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文檔簡介
1、第二節(jié)定積分計算公式和性質(zhì)一、變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),并且設(shè)x 為上的任一點,于是,在區(qū)間上的定積分為這里 x 既是積分上限,又是積分變量,由于定積分與積分變量無關(guān),故可將此改為如果上限x 在區(qū)間上任意變動,則對于每一個取定的x 值,定積分有一個確定值與之對應(yīng),所以定積分在上定義了一個以x 為自變量的函數(shù),我們把稱為函數(shù)在區(qū)間上變上限函數(shù)記為圖5-10從幾何上看,也很顯然。因為X 是上一個動點,從而以線段為底的曲邊梯形的面積,必然隨著底數(shù)端點的變化而變化,所以陰影部分的面積是端點x 的函數(shù)(見圖5-10)定積分計算公式利用定義計算定積分的值是十分麻煩的,有時甚至無法計算。因此, 必須尋求
2、計算定積分的簡便方法。我們知道:如果物體以速度作直線運動,那么在時間區(qū)間上所經(jīng)過的路程 s 為圖 5-11另一方面,如果物體經(jīng)過的路程s 是時間 t 的函數(shù),那么物體從t=a 到 t=b所經(jīng)過的路程應(yīng)該是(見圖5-11 )即由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知:即是一個原函數(shù), 因此, 為了求出定積分,應(yīng)先求出被積函數(shù)的原函數(shù),再求在區(qū)間上的增量即可。如果拋開上面物理意義,便可得出計算定積分的一般方法:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),是的一個原函數(shù),即,則這個公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。為了使用方便,將公式寫成牛頓 -萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一個函數(shù)定積分等于這個函數(shù)的原函數(shù)在積分上、 下限處函數(shù)值
3、之差。 它揭示了定積分和不定積分的內(nèi)在聯(lián)系, 提供了計算定積分有效而簡便的方法,從而使定積分得到了廣泛的應(yīng)用。例1 計算因為是的一個原函數(shù)所以例2求曲線和直線 x=0 、x=及 y=0所圍成圖形面積 A(5-12)解這個圖形的面積為圖5-12二、定積分的性質(zhì)設(shè)、在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù),利用前面學(xué)過的知識,可以得到定積分以下幾個簡單性質(zhì):性質(zhì) 1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分符號前面,即(A 為常數(shù) )性質(zhì) 2函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和,即這個性質(zhì)對有限個函數(shù)代數(shù)和也成立。性質(zhì) 3積分的上、下限對換則定積分變號,即以上性質(zhì)用定積分的定義及牛頓-萊布尼茲公式均可證明,此處證明從略。性
4、質(zhì) 4如果將區(qū)間分成兩個子區(qū)間及那么有這個于區(qū)間分成有限個的情形也成立。下面用定積分的幾何意義,對性質(zhì)4加以說明。當(dāng) a<c<b 時,從圖 5-13a 可知,由 y=f與和 x=a x=b 及 x 軸圍成的曲邊梯形面積:圖 5-13a圖 5-13b因為所以即性質(zhì) 4成立。當(dāng) a<b<c 時,即點c 在外,由圖 5-13b 可知,顯然,性質(zhì) 4也成立??傊?,不論c 點在內(nèi)還是外,性質(zhì) 4總是成立的。例 3 求例 4求解=例 5 求解所以例 6 求解于是,例7設(shè)求解 因為所以=例 8火車以v=72km/h的速度在平直的軌道上行駛,到某處需要減速停車。設(shè)火車以加速度 a=-5m/剎車。問從開始剎車到停車,火車走了多少距離?解首先要算出從開始剎車到停車經(jīng)過時間。當(dāng)時火車速度剎車后火車減速行駛。其速度為當(dāng)火車停住時,速度,故從解得于是在這段時間內(nèi),火車走過的距離為=即在剎車后,火車需走過40m 才能停住。習(xí)題5-21 求下列定
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