小升初數(shù)學(xué)正比例和反比例專題講解及訓(xùn)練(含試題與答案)

1、.小升初數(shù)學(xué)正比例和反比例專題講解及訓(xùn)練（含試題與答案）主要內(nèi)容正比例和反比例學(xué)習(xí)目標(biāo)1、使學(xué)生結(jié)合實際情境認識成正比例和反比例的量，能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。2、使學(xué)生初步認識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應(yīng)的直線，能根據(jù)具有正比例關(guān)系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。3、使學(xué)生在認識成正比例、 反比例的量的過程中， 初步體會數(shù)量之間相依互變的關(guān)系，感受有效表示數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學(xué)模型，進一步提升思維水平。4、使學(xué)生進一步體會數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強探索數(shù)學(xué)知識和規(guī)律的意識，養(yǎng)成積極主動地參與學(xué)

2、習(xí)活動的習(xí)慣，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的信心?？键c分析1、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。如果用字母和分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：y = K （一定）。x2、用“描點法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對照圖像，能根據(jù)一種量的值，估計另一種量相對應(yīng)的值。3、兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定， 這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母和分

3、別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用表示它們的積，反比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：= K （一定）。4、兩個變量的比值一定，這兩個變量成正比例；兩個變量的積一定，這兩個變量成反比例；沒有上述兩種關(guān)系，這兩個變量不成比例。典型例題例 1、（正比例的意義）一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關(guān)系？時間/ 時123456路程/ 千米120240360480600720分析與解：（ 1）從上表可以看出，表中有時間和路程兩種量。;.（ 2）從左往右看，時間擴大，路程也擴大；從右往左看，時間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。（ 3）路程和時間的比值始終不變，120 = 120，240 = 120

4、，360 = 120123這個比值就是火車的行駛速度。通過觀察和計算，我們對路程和時間的關(guān)系有兩點發(fā)現(xiàn)：第一點路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，也就是時間變化，路程也隨著變化；第二點路程和路程對應(yīng)的時間的比的比值（也就是速度） 是一定的， 有這樣的關(guān)系： = 時間速度（一定）。具備了這兩個條件，我們就可以得到結(jié)論：行駛的路程和時間成正比例關(guān)系；行駛的路程和時間成正比例的量。點評： 判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件， 再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母和分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用表示它們的比

5、值，正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示：y = K （一定）。x例 2、（判斷是否成正比例）練習(xí)本的單價一定，買練習(xí)本的數(shù)量和總價是不是成正比例？為什么？分析與解： 根據(jù)正比例的意義， 看兩個變量的比值是否一定， 如果兩個變量的比值一定，那么這兩個變量就成正比例，反之，則不成正比例。買練習(xí)本的數(shù)量和總價是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與練習(xí)本的單價有下面的關(guān)系：買練習(xí)本的總價=練習(xí)本的單價（一定）數(shù)量所以練習(xí)本的數(shù)量和總價成正比例。例 3、（正比例的圖像）磁懸浮列車勻速行駛時，路程與時間的關(guān)系如下。時間/ 分1234567路程/ 千米7142128354249（ 1）圖中的點A 表示時間為1 分鐘時，磁懸

6、浮列車駛過的路程為7 千米。請你試著描出其他各點。（ 2）連接各點，它們在一條直線上嗎？;.（ 3）根據(jù)圖像判斷， 列車運行2 分半鐘時， 行駛的路程是多少千米？行駛30 千米大約需要幾分鐘？路程/ 千米42352821147 A01234567時間/分分析與解： 根據(jù)提供的各組數(shù)據(jù)描出圖像的許多個點，再依次連成直線。路程和時間相對應(yīng)的數(shù)的比值都是7，即速度一定，路程和時間成正比例，圖像是一條直線。對照圖像，可以根據(jù)時間的值估計出路程的值，也可以根據(jù)路程的值估計出時間的值，估計時允許有一定的出入。（ 1）描點、連線如圖。路程/ 千米4235282114 7 A01234567時間/分（ 2）在

7、一條直線上，因為路程和時間成正比例，正比例的圖像是一條直線。（ 3）根據(jù)圖像，列車運行2 分半鐘時，行駛的路程是17.5 千米；行駛30 千米大約需要 4.3 分鐘。例 4、（辨析） 圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例？分析與解： 圓的周長和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例?？闪斜砼袛?。半徑 /cm123456直徑 /cm24681012周長 /cm6.2812.5618.8425.1231.437.6823.1412.5628.2650.2478.5113.04面積 /cm圓的周長和直徑的相對應(yīng)的數(shù)的比值都是3.14 ，所以圓的周長和直徑成正比例。而圓;.的面積和半徑的

8、相對應(yīng)的數(shù)的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。例 5、（反比例的意義）下表是王師傅加工一批零件時， 每小時加工零件個數(shù)隨時間變化的情況。 這兩種量有什么關(guān)系？每小時加工零件的個數(shù)/ 個2030406080加工的時間 / 時128643分析與解：（1）從上表可以看出，表中有每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間兩種量。（ 2）從左往右看， 每小時加工零件的個數(shù)擴大， 加工的時間反而縮??；從右往左看，每小時加工零件的個數(shù)縮小，加工的時間反而擴大。所以它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。 （ 3）每小時加工零件的個數(shù)和相對應(yīng)的加工的時間的積都始終不變，如20

9、 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 ×6 = 240 而這個積就是這批零件的總個數(shù)。通過觀察和計算，我們發(fā)現(xiàn)：每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，每小時加工零件的個數(shù)隨著加工的時間變化而變化，但無論它們怎么變化，相對應(yīng)的積是一定的，有這樣的關(guān)系：每小時加工零件的個數(shù)× 加工的時間= 零件的總個數(shù)（一定） 。所以每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。點評： 判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關(guān)聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化， 另一種量是不是也隨著變化； 滿足

10、了前面兩個條件，再看它們的乘積是否一定，進行判斷。 不要省去任何一步。 如果用字母和分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量， 用表示它們的比值， 正比例關(guān)系可以用這樣的式子來表示： = K （一定）。例 6、（判斷是否成反比例）總產(chǎn)量一定，每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是不是成反比例？為什么？分析與解： 根據(jù)反比例的意義，看兩個變量的乘積是否一定，如果兩個變量的積一定，那么這兩個變量就成反比例，反之，則不成反比例。每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與總產(chǎn)量有下面的關(guān)系：每公頃的產(chǎn)量 × 公頃數(shù) = 總產(chǎn)量（一定）所以每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)成反比例。例 7、（辨析） 和一定，一個加數(shù)和另一個加數(shù)成反比例。

11、分析與解： 判斷兩個變量是否成反比例，關(guān)鍵是看兩個變量的乘積是否一定。很明顯，和一定，兩個加數(shù)的積是變化的，所以它們不成反比例。和一定，一個加數(shù)和另一個加數(shù)不成反比例。因為它們的積不一定。點評： 有些相關(guān)聯(lián)的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們不是積一定，也不是比值一定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度;.和身高；減數(shù)一定，被減數(shù)和差等。例 8、（綜合題1）（ 1）長方形的面積一定，長和寬成反比例嗎？為什么？（ 2）長方形的周長一定，長和寬成反比例嗎？為什么？分析與解： 判斷時可以用列表的方式列舉數(shù)據(jù)，也可以根據(jù)計算的公式來推導(dǎo)。（ 1）因為長方形的長× 寬

12、=長方形的面積 （一定），所以長和寬成反比例。（ 2）長方形的周長= （長 +寬）× 2，長方形的周長一定，長+寬的和一定，但不是積一定，所以長和寬不成反比例。例 9、（綜合題 2）分別說明大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中，每兩種量的比例關(guān)系。（ 1）大米的總千克數(shù)一定，每天吃的千克數(shù)和天數(shù)；（ 2）每天吃的千克數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和天數(shù)；（ 3）天數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)。分析與解： 在大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中，當(dāng)某一種量一定時，另外兩種量可能成正比例關(guān)系，也可能成反比例關(guān)系?？梢愿鶕?jù)數(shù)量關(guān)系式來判斷。（ 1）因為每天吃的千克數(shù)&

13、#215; 天數(shù) =大米的總千克數(shù)（一定），所以大米的總千克數(shù)一定時，每天吃的千克數(shù)和天數(shù)成反比例。（ 2）因為大米的總千克數(shù)= 每天吃的千克數(shù) （一定），所以每天吃的千克數(shù)一定時，天數(shù)大米的總千克數(shù)和天數(shù)成正比例。大米的總千克數(shù)（ 3）因為= 天數(shù)（一定），所以天數(shù)一定時，大米的總千克數(shù)和每每天吃的千克數(shù)天吃的千克數(shù)成正比例。模擬試題及答案1、仔細觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么？表格 1數(shù)量/本13681020總價/元41224324080表格 2單價/元1.523456總價/元6812162024;.表格 3用 60 元錢購買筆記本，筆記本的單價和可以購買的

14、數(shù)量如下表：單價/元1.523456數(shù)量/ 本4030201512102、用一批紙裝訂練習(xí)本，每本25 頁，可以裝訂400 本。如果要裝訂500 本，每本有X 頁。題中（）量一定， 關(guān)系式：（）（）（）（一定），（）和（）成（）比例。3、一間會客室地面用邊長0.3 米的正方形地磚鋪，需要640 塊。如果改用邊長0.4 米的正方形地磚，需要Y 塊。題中（）量一定，關(guān)系式：（）（）（）（一定），（）和（）成（）比例。4、在圓柱的側(cè)面積、底面周長、高這三種量中當(dāng)?shù)酌嬷荛L一定時， （）與（）成（）比例；當(dāng)高一定時，（）與（）成（）比例；當(dāng)側(cè)面積一定時， （）與（）成（）比例。5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三

15、種量中，當(dāng)（）一定時，（）與（）成正比例；當(dāng)（）一定時，（）與（）成反比例；6、當(dāng)a × b c（ a、 b、 c 為三種量，且均不為0）。()一定，（）與（）成（）比例；（）一定，（）與（）成（）比例；（）一定，（）與（）成（）比例；7、判斷。（ 1）、工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例。（）（ 2）、圖上距離和實際距離成正比例。 （）（ 3）、 X 和 Y 表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量，同時5X 7Y0， X 和 Y 不成比例。（）（ 4）、分?jǐn)?shù)的大小一定，它的分子和分母成正比例。（）（ 5）、在一定的距離內(nèi)，車輪周長和它轉(zhuǎn)動的圈數(shù)成反比例。（）（ 6）、兩種相關(guān)聯(lián)的量，不成正

16、比例，就成反比例。（）（ 7）訂閱小學(xué)數(shù)學(xué)評價手冊的份數(shù)與所需錢數(shù)成正比例。()（ 8）在 400 米賽跑中，跑步的速度和所用時間成反比例。()（ 9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。()（ 10）正方體的棱長和體積成正比例。()（ 11）被除數(shù)一定，除數(shù)和商成反比例。()（ 12）圓的周長和它的直徑成正比例。()8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。（ 1）、裝配一批電視機，每天裝配臺數(shù)和所需的天數(shù)（）。（ 2）、正方形的邊長和周長（）。（ 3）、水池的容積一定，水管每小時注水量和所用時間（）。（ 4）、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數(shù)（）。（

17、5）、在一定時間里，加工每個零件所用的時間和加工零件的個數(shù)（）。（ 6）、在一定時間里，每小時加工零件的個數(shù)和加工零件的個數(shù)（）。9、思考：明明三歲時體重12 千克，十一歲時體重 44 千克。于是小張就說： “明明的體重和身高成正比例。 ”你認為小張的說法對嗎？為什么？;.10、某造紙廠每小時造紙1.5噸， 2 小時、 3 小時各造紙多少噸？（ 1）把下表填寫完整。造紙時間 / 時1234造紙噸數(shù) / 噸1.5（ 2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在下圖中描出造紙時間和造紙噸數(shù)對應(yīng)的點，再把它們連起來。噸數(shù)/噸65432101234567時間/時（ 3）造紙噸數(shù)與造紙時間成正比例嗎？為什么？（ 4）根據(jù)圖像

18、判斷， 5 小時造紙多少噸？參考答案：1、仔細觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關(guān)系嗎？有什么關(guān)系？為什么？表格 1數(shù)量/本13681020總價/元412243240804=4，12=4，24=4136總價因為=單價（一定），所以單價一定時，總價和數(shù)量成正比例。數(shù)量表格 2單價/元1.523456總價/元68121620246 =4，8 =4 ，12 =41.523總價因為=數(shù)量（一定），所以數(shù)量一定時，總價和單價成正比例。單價;.表格 3用 60 元錢購買筆記本，筆記本的單價和可以購買的數(shù)量如下表：單價/元1.523456數(shù)量/本4030201512101.5× 40=60，2

19、× 30=60，4 × 15=60因為單價× 數(shù)量 = 總價（一定） ，所以總價一定時，單價和數(shù)量成反比例。2、用一批紙裝訂練習(xí)本，每本25 頁，可以裝訂400 本。如果要裝訂500 本，每本有X 頁。題中（紙的總頁數(shù)）量一定， 關(guān)系式：（每本頁數(shù)） × （ 裝訂本數(shù)）（ 紙的總頁數(shù)）（一定），（每本頁數(shù)）和（裝訂本數(shù)）成（反）比例。3、一間會客室地面用邊長0.3 米的正方形地磚鋪，需要640 塊。如果改用邊長0.4 米的正方形地磚，需要Y 塊。題中（會客室地面面積）量一定，關(guān)系式： （ 每塊磚的面積）×（磚的塊數(shù)）（會客室地面面積）一定）（，

20、（每塊磚的面積）和（磚的塊數(shù)）成（反）比例。4、在圓柱的側(cè)面積、底面周長、高這三種量中當(dāng)?shù)酌嬷荛L一定時， （ 側(cè)面積）與（高）成（正）比例；當(dāng)高一定時，（側(cè)面積）與（底面周長）成（正）比例；當(dāng)側(cè)面積一定時， （底面周長）與（高 ）成（反 ）比例。5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三種量中，當(dāng)（除數(shù)）一定時，（被除數(shù)）與（商 ）成正比例；當(dāng)（被除數(shù)）一定時，（除數(shù)）與（商）成反比例；6、當(dāng)a × b c（ a、 b、 c 為三種量，且均不為0）。(c)一定，（a ）與（b ）成（反）比例；（a ）一定，（c ）與（b ）成（正 ）比例；（b ）一定，（c ）與（a ）成（正 ）比例；7、判斷。（ 1）、工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例。（ ）（ 2）、圖上距離和實際距離成正比例。（× ）（ 3）、X 和 Y 表示兩種變化的相關(guān)聯(lián)的量，同時 5X7Y 0，X 和 Y 不成比例。（×）（ 4）、分?jǐn)?shù)的大小一定，它的分子和分母成正比例。（）（ 5）、在一定的距離內(nèi)，車輪周長和它轉(zhuǎn)動的圈數(shù)成反比例。（）（ 6）、兩種相關(guān)聯(lián)的量，不成正比例，就成反比例。（×）（ 7）訂閱小學(xué)數(shù)學(xué)評價手冊的份數(shù)與所需錢數(shù)成正比例。()（ 8）在 400 米賽跑中，跑步的速度和所用時間成反比