之間的乘號或空格可以省略.4 .代數(shù)運(yùn)算例3分解因式x23x2輸入FactorxA2+3x+2輸出(1-x)(2x)例4展開因式(1+x)(2+x)輸入Expand(1+x)(2+x)輸出23x-x2例5通分二十，x2x3輸入Together1/(x+3)+2/(x+2)輸出一83x一(2x)(3x)例6將表達(dá)式一8-3x一展開成部分分式(2x)(3x)輸入Apart(8+3x)/(2+x)(

5、3+x)輸出-2x2x3例7化簡表達(dá)式(1+x)(2+x)十1+x)(3+x)輸入Simplify(1+x)(2+x)+(1+x)(3+x)輸出57x2x2三、函數(shù)1 .內(nèi)部函數(shù)Mathematica系統(tǒng)內(nèi)部定義了許多函數(shù)，并且常用英文全名作為函數(shù)名，所有函數(shù)名的第一個(gè)字母都必須大寫，后面的字母必須小寫.當(dāng)函數(shù)名是由兩個(gè)單詞組成時(shí)，每個(gè)單詞的第一個(gè)字母都必須大寫，其余的字母必須小寫.Mathematica函數(shù)(命令)的基本格式為函數(shù)名表達(dá)式，選項(xiàng)下面列舉了一些常用函數(shù)：算術(shù)平方根.xSqrtx指數(shù)函數(shù)exExpx對數(shù)函數(shù)logaxLoga,x對數(shù)函數(shù)lnxLogx三角函數(shù)Sinx,Cosx,T

6、anx,Cotx,Secx,Cscx反三角函數(shù)ArcSinx,ArcCosx,ArcTanx,ArcCotx,AsrcSecx,ArcCscx雙曲函數(shù)Sinhx,Coshx,Tanhx,反雙曲函數(shù)ArcSinhx,ArcCoshx,ArcTanhx四舍五入函數(shù)Roundx(*取最接近x的整數(shù)*)取整函數(shù)Floorx(*取不超過x的最大整數(shù)*)取模Modm,n（*求m/n的模*）取絕對值函數(shù)Absxn的階乘n!符號函數(shù)Signx取近似值Nx,n(*取x的有n位有效數(shù)字的近似值，當(dāng)n缺省時(shí),n的默認(rèn)值為6*)例8求兀的有6位和20位有效數(shù)字的近似值.輸入NPi輸出3.14159輸入NPi,20輸出

7、3.1415926535897932285注:第一個(gè)輸入語句也常用另一種形式：輸入Pi/N輸出3.14159.3輸出2輸出 0.466765輸出-2例9計(jì)算函數(shù)值(1)輸入SinPi/3輸入ArcSin.45(3)輸入Round-1.52的值例10計(jì)算表達(dá)式sin-e-arctan(0.6)1ln26232輸入1/(1+Log2)*SinPi/6-Exp-2/(2+2A(2/3)*ArcTan.6輸出0.2749212 .自定義函數(shù)在Mathematica系統(tǒng)內(nèi)，由字母開頭的字母數(shù)字串都可用作變量名，但要注意其中不能包含空格或標(biāo)點(diǎn)符號.變量的賦值有兩種方式.立即賦值運(yùn)算符是“=，延遲賦值運(yùn)算符

8、是“：=”.定義函數(shù)使用的符號是延遲賦值運(yùn)算符“：=”.例11定義函數(shù)f(x)=x3+2x2+1，并計(jì)算f(2),f(4),f(6).輸入Clearf,x;fx_:=xA3+2*xA2+1;f2fx/.x-4x=6;fx輸出(*清除對變量f原先的賦值*)(*定義函數(shù)的表達(dá)式*)(*求f (2)的值*)(*求f (4)的值，另一種方法*)(*給變量x立即賦值6*)(*求f(6)的值，又一種方法*)1797289注:本例1、2、5行的結(jié)尾有“；”，它表示這些語句的輸出結(jié)果不在屏幕上顯示四、解方程在Mathematica系統(tǒng)內(nèi)，方程中的等號用符號“=”表示.最基本的求解方程的命令為Solveeqns

9、,vars它表示對系數(shù)按常規(guī)約定求出方程（組）的全部解，其中eqns表示方程（組）,vars表示所求未知變量例12解方程x2-+3x22=0輸入SolvexA2+3x+2=0,x輸出xN,x例13解方程組?y0cx-+dyn輸入輸出Solvea x + b y = 0,c x + d y =1, x,y例14解無理方程Jx/+Jx+1=a輸入SolveSqrtx-1+Sqrtx+1=a,x輸出*xT4；a很多方直巳根本不能采，準(zhǔn)確解的，此時(shí)應(yīng)轉(zhuǎn)而求其近似解.求方程的近似解的方法有兩種一種是在方程組的系數(shù)中使用小數(shù)，這樣所求的解即為方程的近似解；另一種是利用下列專門用于求方程（組）數(shù)值解的命令：

10、NSolveeqns,vars（*求代數(shù)方程（組）的全部數(shù)值解*）FindRooteqns,x,x0,y,y0，后一個(gè)命令表示從點(diǎn)（x。，y。,一）出發(fā)找方程（組）的一個(gè)近似解，這時(shí)常常需要利用圖像法先大致確定所求根的范圍，是大致在什么點(diǎn)的附近.例15求方程x3-1H的近似解輸入NSolvexA3-1=0,x輸出x.-0.5-0.866025ii,x-0.5+0.866025ii,x.1.輸入FindRootxA3-1=0,x,.5輸出x1.下面再介紹一個(gè)很有用的命令：Eliminateeqns,elims（*從一組等式中消去變量（組）elims*）x2+y2+z2=1例16從方程組42+（y

11、-1）2+（z-1）2=1消去未知數(shù)v、z.x,y=1輸入EliminatexA2+yA2+zA2=1,xA2+（y-1）A2+億-1）A2=1,x+y=1,y,z2輸出2x3x=0注:上面這個(gè)輸入語句為多行語句，它可以像上面例子中那樣在行尾處有逗號的地方將行與行隔開，來迫使Mathematica從前一行繼續(xù)到下一行在執(zhí)行該語句.有時(shí)候多行語句的意義不太明確，通常發(fā)生在其中有一行本身就是可執(zhí)行的語句的情形，此時(shí)可在該行尾放一個(gè)繼續(xù)的記號來迫使Mathematica繼續(xù)到下一行再執(zhí)行該語句.五、保存與退出Mathematica很容易保存Notebook中顯示的內(nèi)容，打開位于窗口第一行的File菜

12、單，點(diǎn)擊Save后得到保存文件時(shí)的對話框，按要求操作后即可把所要的內(nèi)容存為*.nb文件.如果只想保存全部輸入的命令，而不想保存全部輸出結(jié)果，則可以打開下拉式菜單Kernel,選中DeleteAllOutput,然后再執(zhí)行保存命令.而退出Mathematica與退出Word的操作是一樣的.六、查詢與幫助查詢某個(gè)函數(shù)（命令）的基本功能，鍵入“？函數(shù)名”，想要了解更多一些，鍵入“？?函數(shù)名”，例如,輸入?Plot則輸出Plotf,x,xmin,xmaxgeneratesaplotoffasafunctionofxfromxmintoxmax.Plotf1,f2,x,xmin,xmaxplotsseveralfunctionsfi它告訴了我們關(guān)于繪圖命令“Plot”的基本使用方法.例17在區(qū)間2,1上作出拋物線y=x2的圖形.輸入PlotxA2,x,-1,1則輸出例18在區(qū)間0,