正多邊形和圓

1、問題問題1，什么樣的圖形是正多邊形？，什么樣的圖形是正多邊形？各邊相等各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形各角也相等的多邊形是正多邊形. 正多邊形都是軸對稱圖形，一個正正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形邊形共有共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊邊形的中心。形的中心。邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。它的中心就是對稱中心。OACDB 如果我們以正多邊形對應頂點的連線的交點作為圓如果我們以正多邊形對應頂點的連線的交點作為圓心心,交點到頂點的連線為半徑作一個圓交點到頂點的連線為半徑作一個圓.很明顯很明

2、顯, 這個正多這個正多邊形的各個頂點都在這個圓上邊形的各個頂點都在這個圓上. 如圖如圖, 正方形正方形ABCD，連，連結(jié)結(jié)AC、BD交于點交于點O，以，以O為圓心，為圓心，OA為半徑作圓，那為半徑作圓，那么肯定么肯定B、C、D都在這個圓上都在這個圓上問題問題3:你知道正多邊形與圓的關系嗎？你知道正多邊形與圓的關系嗎？ 正多邊形和圓的關系非常密切正多邊形和圓的關系非常密切,只要把一個圓只要把一個圓分成相等的一些弧分成相等的一些弧,依此連接弧的端點就可以作出依此連接弧的端點就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形這個圓的內(nèi)接正多邊形,這個圓就是這個正多邊形這個圓就是這個正多邊形的外接圓的外接圓.ABCDE

3、如圖如圖,把把 O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依次連接各等依次連接各等分點得到五邊形分點得到五邊形ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA, A=B.ABBCCDDEEA，3.BCECDAABABCDEO同理同理B=C=D=E.又五邊形又五邊形ABCDE的頂點都在的頂點都在 O上上, 五邊形五邊形ABCD是是 O的內(nèi)接正五邊形的內(nèi)接正五邊形, O是五邊形是五邊形ABCD的外接圓的外接圓.我們以圓內(nèi)接正五邊形為例證明我們以圓內(nèi)接正五邊形為例證明.EFCD.中心角中心角邊心距邊心距r r搶答題：搶答題：1、O是正是正圓與圓的圓心。圓與圓的圓心。ABC的中心，它是的中心，它是ABC的的2、OB

4、叫正叫正ABC的，的，它是正它是正ABC的的 圓的半徑。圓的半徑。 3、OD叫作正叫作正ABC的的，它是正，它是正ABC的的 圓的半徑。圓的半徑。ABC.OD外接外接內(nèi)切內(nèi)切半徑半徑外接外接邊心距邊心距內(nèi)切內(nèi)切4、正方形、正方形ABCD的外接圓圓心的外接圓圓心O叫做叫做正方形正方形ABCD的的5、正方形、正方形ABCD的內(nèi)切圓的半徑的內(nèi)切圓的半徑OE叫做叫做正方形正方形ABCD的的ABCD.OE中心中心邊心距邊心距6、 O是正五邊形是正五邊形ABCDE的外接圓，弦的外接圓，弦AB的的弦心距弦心距OF叫正五邊形叫正五邊形ABCDE的的 。7、 AOB叫做正五邊形叫做正五邊形ABCDE的角，的角，

5、它的度數(shù)是它的度數(shù)是DEAB C.OF邊心距邊心距中心角中心角728、圖中正六邊形、圖中正六邊形ABCDEF的中心角是的中心角是它的度數(shù)是它的度數(shù)是9、你發(fā)現(xiàn)正六邊形、你發(fā)現(xiàn)正六邊形ABCDEF的半徑與邊長具有的半徑與邊長具有什么數(shù)量關系？為什么？什么數(shù)量關系？為什么？BAAOB60EFCD.OBEFCD.n360中心角nBOGAOG180邊心距把邊心距把AOBAOB分成分成2 2個個全等的直角三角形全等的直角三角形設正多邊形的邊長為設正多邊形的邊長為a,a,半徑為半徑為R,R,它的周長為它的周長為.Ra）邊心距（）邊心距（面積，邊心距）（rnarLSraR2121222AL=na例例 有一個

6、亭子有一個亭子, ,它的地基半徑為它的地基半徑為4 4m m的正六邊形的正六邊形, ,求地基的求地基的周長和面積周長和面積( (精確到精確到0.10.1m m2 2).).解解: 如圖由于如圖由于ABCDEF是正六邊形是正六邊形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑.360606因此因此,亭子地基的周長亭子地基的周長 l =46=24(m).在在RtOPC中中,OC=4, PC=4222BC ，利用勾股定理利用勾股定理,可得邊心距可得邊心距22422 3.r 亭子地基的面積亭子地基的面積21124

7、2 341.6(m ).22SlrOABCDEFRPr練習練習1. 矩形是正多邊形嗎矩形是正多邊形嗎?菱形呢菱形呢?正方形呢正方形呢?為什么為什么?矩形不是正多邊形，因為四條邊不一定相等矩形不是正多邊形，因為四條邊不一定相等;菱形不是正多邊形，因為四個角不一定相等菱形不是正多邊形，因為四個角不一定相等;正方形是正多邊形因為四條邊都相等，正方形是正多邊形因為四條邊都相等，四個角都相等四個角都相等.2. 各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形?各角各角都相等的圓內(nèi)接多邊形呢都相等的圓內(nèi)接多邊形呢?如果是如果是,說明為什么說明為什么;如果不是如果不是,舉出反例舉出反例.各邊

8、相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.多邊形多邊形A1A2A3A4An是是 O的內(nèi)接多邊形的內(nèi)接多邊形,且且A1A2=A2A3=A3A4=An1An,12233411.nnnA AA AA AAAA A23341452121.nnA A AA A AA A AA A A123.nAAAA 多邊形多邊形A1A2A3A4An是正多邊形是正多邊形.A1AAAAAAAnO3.分別求出半徑為分別求出半徑為R的圓內(nèi)接正三角形，正方形的邊長，邊的圓內(nèi)接正三角形，正方形的邊長，邊心距和面積心距和面積.解：作等邊解：作等邊ABC的的BC邊上的高邊上的高AD,垂足為垂足為D連接連接OB，則，則OB=R在在RtOBD中中 OBD=30,邊心距邊心距OD=1.2R在在RtABD中中 BAD=30,1322ADOAODRRR，ABCDO解：連接解：連接OB，OC 作作OEBC垂足為垂足為E， OEB=90 OBE= BOE=45在在RtOBE中為等腰直角三角形中為等腰直角三角形222BEOEOB222OEOB222OBOE 2222OEOBR邊心距22222BCBERR邊長2222ABCDSAB BCRR正方形ABCDOE1正多邊和圓的有關概念：正多邊和圓的有關概念： 正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正