模糊綜合評價

1、 模糊數(shù)學建模方法模糊數(shù)學建模方法華北電力大學數(shù)學建模培訓團隊孔 倩2014.6.22引言引言用數(shù)學的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠經(jīng)典數(shù)學去刻畫； 2.隨機現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠概率統(tǒng)計去刻畫;3.模糊現(xiàn)象：如 “今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，等等。模糊現(xiàn)象與模糊概念e.g. “rain” is a nature phenomenon.mizzle downpour模糊現(xiàn)象與模糊概念模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間無明顯 分界線年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、

2、短、貴、賤、強、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨等。模糊數(shù)學概念模糊數(shù)學概念l Fuzzy Mathematicsl 研究和處理模糊概念的數(shù)學方法。l 模糊概念：難以精確表達的概念。 例：高個子長頭發(fā)戴寬邊 眼鏡的中年男人 1e.g.2 “請你十點左右在行政大樓附近等我一下”WhereWhen聽不懂?e.g.2 電腦不如人腦 兩歲的小孩 圖像識別能力 語音識別能力IQEQ數(shù)學建模與模糊數(shù)學相關(guān)的問題數(shù)學建模與模糊數(shù)學相關(guān)的問題模糊數(shù)學模糊數(shù)學研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學 （概念與其對立面之間沒有一條明確的分界（概念與其對立面之間沒有一條明確的分界線）線）與模糊數(shù)學相關(guān)

3、的問題與模糊數(shù)學相關(guān)的問題模糊分類問題模糊分類問題已知若干個相互之間不分明的已知若干個相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個確定事物用哪一個模模糊概念，需要判斷某個確定事物用哪一個模糊概念來反映更合理準確糊概念來反映更合理準確模糊相似選擇模糊相似選擇 按某種性質(zhì)對一組事物或?qū)ο蟀茨撤N性質(zhì)對一組事物或?qū)ο笈判蚴且活惓Ｒ姷膯栴}，但是用來比較的性質(zhì)排序是一類常見的問題，但是用來比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性具有邊界不分明的模糊性模糊聚類分析模糊聚類分析根據(jù)研究對象本身的屬性構(gòu)根據(jù)研究對象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎上根據(jù)一定的隸屬度造模糊矩陣，在此基礎上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關(guān)系來確定其

4、分類關(guān)系 模糊層次分析法模糊層次分析法兩兩比較指標的確定兩兩比較指標的確定模糊綜合評判模糊綜合評判綜合評判就是對受到多個因綜合評判就是對受到多個因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€總的評價，如素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€總的評價，如產(chǎn)品質(zhì)量評定、科技成果鑒定、某種作物種產(chǎn)品質(zhì)量評定、科技成果鑒定、某種作物種植適應性的評價等，都屬于綜合評判問題。植適應性的評價等，都屬于綜合評判問題。由于從多方面對事物進行評價難免帶有模糊由于從多方面對事物進行評價難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學的方法進行綜合性和主觀性，采用模糊數(shù)學的方法進行綜合評判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實際評判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實

5、際效果效果 模糊數(shù)學基本理論模糊數(shù)學基本理論模糊模式識別模糊模式識別模糊聚類模糊聚類模糊綜合評價模糊綜合評價第一部分第一部分: 模糊數(shù)學基本理論模糊數(shù)學基本理論在論域在論域U中任意給定一個元素中任意給定一個元素u及任意給定一個及任意給定一個經(jīng)典集合經(jīng)典集合A，則必有，則必有 或者或者 ，用函數(shù)表示為：，用函數(shù)表示為：Au Au ),( 1 , 0:uuUAA 其中其中 AuAuuA , 0 , 1)( 函數(shù)函數(shù) 稱為集合稱為集合A的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。A 普通集合美國控制論專家美國控制論專家Zadeh教授正視了經(jīng)典集合描述的教授正視了經(jīng)典集合描述的“非此即彼非此即彼”的清晰現(xiàn)象，提示了現(xiàn)實生

6、活中的絕大多數(shù)的清晰現(xiàn)象，提示了現(xiàn)實生活中的絕大多數(shù)概念并非都是概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么簡單，而概念的差異常以那么簡單，而概念的差異常以中介過渡的形式出現(xiàn)，表現(xiàn)為中介過渡的形式出現(xiàn)，表現(xiàn)為“亦此亦彼亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象。的模糊現(xiàn)象?；诖?，基于此，1965年，年， Zadeh教授在教授在Information and Control雜志上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性論文雜志上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性論文“Fuzzy Sets”,標志著模糊數(shù)學的誕生。標志著模糊數(shù)學的誕生。1、模糊子集、模糊子集定義：定義：設設U是論域，稱映射是論域，稱映射1 , 0)( ,1 , 0: xxUAA 確定了一個確定了一個

7、U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 稱為稱為 隸屬函隸屬函AA A數(shù)數(shù)， 稱為稱為 對對 的隸屬程度，簡稱的隸屬程度，簡稱隸屬度隸屬度。)(xA xA模糊子集模糊子集 由隸屬函數(shù)由隸屬函數(shù) 唯一確定，故認為二者唯一確定，故認為二者AA 是等同的。為簡單見，通常用是等同的。為簡單見，通常用A來表示來表示 和和 。AA 模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211 這里這里 表示表示 對模糊集對模糊集A的隸屬度是的隸屬度是 。iixxA)(ix)(ixA如如“將一將一1,2,3,4組成一個

8、小數(shù)的集合組成一個小數(shù)的集合”可表示為可表示為4032 . 028 . 011 A可省略可省略（3）向量表示法）向量表示法)(,),(),(21nxAxAxAA （2）序偶表示法）序偶表示法)(,( ,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxA 若論域若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：為無限集，其上的模糊集表示為： UxxxAA)(4) 解析表示法 例例 設論域設論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：單位：cm)表示人的身高，那么表示人的身高，那么U上的一個模糊集上的一個模糊集“高個

9、高個子子”(A)的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為可定義為140190140)(xxA100200100)(xxB也可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxB還可用向量表示法：還可用向量表示法：A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外，還可以在另外，還可以在U上建立一個上建立一個“矮個子矮個子”、“中等個子中等個子”、“年輕人年輕人”、“中年人中年人”等模糊等模糊子集子集. .隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學中最重要的概念之一

10、，模糊隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學中最重要的概念之一，模糊數(shù)學方法是在客觀的基礎上，特別強調(diào)主觀的方數(shù)學方法是在客觀的基礎上，特別強調(diào)主觀的方法法. .2、模糊集的運算、模糊集的運算定義：定義：設設A，B是論域是論域U的兩個模糊子集，定義的兩個模糊子集，定義相等：相等：UxxBxABA ),()(包含：包含：UxxBxABA ),()(并：并：UxxBxAxBA ),()()(交：交：UxxBxAxBA ),()()(余：余：UxxAxAc ),(1)( 表示取大；表示取大； 表示取小。表示取小。 兩根繩子的連接方式有兩根繩子，它們屬于“不易斷的繩子”的程度分別為a,b.把這兩根繩子合起來構(gòu)成一根新繩子

11、，那么這條新繩子屬于“不易斷繩子”的程度應為多少幾個常用的算子：幾個常用的算子：（1）Zadeh算子算子),( ,min,maxbabababa （2）取大、乘積算子）取大、乘積算子),( abbababa ,max（3）環(huán)和、乘積算子）環(huán)和、乘積算子), ( abbaabbaba ,（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子),( ,min),(1babababa （5）有界和、乘積算子）有界和、乘積算子),( abbababa ),(1（6）Einstain算子算子),( )1)(1(1,1baabbaabbaba 1、模糊統(tǒng)計法、模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：（

12、1）論域）論域U；（2）U中的一個固定元素中的一個固定元素;0u（3）U中的一個隨機運動集合中的一個隨機運動集合;*A（4）U中的一個以中的一個以 作為彈性邊界的模糊子集作為彈性邊界的模糊子集A，*A制約著制約著 的運動。的運動。 可以覆蓋可以覆蓋 也可以不覆蓋也可以不覆蓋*A*A,0u,0u致使致使 對對A的隸屬關(guān)系是不確定的。的隸屬關(guān)系是不確定的。0u模糊集合隸屬函數(shù)的確定特點：在各次試驗中，特點：在各次試驗中， 是固定的，而是固定的，而 在隨機變動。在隨機變動。0u*A模糊統(tǒng)計試驗過程：模糊統(tǒng)計試驗過程：（1）做）做n次試驗，計算出次試驗，計算出nAuAu的的次次數(shù)數(shù)的的隸隸屬屬頻頻率率

13、對對*00 （2）隨著）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為nAuuAn的的次次數(shù)數(shù)*00lim)( 0u對對A的隸屬度：的隸屬度：以人的年齡作為論域U=0,100。隨機抽取129個大學生，在獨立認真考慮“青年”的含義之后，給出各自的答案，形成129個“青年”的年齡段.18251730172818251635142518301835183516251530183517351825182518352030183016302035183018301525183015281628183018301630183518251825162818301630162818

14、351835172716281528163019281530152617251536183017301835163515251525182816301528183518301728183515281830152515251830162415251632152718351625182816281830183518301830173018301835163018351725153018251730142518261829183518281830182516351729182517301628183016281530153515302030203016251730153018301630182818

15、3516301530183518351830173016351730152518351530152515301830172518291828 例 利用模糊統(tǒng)計確定”年輕人”的隸屬函數(shù)n102030405060708090100110120129M61423323947536268768595101M/n0.60.70.770.780.780.760.760.780.760.760.750.790.78 27歲對“青年人”的隸屬度2 直觀加推理法直觀加推理法 確定隸屬函數(shù)的方法實際上是先確定隸屬函數(shù)類型，再根據(jù)具 體問題確定特殊點隸屬函數(shù)值，最后確定整個隸屬函數(shù)。這種方法稱為直觀加推理方法。(

16、, ,)|180 ,0XA B CABCABCIR例 設全體三角形構(gòu)成的論域為確定等腰三角形 和直角三角形 的隸屬函數(shù)。1( , , )1min,60I A B CAB BC 1( , ,)19090R A B CA 12345,Xx x x x x12345,x x x x x設論域為 分別表示紅色、橙色、黃色、綠色和藍色乒球，試確定用什么顏色乒乓球最好？ 選500人，每人測試20次，即每兩種顏色比較2次紅橙黃綠藍%順序紅33025865254217.823橙67043876385127.222黃74256286575029.191綠34823713567913.994藍4581492503

17、2111.785按百分比排序確定各種顏色乒乓球受歡迎的次序是：橙色、黃色、綠色、紅色和藍色。表中百分比可以理解為隸屬函數(shù)值，即(0.1782, 0.2722, 0.2919, 0.1399, 0.1178)3 二元對比排序法二元對比排序法4 、專家打分、專家打分這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。5 模糊分布模糊分布 常用的隸屬函數(shù)有常用的隸屬函數(shù)有Z函數(shù)（偏小型）

18、、函數(shù)（偏小型）、函數(shù)（中函數(shù)（中間型）、間型）、S函數(shù)（偏大型）函數(shù)（偏大型）.n偏小型一般適合于描述像偏小型一般適合于描述像“小，少，淺，淡，青小，少，淺，淡，青年年”等偏小程度的模糊現(xiàn)象。等偏小程度的模糊現(xiàn)象。n偏大型一般適合于描述像偏大型一般適合于描述像“大，多，深，濃，老大，多，深，濃，老年年”等偏大程度的模糊現(xiàn)象。等偏大程度的模糊現(xiàn)象。n中間型一般適合于描述像中間型一般適合于描述像“中，適中，不太多，中，適中，不太多，不太濃，暖和，中年不太濃，暖和，中年”等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。象。常用的隸屬函數(shù)常用的隸屬函數(shù)有偏小型、中間型、偏大型常用的隸屬函數(shù)有偏小型、

19、中間型、偏大型. xabxA xaxbbaxb1,( ),0, xaxaA xaxbbaxb0,( ),1, xaxaaxbbaA xbxcdxccddcxd0,( )1,0, 偏小型：偏小型： 偏大型：偏大型： 中間型：中間型： 梯形分布梯形分布：k x axaA xexa k()1,( ),(0) k x ak x aexaA xaxb kexb()(),( )1,(0), 偏小型：偏小型： 偏大型：偏大型： 中間型：中間型： 分布分布 k x axaA xexa k()0,( )1,(0) x axaA xexa2()1,( ), x aA xe2()( ) 偏小型：偏小型： 偏大型：偏

20、大型： 中間型：中間型： 正態(tài)分布正態(tài)分布 x axaA xexa2()0,( )1, 確定“青年人”的隸屬函數(shù)建立（年輕人）的隸屬函數(shù)，建立（年輕人）的隸屬函數(shù)，根據(jù)統(tǒng)計資料，根據(jù)統(tǒng)計資料，作出其大致曲線，發(fā)現(xiàn)與柯西分布作出其大致曲線，發(fā)現(xiàn)與柯西分布1xaA(x)1xa(0,0)1(xa) 接近，接近，那么，可選柯西分布作為那么，可選柯西分布作為（年輕人）的隸屬函數(shù)。（年輕人）的隸屬函數(shù)。下面根據(jù)年齡特征確定參數(shù)。下面根據(jù)年齡特征確定參數(shù)。25歲以下是絕對年輕，歲以下是絕對年輕，25歲開始歲開始（年輕人）的隸屬度隨年齡增大而減?。贻p人）的隸屬度隨年齡增大而減小衰變不是線性的。衰變不是線性的

21、。.25 a故故選選. 2 故故選選又因為又因為30歲作為年輕人是最模糊的概念，歲作為年輕人是最模糊的概念，11Y(x).252 ，使使于于是是21xa1xaY (x)x2515 （ ）可選參數(shù)可選參數(shù)確定隸屬函數(shù)的注意事項：確定隸屬函數(shù)的注意事項： 隸屬函數(shù)的確定帶有濃重的主觀色彩，不過還是具有一定的客觀性和科學性，須注意：實際出發(fā)，利用經(jīng)驗，重視專業(yè)。最終以符合客觀實際為標準；F統(tǒng)計試驗，較為有效；一定條件下，可作為推理的產(chǎn)物 利用交、并、補運算； 可結(jié)合概率統(tǒng)計的處理結(jié)果可先建立近似的隸屬函數(shù)，再學習改進完善； 判斷是否反映出了元素隸屬于集合到不屬于的變化過程的特性。第二部分第二部分 模

22、糊模式識別模糊模式識別模型識別模型識別 已知某類事物的若干標準模型，現(xiàn)有這類事已知某類事物的若干標準模型，現(xiàn)有這類事物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別就是模型識別. . 模型識別在實際問題中是普遍存在的模型識別在實際問題中是普遍存在的. .例如，例如，學生到野外采集到一個植物標本，要識別它屬于學生到野外采集到一個植物標本，要識別它屬于哪一綱哪一目；投遞員哪一綱哪一目；投遞員( (或分揀機或分揀機) )在分揀信件時在分揀信件時要識別郵政編碼等等，這些都是模型識別要識別郵政編碼等等，這些都是模型識別. .模糊模型識別模糊模型識別 所謂模

23、糊模型識別所謂模糊模型識別, ,是指在模型識別中是指在模型識別中, ,模型模型是模糊的是模糊的. .也就是說也就是說, ,標準模型庫中提供的模型是標準模型庫中提供的模型是模糊的模糊的. .模糊集合的貼近度模糊集合的貼近度),(BA 表示兩個模糊集表示兩個模糊集A，B之間的之間的貼近程度貼近程度。模糊模式識別模糊模式識別 C =4 . 04 . 06 . 06 . 09 . 0 C =1 . 08 . 04 . 06 . 01 . 0 65. 0)1 . 01(4 . 021),(0 CB 45. 0)4 . 01(3 . 021),(0 CA 故故B比比A更貼近于更貼近于.模糊模式識別模糊模式

24、識別模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別一一最最大大隸隸屬屬原原則則最大隸屬原則最大隸屬原則：最大隸屬原則最大隸屬原則：模糊模式識別模糊模式識別按最大隸屬原則，按最大隸屬原則，該人屬于老年。該人屬于老年。解：解：模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別閾值原則：閾值原則：模糊模式識別模糊模式識別2、擇近原則、擇近原則模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別茶葉等級識別茶葉分為I，II，III，IV，V種，識別A為哪一種。指標數(shù)如下：I=（0.5，0.4，0.3，0.6，0.5，0.4）II=（0.3，0.2，0.2，0

25、.1，0.2，0.2）III=（0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.2）IV=（ 0， 0.1，0.2，0.1，0.1，0.1）V=（ 0， 0.1，0.1，0.1，0.1，0.1） 待識別茶葉指標數(shù)：A=（ 0.4， 0.2，0.1，0.4，0.5，0.6） U 條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味 在機器自動識別染色體或白細胞分類中，問題常常歸結(jié)為對幾何圖形進行識別。幾何圖形又常常劃分為若干三角形圖形，因此需要對三角形的形狀進行識別，典型問題是需要判別三角形是否為：等腰三角形(I),直角三角形(R),等腰直角三角形(IR),等邊三角形(E)和非典型三角形(T). 現(xiàn)在給定一個三角形，

26、其三個角構(gòu)成的向量是 試問它屬于哪一類三角形？。 (85 ,50 ,45 )模糊模式識別應用實例模糊模式識別應用實例1 幾何圖形識別幾何圖形識別第一步 確定論域。由于是識別形狀，因此可用三個角的度數(shù)表示三角形，所以取論域為：( , , )|180,0XABC A B CA B C 第二步 建立標準模式1: ( ,)1min(,)60I A B CAB BC 等腰三角形1: ( ,)1|90|90R A B CA 直角三角形: ( ,)()( ,)11 min1min(,),1|90|609011 1maxmin(,),|90|6090IR A B CIRA B CAB BCAAB BCA 等腰

27、直角三角形1: ( ,)1|180E A B CAC 等邊三角形: ( ,)() ( ,) ()( ,)1 min3(),3(),2|90|,180ccccT A B CIREA B CIREA B CABBCAAC非典型三角形第三步 識別：將 代入標準三角形計算隸屬函數(shù)得：0(85 ,50 ,45 )x 916. 0)(0 xI94. 0)(0 xR916. 0)(0 xIR7 . 0)(0 xE05. 0)(0 xT 按最大隸屬原則，判斷 應為直角三角形。由于實際問題中需要考慮既是直角、又是等腰的情況，現(xiàn)在 隸屬于直角和等腰三角形的程度相差不大，因此，可以認為 為近似等腰直角三角形。上面方

28、法可以推廣到判別多邊形問題，關(guān)鍵是如何確定標準模式（圖形）的隸屬函數(shù)！0(85 ,50 ,45 )x 0 x0 x實例實例2-手寫文字的識別手寫文字的識別-方格矩陣法方格矩陣法iju列數(shù)列數(shù)是該方格所在的行數(shù)和是該方格所在的行數(shù)和而而ji,)(a)(b1 iju約定：0 iju表示這一個上線條清晰出現(xiàn)，并填上綠色表示線條不出現(xiàn)，這一個呈白色第一步： 將字母寫在標準的長方形內(nèi)，并將長方形均勻分成75個小方格。第二步： 建立標準模式對每一個文字，按每個小方格中線條出現(xiàn)的清晰程度給予適當?shù)碾`屬度 )(a)(b可得到對應模糊關(guān)系矩陣為： 10001100011000111111100011000110

29、001H 111111000010000111110000100001111115.1921010;,26(37陣置于內(nèi)存中陣置于內(nèi)存中）對應的標準矩）對應的標準矩個空白個空白；，數(shù)字數(shù)字個個個字母個字母包括：包括：個文字個文字 ZBA)10001100011000111111100011000110001( H1 , 0),(3521 i 1 , 0),(3521 i 351)()(),(iciciiiW 行行放放在在向向量量，矩矩陣陣的的第第先先把把模模糊糊矩矩陣陣化化為為模模糊糊i對應的向量為對應的向量為個分量上，例如字母個分量上，例如字母向量的第向量的第Hi 于是文字可用文字向量表示，

30、那么37個標準矩陣都可以化為標準向量。第三步：識別 。設有文字向量：計算數(shù)值假設電腦收到文字向量是：1235( ,.,) 計算( , ),( , ),.,( ,)WA WBW選出數(shù)值最大的，即最接近的并判斷 為響應的字母B.N.Chatterji的手寫英文字母識別方法 第一步 將標準字母寫入正方形方格內(nèi)，從正方形的四個定點沿對角線方向劃線，直到和字母相接，再從四條邊的中點沿水平或垂直方向向字母劃線，直到和字母相接，并測出8個線段長度，組成一個8維向量作為特征值128(,)d dd第二步 建立標準模式iidaD128max ,Dd dd每個字母對應一個8維模糊向量，如111128( )(,)AF

31、 Aa aa262626128( )(,)ZF Zaaa記第i個字母對應的模糊向量為：128()(,),1,2,26iiiiF Xa aai這樣就建立了26個標準模式。第三步 識別 給定一個待識別的字母“*” , 需要識別”*”為哪個字母？對”*”采用同樣的方法取特征計算貼近度進行識別。B.N.Chatterji在TDP316上運行，正確識別率達96%。128(*)(,)F 812211( ( ),()1() ,1,2,268iikkkN FF Xai 手寫文字識別-模糊方位轉(zhuǎn)換技術(shù)模糊方位轉(zhuǎn)換技術(shù)01234567共有八個方向，分別用共有八個方向，分別用表表示示，76543210，則則可可將將

32、它它向向給給定定一一數(shù)數(shù)327.分解為如圖所示的形式分解為如圖所示的形式77113 2 266577032 21027777702 232 2 27777777)5667701177223(3 )22200777771223(2 )77777772223(7 沿著給定文字的方向，與給定的八個方向不完全一致。例如，327這三個數(shù)字中的方向“7”彼此都不相同。所以，所示的方向都是模糊的，即可以用F集來表示。01234567,5 .337, 5 .22是是角角度度區(qū)區(qū)間間取取論論域域 U,7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0集集上的上的就是就是那么，八個方向那么，八個方向FU下

33、：下：它們的隸屬函數(shù)規(guī)定如它們的隸屬函數(shù)規(guī)定如05 .225 .2201)(0 uuu5 .2205 .2201)(0 uuu455 .225 .22451)(1 uuu5 .67455 .22451)(1 uuu905 .675 .22901)(2 uuu5 .112905 .22901)(2 uuu1355 .1125 .221351)(3 uuu5 .1571355 .221351)(3 uuu1805 .1575 .221801)(4 uuu5 .2021805 .221801)(4 uuu2255 .2025 .222251)(5 uuu5 .2472255 .222251)(5 u

34、uu2705 .2475 .222701)(6 uuu5 .2922705 .222701)(6 uuu3155 .2925 .223151)(7 uuu5 .3373155 .223151)(7 uuu921010，個個數(shù)數(shù)字字先先把把為為了了識識別別手手寫寫數(shù)數(shù)字字我我們們向向叫叫做做號號碼碼串串方方向向，用用隸隸屬屬度度給給定定，的的各各個個字字的的FF識識別別去去作作為為標標準準向向量量。將將待待量量，在在存存儲儲到到計計算算機機中中準準向向量量比比較較，向向量量輸輸入入計計算算機機中中與與標標的的字字的的號號碼碼串串F是什么字了。是什么字了。按擇近原則，就可辨識按擇近原則，就可辨識第

35、三部分第三部分: 模糊聚類模糊聚類 模糊關(guān)系模糊關(guān)系 與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣系是普通關(guān)系的推廣. . 設有論域設有論域X，Y，X Y 的一個模糊子集的一個模糊子集 R 稱稱為從為從 X 到到 Y 的的模糊關(guān)系模糊關(guān)系. 模糊子集模糊子集 R 的隸屬函數(shù)為映射的隸屬函數(shù)為映射R : X Y 0,1.并稱隸屬度并稱隸屬度R (x , y ) 為為 (x , y )關(guān)于模糊關(guān)系關(guān)于模糊關(guān)系 R 的的相關(guān)程度相關(guān)程度. 特別地，當特別地，當 X =Y 時，時，稱之為稱之為 X 上各元素之上各元素之間的間的模糊關(guān)系模糊關(guān)系.模糊關(guān)系

36、的矩陣表示模糊關(guān)系的矩陣表示 對于有限論域?qū)τ谟邢拚撚?X = x1, x2, , xm和和Y = y1, y2, , yn，則，則X 到到Y(jié) 模糊關(guān)系模糊關(guān)系R可用可用mn 階模糊階模糊矩陣表示，即矩陣表示，即R = (rij)mn，其中其中rij = R (xi , yj )0, 1表示表示(xi , yj )關(guān)于模糊關(guān)系關(guān)于模糊關(guān)系R 的相關(guān)程度的相關(guān)程度. . 又若又若R為布爾矩陣時為布爾矩陣時, ,則關(guān)系則關(guān)系R為普通關(guān)系為普通關(guān)系, ,即即xi 與與 yj 之間要么有關(guān)系之間要么有關(guān)系(rij = 1), ,要么沒有關(guān)系要么沒有關(guān)系( rij = 0 ). 例 設身高論域X =14

37、0, 150, 160, 170, 180 (單位：cm), 體重論域Y =40, 50, 60, 70, 80(單位：kg),下表給出了身高與體重的模糊關(guān)系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81模糊矩陣的運算模糊矩陣的運算（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運算）模糊矩陣間的關(guān)系及運算定義：設定義：設 都是模糊矩陣，定義都是模糊矩陣，定義nmijnmijbBaA )(,)(相等：相等：ijijbaBA 包含：包含：ijijbaBA 并：并：nmijijbaBA )(交：

38、交：nmijijbaBA )(余：余：nmijcaA )1(取大運算取大運算 取小運算取小運算 例：例：則則設設,2 . 03 . 004 . 0,3 . 02 . 01 . 01 BA 3 . 03 . 01 . 01BA 2 . 02 . 004 . 0BA 7 . 08 . 09 . 00cA 8 . 07 . 016 . 0cB（2）模糊矩陣的合成）模糊矩陣的合成定義：設定義：設 稱模糊矩陣稱模糊矩陣,)(,)(nsijsmijbBaA nmijcBA )(為為A與與B的合成，其中的合成，其中 。1)max(skbackjikij 例：例：則則設設,6 . 04 . 02 . 05 .

39、 03 . 01 . 0,3 . 06 . 02 . 05 . 01 . 04 . 0 BA 3 . 03 . 06 . 05 . 0BA 5 . 05 . 04 . 03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0AB（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義：設定義：設 稱稱 為為A的的,)(nmijaA nmTijTaA )(轉(zhuǎn)置矩陣，其中轉(zhuǎn)置矩陣，其中 。jiTijaa （4）模糊矩陣的）模糊矩陣的 截矩陣截矩陣 定義：設定義：設 對任意的對任意的 稱稱,)(nmijaA ,1 , 0 nmijaA )()( 為模糊矩陣為模糊矩陣A的的 截矩陣，其中截矩陣，其中 ijiji

40、jaaa , 0 , 1)(模糊等價關(guān)系模糊等價關(guān)系 若模糊關(guān)系若模糊關(guān)系R是是X上上各元素之間的各元素之間的模糊關(guān)系，模糊關(guān)系，且滿足：且滿足： (1) (1)自反性：自反性：R(x, x) =1； (2) (2)對稱性：對稱性：R(x, y) =R(y, x)； (3) (3)傳遞性：傳遞性：R2 R, 則稱則稱模糊關(guān)系模糊關(guān)系R是是X上上的一個的一個模糊等價關(guān)系模糊等價關(guān)系. . 當論域當論域X = x1, x2, , xn為有限時為有限時, X 上的一上的一個個模糊等價關(guān)系模糊等價關(guān)系R就是模糊等價矩陣就是模糊等價矩陣, 即即R滿足：滿足：I R ( rii =1 )RT=R( rij

41、= rji)R2 R.R2 R ( (rikrkj) | 1kn rij) .模糊相似關(guān)系模糊相似關(guān)系 若模糊關(guān)系若模糊關(guān)系 R 是是 X 上各元素之間的上各元素之間的模糊關(guān)模糊關(guān)系，且滿足：系，且滿足： (1) 自反性：自反性：R( x , x ) = 1； (2) 對稱性：對稱性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 則稱則稱模糊關(guān)系模糊關(guān)系 R 是是 X 上的一個上的一個模糊相似關(guān)系模糊相似關(guān)系. 當論域當論域X = x1, x2, , xn為有限時，為有限時，X 上的一上的一個個模糊相似關(guān)系模糊相似關(guān)系 R 就是模糊相似矩陣，即就是模糊相似矩陣，即R滿足：滿足： (1)

42、自反性：自反性：I R ( rii =1 )； (2) 對稱性：對稱性：RT = R ( rij = rji ).模糊相似矩陣的性質(zhì)模糊相似矩陣的性質(zhì) 定理定理1 若若R 是模糊相似矩陣，則對任意的自是模糊相似矩陣，則對任意的自然數(shù)然數(shù) k，Rk 也是模糊相似矩陣也是模糊相似矩陣. 定理定理2 若若R 是是n階模糊相似矩陣，則存在一階模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù)個最小自然數(shù) k (kn )，對于一切大于，對于一切大于k 的自然的自然數(shù)數(shù) l，恒有，恒有Rl = Rk，即，即Rk 是模糊等價矩陣是模糊等價矩陣(R2k = Rk ). 此時稱此時稱Rk為為R的傳遞閉包，記作的傳遞閉包，記作

43、t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導出一個模糊等價矩陣出一個模糊等價矩陣.平方法求傳遞閉包平方法求傳遞閉包 t (R)：RR2R4R8R16例：設有模糊相似矩陣例：設有模糊相似矩陣 13 . 02 . 03 . 011 . 02 . 01 . 01R213 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01RRR ).(13 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01222RtRRR 模糊聚類分析的一般步驟模糊聚類分析的一般步驟、建立數(shù)據(jù)矩陣、建立數(shù)據(jù)矩陣nmnnmmxxxxxxxxx.21222

44、2111211（1）標準差標準化）標準差標準化（2）極差正規(guī)化）極差正規(guī)化minmaxminijijijijijxxxxx （3）極差標準化）極差標準化minmaxijijiijijxxxxx （4）最大值規(guī)格化）最大值規(guī)格化jijijMxx 其中：其中：),max(21njjjjxxxM 、建立模糊相似矩陣、建立模糊相似矩陣（1）相似系數(shù)法）相似系數(shù)法夾角余弦法夾角余弦法 mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121相關(guān)系數(shù)法相關(guān)系數(shù)法 mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(（2）距離法）距離法Hamming距離距離 mkjkikjixxxxd1

45、),(Euclid距離距離 mkjkikjixxxxd12)(),(Chebyshev距離距離jkiknkjixxxxd 1max),(（3）貼近度法）貼近度法最大最小法最大最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)()(算術(shù)平均最小法算術(shù)平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)(21)(幾何平均最小法幾何平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11.)(3 3、聚類并畫出動態(tài)聚類圖、聚類并畫出動態(tài)聚類圖（1）模糊傳遞閉包法）模糊傳遞閉包法步驟：步驟：模糊聚類實例模糊聚類實例1 解：解：由題設知特性指標矩陣為由題設知特性指標矩陣為X*801062501649

46、06464057310124 采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為X0.8910.860.330.560.100.860.6710.600.5710.440.510.50.110.100.290.67 用最大最小法構(gòu)造用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到模糊相似矩陣得到 138. 037. 053. 024. 038. 0156. 070. 063. 037. 056. 0155. 062. 053. 070. 055. 0154. 024. 063. 062. 054. 01R 153. 053. 053. 053. 053. 0162. 070. 063. 053.

47、 062. 0162. 062. 053. 070. 062. 0163. 053. 063. 062. 063. 01)(4RRt用平方法合用平方法合成傳遞閉包成傳遞閉包取取 ，得，得1 1000001000001000001000001)(1Rt取取 ，得，得7 . 0 1000001010001000101000001)(7 . 0Rt取取 ，得，得63. 0 1000001011001000101101011)(63. 0Rt取取 ，得，得62. 0 1000001111011110111101111)(62. 0Rt取取 ，得，得53. 0 111111111111111111111

48、1111)(53. 0Rt畫出動態(tài)聚類圖如下：畫出動態(tài)聚類圖如下：54321 xxxxx0.70.630.620.531 現(xiàn)有三個家庭，每個家庭由四至七人組成，每人一張照片，共有十六張。通過照片按相貌相像程度分類，把三個家庭區(qū)分開來。 第一步: 建立相似關(guān)系。任取兩張照片，請若干中學生按相貌相像程度打分，取平均數(shù)再折合成隸屬度，得到相像關(guān)系的F矩陣R（見表）由于矩陣是對稱的，只寫出下三角。模糊聚類算例模糊聚類算例2-照片分類照片分類 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 02 0 13 0 0 14 0 0 0.4 15 0 0.8 0 0 16 0.

49、5 0 0.2 0.2 0 17 0 0.8 0 0 0.4 0 18 0.4 0.2 0.2 0.5 0 0.8 0 19 0 0.4 0 0.8 0.4 0.2 0.4 0 110 0 0 0.2 0.2 0 0 0.2 0 0.2 111 0 0.5 0.2 0.2 0 0 0.8 0 0.4 0.2 112 0 0 0.2 0.8 0 0 0 0 0.4 0.8 0 113 0.8 0 0.2 0.4 0 0.4 0 0.4 0 0 0 0 114 0 0.8 0 0.2 0.4 0 0.8 0 0.2 0.2 0.6 0 0 115 0 0 0.4 0.8 0 0.2 0 0 0.2

50、 0 0 0.2 0.2 0 116 0.6 0 0 0.2 0.2 0.8 0 0.4 0 0 0 0 0.4 0.2 0.4 1ijr表1第二步 采用編網(wǎng)法聚類0.6,R(1)取矩陣將對角線填入元素符號,在對角線左下方以 * 取代1，以空格代0。(2)將*所在的位置稱為結(jié)點，相對角線引經(jīng)線（豎線） 及緯線（橫線）.(3)編網(wǎng)：在結(jié)點處將經(jīng)過的經(jīng)緯線捆綁起來，這樣來實現(xiàn)分類. 通過打結(jié)而能互相聯(lián)結(jié)的點屬于同一類. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 12 23 34 45 56 67 78 89 910 1011 1112 1213 1314 14

51、15 1516 16*abR16,13, 8 , 6 , 114,11, 7 , 5 , 215,12,10, 9 , 43得分類：得分類：第二步第二步 采用最大樹法聚類采用最大樹法聚類- 畫一棵最大樹，再進行分類。(1)以被分類元素為結(jié)點,聯(lián)接各個有關(guān)系的點，并在連線上標出權(quán)表示它們之間的相似程度.(2)在圖中找出形成閉合回路的部分，在回路中去掉最小權(quán)的連線，依此進行下去，直到圖中不再有閉合回路，這時的圖就是最大樹。 分類原則：對最大樹依次去掉（砍斷）最小權(quán)連線，就可以得到所有分類結(jié)果10.700.10.30.710.400.9 00.41000.10010.50.30.900.51R例16

52、681316 . 08 . 08 . 08 . 03101512944 . 08 . 08 . 08 . 04 . 014117255 . 08 . 08 . 08 . 08 . 08 . 0仍以照片分類為例，可畫出其最大樹。16681316 . 08 . 08 . 08 . 03151012948 . 08 . 08 . 08 . 014117258 . 08 . 08 . 08 . 0，取取6 . 0 去掉權(quán)重低于0.6的連線后，分為四類第四部分第四部分: 模糊綜合評判模糊綜合評判:()( )( )T F XF YAT ABXY定稱映射 為從 到。義的模糊變換a模糊綜合評價基礎模糊綜合評價

53、基礎-模糊變換模糊變換R(),: ()F( )(),T ( )F(V)()(y)=(A(x)R(x,y)RRF XYT F XYAF XAARAR 設惟一確定從X到Y(jié)的模糊變換 記對足義任意定滿oo 1.4,1.5,1.6,1.7,1.8(m) 40,50,60,70,80(kg) 10.80.20.100.810.80.20.1 R= 0.20.810.80.20.10.20.810.800.10.20.81,XXY命題設身高論域,體重論域某地區(qū)身高與體重的關(guān)系表示 男少年 他在F A=0.8 1 0.4 0.1 0YFB=A R=0.8 1 0.8 0.4 0.2 上的 集（， ， ， ，

54、）則他在 上的 集（， ， ， ， ）一、一級模糊綜合評判一、一級模糊綜合評判根據(jù)運算的不同定義，可得到以下不同模型：根據(jù)運算的不同定義，可得到以下不同模型：其中：其中：二、多級模糊綜合評判（以二級為例）二、多級模糊綜合評判（以二級為例）問題：問題：對高等學校的評估可以考慮如下方面對高等學校的評估可以考慮如下方面后勤圖書館科研學生質(zhì)量教學設施師資隊伍教學高等學校- C高等數(shù)學基礎課線性代數(shù)概率論數(shù)值分析學習情況數(shù)理方程專業(yè)基礎課語言矩陣論專業(yè)課公共課二級綜合評判模型二級綜合評判模型mijbABBBBARARARARAABAC 4432144332211)(AA并并賦賦予予權(quán)權(quán)重重四四類類課課程程看看為為四四個個因因素素配配類類課課程程諸諸因因素素的的權(quán)權(quán)數(shù)數(shù)分分是是第第iAi類課程的評判結(jié)果類課程的評判結(jié)果是第是第iBi類課程的評價矩陣類課程的評價矩陣是第是第iRi果果是類之間的綜合評判結(jié)是類之間的綜合評判結(jié)C- C高等數(shù)學基礎課線性代數(shù)概率論數(shù)值分析學習情況數(shù)理方程專業(yè)基礎課語言矩陣論專業(yè)課公共課BCA1A1R1B2A2R2BnAnRnB二級綜