第四章電路定理

1、第四章電路定理重點：1、疊加定理2、戴維南定理和諾頓定理難點：1、熟練地運用疊加定理、戴維南定理和諾頓定理分析計算電路。2、掌握特勒根定理和互易定理，理解這兩個定理在路分析中的意義。4-1 疊加定理網(wǎng)絡圖論與矩陣論、計算方法等構成電路的計算機輔助分析的基礎。其中網(wǎng)絡圖論主要討論電路分析中的拓撲規(guī)律性，從而便于電路方程的列寫。4.1.1 幾個概念1線性電路Linear circuit由線性元件和獨立源組成的電路稱為線性電路。2激勵與響應excitationandresponse在電路中，獨立源為電路的輸入，對電路起著“激勵”的作用，而其他元件的電壓與電流只是激勵引起的“響應”。激勵 e響應 r系

2、統(tǒng)3齊次性和可加性homogeneity propertyandadditivity property“齊次性”又稱“比例性”，即激勵增大K 倍，響應也增大K 倍；“可加性”意為激勵的和產(chǎn)生的響應等于激勵分別產(chǎn)生的響應的和?！熬€性”的含義即包含了齊次性和可加性。齊次性：激勵 Ke響應 Kr系統(tǒng)可加性：激勵 e1r 1激勵e2r 2系統(tǒng)系統(tǒng)激勵 e1+ e2響應 r1 + r 2系統(tǒng)4.1.2 疊加定理1定理內容在線性電阻電路中，任一支路電流 （電壓） 都是電路中各個獨立電源單獨作用時在該支路產(chǎn)生的電流（電壓）之疊加。此處的“線性電阻電路” ，可以包含線性電阻、獨立源和線性受控源等元件。2定理的

3、應用方法將電路中的各個獨立源分別單獨列出，此時其他的電源置零獨立電壓源用短路線代替，獨立電流源用開路代替分別求取出各獨立源單獨作用時產(chǎn)生的電流或電壓。計算時，電路中的電阻、受控源元件及其聯(lián)接結構不變。4.1.3 關于定理的說明1只適用于線性電路2進行疊加時，除去獨立源外的所有元件，包含獨立源的內阻都不能改變。3疊加時應該注意參考方向與疊加時的符號4功率的計算不能使用疊加定理4.1.4 例題1 已知：電路如圖所示6V+I5A+2UX4U X-2 6V+5A+2U 42U4XXU 'XU ''X-224求： U X及兩個獨立源和受控源分別產(chǎn)生的功率。解：根據(jù)疊加定理， 電路

4、中電壓源和電流源分別作用時的電路如圖（ b）、（ c）所示。圖（ b）中，根據(jù)節(jié)點法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得電路方程為：(1 1) U'X 51U 'X242解得： U'X4V 。圖（ c）中，同樣也可根據(jù)節(jié)點法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得電路方程為：U ''X6U ''X1U''X242解得： U 'X1.2V 。根據(jù)疊加定理，U XU'X U''X2.8VIU X2.83.6VU S552對于獨立電壓源：6V ，2因此，獨立電壓源的功率PU SU S I63.621.

5、6(W )對于獨立電流源：IS 5V ，UU X2.8V因此，獨立電流源的功率PI SUI S52.814(W )I 受U X2.821.4( A)6 U X62.88.8(V )對于受控源：2， U 受因此，受控源的功率P受U受I受8.8 1.412.32(W )從這個例題可以看出， 使用疊加定理時， 當幾個獨立源單獨作用時的電路的分析應該靈活地使用我們所學過的電路分析方法。2已知： 如圖所示的電路中， 網(wǎng)絡 N 由線性電阻組成， 當 i s 1A ，us2V 時，i5A ；當 is2A ， u s4V 時， u 24V 。+-usii s+網(wǎng)絡 Nu3_求：當 i s2A ， u s6V

6、時， u？解：所求的電壓u 可以看作是激勵i s 和 us 產(chǎn)生的響應，利用線性電路的線性性質，響應 u 與激勵 i s 和 us 之間為一次線性函數(shù)關系：uk1i sk2 us根據(jù)已知條件，列寫聯(lián)立方程組，5A3k11Ak22V24Vk1( 2A)k2 4V可以解出 k113.5 ， k20.75 ，由此當 is2A ， u s6V 時，u k1i sk 2 us13.520.75631.5(V )4-2 替代定理4.2.1 定理內容給定任意一個線性電阻電路，其中第k 條支路的電壓uk 和電流 i k 已知，那么這條支路就可以用一個具有電壓等于uk 的獨立電壓源，或者一個具有電流等于i k

7、的獨立電流源來代替，替代后的電路中的全部電壓和電流均將保持原值（即電路在改變前后，各支路電壓和電流均是唯一的） 。4.2.2 關于定理的說明1定理中的支路可以含源，也可以不含源，但不含受控源的控制量或受控量；2定理可以應用于非線性電路；3定理的證明略去，但可以根據(jù)“等效”的概念去理解。4.2.3 例題1已知：如圖所示求：當 i1？+-II1V2100.5A+12VI 1_24+-II1V2100.5A+UU12VI 1_24(a)(b)解：圖（ a）中：1U37I 0.52/ 434U1017圖（ b）中：UU 231I2U12由于對于外電路而言是等效的，因此，被劃開的支路的VCR 應相同：3

8、731UIU34172U 8 V9這樣，就可以在圖（a）中計算待求量。8141I1 (1)2 4A910 2/494-3 戴維南定理和諾頓定理4.3.1 戴維南定理一、定理內容一個含獨立電源、線性電阻和受控源的一端口，對外電路來說， 可以用一個電壓源和電阻串聯(lián)的組合來等效置換，此電壓源的電壓等于一端口的開路電壓，而電阻等于一端口的全部獨立源置零后的輸入電阻。1外1Req外N S電+電路uoc1路1-(a)(b)11+NSuocN0Req-11(c)(d)二、定理的證明1 i(t)1i( t)+外替代定理+iS(t)Nu(t)電Nu(t)_路_11 (a)(b)網(wǎng)絡 N1 i(t)Req+外+u

9、(t)電路uoc_疊加定理1i oc=01i(t)+i S(t)NN0uN 0uoc_N 中的電源_產(chǎn)生的響應N 的除源網(wǎng)絡(c)u(t) = uoc+ uN0(d)u(t) u oc uN0 (t)uoc Req i(t )三、定理的使用1將所求支路劃出，余下部分成為一個一端口網(wǎng)絡；2求出一端口網(wǎng)絡的端口開路電壓；3將一端口網(wǎng)絡中的獨立源置零，求取其入端等效電阻；4用實際電壓源模型代替原一端口網(wǎng)絡，對該簡單電路進行計算，求出待求量。4.3.2 諾頓定理一、定理內容一個含獨立電源、線性電阻和受控源的一端口，對外電路來說， 可以用一個電流源和電阻并聯(lián)的組合來等效置換，此電流源的電流等于一端口的短

10、路電流，而電阻等于一端口的全部獨立源置零后的輸入電阻。11外外N S電iscReq電路1路1(a)(b)11NSiscN0Req11(c)(d)二、定理的證明略。三、定理的使用與戴維南定理的用法相同。只是在第2 點時變?yōu)榍笕∫欢丝诰W(wǎng)絡的短路電流。4.3.3 最大功率傳遞定理一、定理內容應用 T-N 定理可以推出： 由線性單口網(wǎng)絡傳遞給可變負載 的功率為最大的條件是：負載應該與戴維南（諾頓）等效電阻相等。+RoiUocRL_設 RL 為變量，在任意瞬間，其獲得的功率為：p i 2 RL(U oc)2 RLRo RL這樣，原電路問題變?yōu)椋阂訰L 為函數(shù)， p為變量，求取在變量RL 為何值時，其功率

11、p為最值。因為dp(RoRL)22( RoRL )RLU oc ( RoRL )0U oc( RoRL )4( Ro RL )3dRL時，RLRod 2 pU oc20dRL28Ro3而RRLo因此， RLRo 即為使功率為最大值時的條件。二、說明1該定理應用于電源（或信號）的內阻一定，而負載變化的情況。如果負載電阻一定，而內阻可變的話，應該是內阻越小，負載獲得的功率越大，當內阻為零時，負載獲得的功率最大。2線性一端口網(wǎng)絡獲得最大功率時，功率的傳遞效率未必為50%。（ 即由等效電阻Ro 算得的功率并不等于網(wǎng)絡內部消耗的功率）4.3.4 關于這兩個定理的說明1 十分重要， 常常用以簡化一個復雜電

12、路中不需要進行研究的有源部分，即將一個復雜電路中不需要進行研究的有源二端網(wǎng)絡用戴維南或諾頓等效來代替，以利于其余部分的分析計算。2 如果外部電路為非線性電路，定理仍然適用。3 并非任何線性含源一端口網(wǎng)絡都有戴維南或諾頓等效電路。 如果一個單口網(wǎng)絡只能等效為一個理想電壓源， 那么它就不具有諾頓等效電路； 相同的， 如果一個單口網(wǎng)絡只能等效為一個理想電流源， 那么它就不具有戴維南等效電路。 具體的說明可以參看有關參考文獻或資料。（問題：何時會出現(xiàn)這種情況，可否舉出相應的例子？）4 當電路中存在受控源時使用這兩個定理要十分小心。外電路不能含有控制量在一端口網(wǎng)絡 NS 之中的受控源，但是控制量可以為端

13、口電壓或電流。因為在等效過程中，受控量所在的支路已經(jīng)被消除，在計算外電路的電流電壓時就無法考慮這一受控源的作用了。4.3.5 例題一、戴維南定理1已知：電路如圖所示+R1cR3+cR1R3R1R3USU Saab_R2dR4R2dR42RR4IRL+Uoc-Req（ ）(b)(c)a求：負載上的電流I 。解：實際上這是我們在電子測量中常常遇到的“電橋”電路?？梢苑治龀觯绻们懊娴摹爸贩ā?、“回路法”或“節(jié)點法”計算負載電阻上流過的電流，都比較麻煩。而且這類問題只關系某一條支路的響應，用前面的方法必然引入多余的電量。1將負載電阻劃出電路如圖（ b）所示2求一端口網(wǎng)絡的開路電壓（這一部分可能會

14、遇到復雜電路，就可以用網(wǎng)孔法或節(jié)點法來解決）U ocU abU acU cbU sR1U sR3R1R3 R4R2U sR1 R4R2 R3(R1R2)(R3R4 )3將一端口網(wǎng)絡內的獨立電源置零，求其入端等效電阻置零后，一端口網(wǎng)絡的電路如圖（c）所示，。因此R1R2 (R3R4) R3R4(R1 R2)Req R1 / R2 R3 / R4R2 )(R3 R4)(R14對于負載電阻而言，原電路等效為aReq+UocUocI-bU ocR1 R4 R2R3U SIR4 )R1R2R0 RL (R1 R2)R3R4 (R3(R1 R2 )( R3 R4 )RL二、諾頓定理1 已知：電路如圖所示2

15、.25k+I12_1k2k3k2mA(a)求： I。解： 1將待求支路從原電路中劃開，如圖（a）2求 Ro將電路中的電源置零電壓源用短路線代替，電流源用開路代替，如圖（b）所示：2.25k1kRo3k(b)Ro 2.251 / 3 3k3求 I sc應用疊加定理。求取短路電流的電路如圖（c）所示。將它等效為圖（d）+圖（ e）：+2.25k+2.25k2.25k_ 12_12I sc1kI sc1kI sc1k3k2mA3k3k2mA(c)(d)(e)在圖（ d）中，I 'sc1213 2.25 /11mA1 2.25在圖（ e）中，所求支路為短路線，所以I ' 'sc

16、2mA所以： I scI ' sc I ' 'sc2 11mA 。4原電路等效為：I3k2k-1mA(f)可以計算得出：I130.6mA235電路如圖，用戴維南定理求I 及 U111111110+5I+I +11IXIX10U+5Isc10+11 IX+20VU10VIX_-_解：（ 1）將所求支路劃出（ 2）求 U oc11I X10I X ，所以 I x2A 。而 U cd5I X 10 20V因為 15（ 3）求 Req11111I X10(5)u151111使用節(jié)點法：u15IX 10，解得 u1 22V22ReqU cd202A10I scI sc211，（

17、4）戴維南等效對于非線性電阻而言，其外電路的戴維南等效如圖。這樣聯(lián)立非線性元件的伏安關系及外電路提供給非線性電阻的伏安關系，有以下方程20I1A1010而U10V 。4-4 特勒根定理特勒根定理（ Tellegen s theorem）是在克?；舴蚨傻幕A上發(fā)展起來的網(wǎng)絡定理。它與網(wǎng)絡元件的特性無關，對非線性參數(shù)以及時變參數(shù)的網(wǎng)絡都適用。4.4.1 特勒根功率定理一、內容在一個具有n 個節(jié)點、 b 條支路的網(wǎng)絡N 中，假設各個支路的電壓與支路電流分別為(u1， u2， ，ub ) 和 (i1，i2， ， ib ) ，它們取關聯(lián)參考方向，則對任意時間t，有bu k ik0k 1二、定理的證明本

18、教材中給出了一個實際的例子進行說明，有助于大家理解。證明的依據(jù)是克?；舴蚨?，以及電路的節(jié)點電壓與各個支路電壓的關系。具體的嚴格證明過程同學們可以參見相關參考文獻。三、意義在任意網(wǎng)絡N 中，在任意瞬時t，各個支路吸收的功率的代數(shù)和恒等于零。也就是說，該定理實質上是功率守恒的具體體現(xiàn)。4.4.2 特勒根擬功率定理一、內容兩個具有 n 個節(jié)點、 b 條支路的網(wǎng)絡N，它們由不同的元件組成，但它們的拓撲結構完全相同。假設兩個網(wǎng)絡中對應的各個支路的電壓與電流取關聯(lián)參考方向，分別為? ?， ，i b ) ，則對任意時間t，有(u1， u2， ，ub ) 、 (i 1， i2， ，i b ) 和 (u1，

19、u2， ， ub ) 、 (i1，i2bb?0u k i k 0uk ikk 1，k 1這個和式中的每一項，都僅僅是一個數(shù)學量，沒有實際物理意義， 定義它為 “擬功率”。三、定理的證明類似于前面的證明方法。四、意義有向圖相同的任意兩個網(wǎng)絡?N 和 N 在任意瞬時 t，任意網(wǎng)絡的支路電壓與另一個網(wǎng)絡的支路電流的乘積的代數(shù)和恒等于零。該定理實質上是擬功率守恒的具體體現(xiàn)。而實際上， 該定理并不一定要求式中的量為實際網(wǎng)絡中的電壓電流，只要它們滿足克?；舴蚨?。（該定理可以應用證明正弦交流網(wǎng)絡中的平均功率和無功功率的守恒）五、例題1 已知：電路如圖所示，當R22， U 16V 時，測得 I12A，U 2

20、2V當 R24?10V?3A ， U 1時，測得 I 1?求：U2？I1I2+U 1網(wǎng)絡 NU2R2_解：設網(wǎng)絡N 中含有 b 條支路，由特勒根似功率定理：bU 1I?1U 2I?2U k I?k0k1?b?0U1I1U2I2U k I kk1由于網(wǎng)絡 N 中得結構與參數(shù)均不會變化，因此b?b?U k I kU k I kk1k 1這樣就有：?U 1I1U2I2U1I1U2I2所以：?4VU 24-5 互易定理（ RECIPROCITY THEOREM）互易定理（ Reciprocitytheorem）可以直接由特勒根定理推導出來。同樣，它與網(wǎng)絡元件的特性也無關，該定理僅針對線性網(wǎng)絡。4.5.

21、1 定理的形式一1i 1i2 2i?1 1i?22+usNNus_1212i?1i24.5.2 定理的形式二1i 1+i sN_14.5.3 定理的形式三i2 2i?1 1i?22+u 2?Ni su1_212u2?u11i 1i2 2i?1 1i?22+i sNi 2?Nsu1u_1212i 2u?14.5.4 定理的證明思路及有關說明一、證明思路略去，希望同學們自學，有興趣的同學還可以進一步研究。二、說明該定理實質上是表征了線性網(wǎng)絡的特性。在下冊的網(wǎng)絡函數(shù)和二端口網(wǎng)絡章節(jié)中，我們可以直接看到它的意義。4.5.5 例題1 已知： R4401-R1+R2+U1+U SR2 U2R3 U3 I22_1 R421-R1+R2U1+I11R2 U2R3 U3U S_1 R42當在 11端加電壓源US，且 22端短接時， U 30.2U S當在 22端加電壓源?0.5U SU S，且 11端短接時， U10.1US，U3求： RI?11'解：由互易定理可知：I 22'?U 3U 1U 2所以：R4RRU 3R420?U 1U 22 已知：當 U 13V，R220， R35時， I11.2A ，U 23V ， I3 0.2A?3V，R220， R35?2V當 U 1時， I12A，U3求：I?2？