橢圓軌道上行星運(yùn)動(dòng)速度和能量

1、行星在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速度和能量【摘要】本文用萬有引力和開普勒定律，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，討論了行星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)中速度的變化規(guī)律以及行星在運(yùn)動(dòng)中的能量變化情況?！娟P(guān)鍵詞】行星運(yùn)動(dòng)的速度、橢圓軌道、行星、機(jī)械能守恒、動(dòng)能、引力勢能【正文】一、在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)兩個(gè)速度的比較行星經(jīng)過近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的曲率半徑相同，這是因?yàn)闄E圓具有對(duì)稱性。這樣的話，設(shè)這個(gè)曲率半徑是，對(duì)于經(jīng)過近日與遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)分別有：（1）（2）由（1）（2）可得：即：（3）另外，在近日點(diǎn)時(shí)在遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)代入（1）式有（4）上面的問題也可以按照下面的過程思考：由開普勒第三定律知（5）已知行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)無徑向速度，故橫向速度等于其合速

2、度，有（6）將（6）代入（5）有：對(duì)于近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)來說，有：。稍做變形就可以得到上面的結(jié)果了，從略。二、行星運(yùn)動(dòng)到一般位置的速度在極坐標(biāo)中（7）（8）其中、分別表示徑向速度和橫向速度。由橢圓方程得：兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有：整理可得：（9）行星運(yùn)動(dòng)的速度為：即：（10）這個(gè)結(jié)果中只有是變量，其它都是常數(shù)，特別是為常數(shù)。這表明：時(shí)，v是增函數(shù)，v隨的減小而增大；時(shí)，v是減函數(shù)，v隨的增大而減小。實(shí)際上，由于，所以上面的結(jié)果也可以用r來說明：時(shí)，v是增函數(shù)，v隨r的減小而增大；時(shí)，v是減函數(shù)，v隨r的增大而減小。三、行星運(yùn)動(dòng)過程中的能量由動(dòng)能的表達(dá)式及（10）式可知：（11）下面我們討論行星運(yùn)動(dòng)中的掠

3、面速度表達(dá)式:橢圓面積：（12）其中a、b分別表示橢圓的長軸和短軸，對(duì)橢圓方程來說，當(dāng)時(shí)，（13）當(dāng)時(shí)，（14）如圖1所示，用紅色的線段來表示，用綠色的線段來表示?？芍海?5）xO圖1lr由（13）（14）（15）可得：（16）（17）將（16）（17）式代入（12）式可知：（18）掠面速度從而有： （19）將（19）式代入（11）可知：上式中最后一個(gè)因子出現(xiàn)在開普勒第三定律中，我們知道，它是一個(gè)常數(shù)，在這里我們用k來表示這個(gè)值。有：（20）另外，由“從開普勒定律到牛頓萬有引力定律”一文知道：代入（20）式有：（21）下面求行星運(yùn)動(dòng)中的引力勢能。我們采用傳統(tǒng)的方法規(guī)定零勢能點(diǎn)，即規(guī)定無窮遠(yuǎn)處勢能為零。有：（22）將代入上式可得：（23）由（20）（23）兩式可得行星運(yùn)動(dòng)中的機(jī)械能總量即：（24）這個(gè)結(jié)果說明，對(duì)于質(zhì)量相同的行星來說（或者對(duì)于質(zhì)量相同的地球的衛(wèi)星來說）：行星運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒；軌道半長軸相等的衛(wèi)星的能量相等；半長軸為a的橢圓軌道上的行星能量與半徑為a的圓軌道上