七年級下冊三角形平行線軸對稱整式知識點總結(jié)及習(xí)題

1、第七章生活中的軸對稱（知識點總結(jié)）一，基本概念1軸對稱圖形，對稱軸 如果一個 圖形沿著某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做 軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸 。軸對稱圖形不一定只有一條對稱軸，但至少有一條。2.軸對稱 對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能完全的重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱 。3.軸對稱和對稱軸圖形中的對稱軸是直線，而不是線段和射線。4.軸對稱的性質(zhì)：1）對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分；2）對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。4角平分的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。5.垂直平分線：垂直并且平分一條線段的直線叫做

2、這條線段的垂直平分線。6. 垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。7.等腰三角形：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。8.等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角是軸對稱圖形 ；2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線，底邊上的高重合（三線合一），它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸。 3）等腰三角形的兩個底角相等。（注意：等腰三角形的性質(zhì)常用于說明兩線段相等或兩角相等）9.等腰三角形的判定方法：1）有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）；2) 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（等邊對等角）。10.等邊三角形：三邊都相等的三角形是等邊三角形，也叫正三角形。11.等邊三角

3、形的性質(zhì)：1）等邊三角形的三個內(nèi)角均為600 ; 2)等邊三角形的三邊相等。12.鏡子成像的特點：1) 物體與鏡子平行時:左右互換是關(guān)鍵，物與像成軸對稱，簡單可以看反面。；2）物體與鏡面垂直時:像的方向與物體的方向上下顛倒。 第五章三角形（知識點總結(jié)）1. 三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。用“”表示三角形，以A、B、C為頂點的三角形記作“ABC”。2三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊。例：如果ABC的三邊分別為a、b、c,則：1）a+b >c,a+ c > b, b + c> a;2) c-a &

4、lt; b, c-b <a, a-b <c.3.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于1800 。注意：三角形的三個內(nèi)角中至少有兩個是銳角，三角形的最大的角不小于600 。4.直角三角形的基本性質(zhì)：1)直角三角形的兩個銳角互余;2) 以A、B、C為頂點的直角三角形記作“RtABC”。 3)直角三角形的斜邊大于任何一條直角邊（依據(jù)是“垂線段最短”）。5.三角形按內(nèi)角大小分為三類：1）銳角三角形；2）直角三角形；3）鈍角三角形。6.三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線和它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。7角平分線的性質(zhì)：1）角平分線上的點到角

5、兩邊的距離相等；2）三角形有三條角平分線且三條角平分線交于三角形內(nèi)部的一點。8.三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。9.三角形中線的性質(zhì)：1）三角形有三條中線.且他們相交于一點；2）三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分。10.1）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高。2）特點：三角形有三條高，三條高所在的直線交于一點。3）鈍角三角形三條高交點在三角形外部，直角三角形三條高交點在直角頂點，銳角三角形三條高交點在三角形內(nèi)部。11.全等圖形：兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。12.全

6、等三角形：能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形。13.全等三角形性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。例如：ABC與A1B1C1全等，我們可以用符號“”來連接，即ABCA1B1C1 ；注意：用來連接兩個三角時，對應(yīng)頂點字母要寫在對應(yīng)的位置上。14.判定一般三角形全等的四種方法：(邊邊邊)SSS；（邊角邊）SAS; (角角邊)AAS; (角邊角)ASA15直角三角形全等的判斷方法五種：（斜邊，直角邊）HL ; (邊邊邊) SSS； （邊角邊）SAS; (角角邊)AAS; (角邊角)ASA. 第二章 平行線與相交線2圖一1.如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角；如果兩個角的和是平角，那

7、么稱這兩個角互為補角。（兩角互余或者互補只與它們的大小有關(guān)，和位置沒有關(guān)系）2.1和2互為對頂角，對頂角相等。（如圖一）3平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。4.同位角：兩直線被第三條直線所截，兩個角分別在兩條直線的相同一側(cè)，并且在第三條直線的同旁，這樣一對角叫做同位角。（1和3）圖212345內(nèi)錯角：兩直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線的兩旁，這樣一對角叫做內(nèi)錯角。（2和3）6.同旁內(nèi)角： 兩直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線的同旁，這樣一對角叫做同旁內(nèi)角。（2和4）7.判斷兩直線平行的方法：1）判斷定律（常用3條）：同位

8、角相等，兩直線平行。內(nèi)錯角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。；2）利用平行線定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩直線平行。8.平行線的特征：兩直線平行，同位角相等。兩直線平行，內(nèi)錯角相等。兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。 三角形，軸對稱，平行線綜合解題思路方法總結(jié)一，兩條線段相等的四種證明方法：證明兩三角形全等 一般三角形全等四種：(邊邊邊)SSS；（邊角邊）SAS; (角角邊)AAS; (角邊角)ASA ; 直角三角形再加（斜邊，直角邊）HL.通過全等三角形對應(yīng)線段相等來說明線段相等）；線段的垂直平分線的性質(zhì)：（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）;角平分線的性質(zhì)：（角平分線上的

9、點到角兩邊的距離相等）；等腰三角形的性質(zhì)：（等角對等邊）補充：等于同一線段的兩條線段相等二、證明兩角相等1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。2.同一三角形中等邊對等角。3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等。5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。三、證明兩直線平行 1.垂直于同一直線的各直線平行。 2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補的兩直線平行。四、證明線段的和、差、倍、分1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3.延長短線段為其二倍，再

10、證明它與較長的線段相等。4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、 三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。五、證明角的和、差、倍、分1.作兩個角的和，證明與第三角相等。2.作兩個角的差，證明余下部分等于第三角。3.利用角平分線的定義。4.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。三角形輔助線做法技巧總結(jié)1.三角形問題添加輔助線方法 方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。 方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為

11、對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。 方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。 方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。例題講解 1.延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B， 求證：ADBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：ADC與BCD，AOD與BOC，ABD與BAC，但根據(jù)現(xiàn)

12、有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點， ADAC BCBD （已知） CAEDBE 90° （垂直的定義） 在DBE與CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBEA （全等三角形對應(yīng)邊相等） EDEAECEB 即：ADBC。（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）2 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1：ABCD，ADBC 求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：

13、連接AC（或BD） ABCD ADBC （已知） 12，34 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在ABC與CDA中 ABCCDA （ASA） ABCD（全等三角形對應(yīng)邊相等）3、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖9-1：在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD的延長于E 。求證：BD2CE 分析：要證BD2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時CE與ABC的平分線垂直，想到要將其延長。 證明：分別延長BA，CE交于點F。 BECF （已知） BEFBEC90° （垂直的定義）在BEF與BEC中， BEFBEC（ASA）CE=FE=CF （全等三角形對應(yīng)

14、邊相等） BAC=90° BECF （已知） BACCAF90° 1BDA90°1BFC90° BDABFC在ABD與ACF中 ABDACF （AAS）BDCF （全等三角形對應(yīng)邊相等） BD2CE4、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點，且ABDC，ACBD，求證：AD。分析：要證AD，可證它們所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和對頂角兩個條件，差一個條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，若連接BC，則ABC和DCB全等，所以，證得AD。證明：連接BC，在ABC和DCB中

15、ABCDCB (SSS) AD (全等三角形對應(yīng)邊相等)5、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：ABDC，AD 求證：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中點N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BNCN，ABNDCN。下面只需證NBCNCB，再取BC的中點M，連接MN，則由SSS公理有NBMNCM，所以NBCNCB。問題得證。證明：取AD，BC的中點N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中 ABNDCN （SAS） ABNDCN NBNC （全等三角形對應(yīng)邊、角相等）在NBM與NCM中 NMBNCM，(SSS) NBC

16、NCB （全等三角形對應(yīng)角相等）NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。整式的運算（知識總結(jié)）§1.整式1.單項式：表示數(shù)與字母乘積的代數(shù)式叫做單項式，單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。（數(shù)與字母的積）。例如：7a2b, ,0,y。單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)（常數(shù)）如：7a2b 其系數(shù)是7.2.多項式：幾個單項式的和叫做多項式。如：3x2y6xy+3,2a-b.其中不含字母的項叫做常數(shù)項：如：3x2y6xy+3 中的3是常數(shù)項。一個多項式含有幾個單項式就叫做幾項式。如：3x2y6xy+3 含有三個單項式，所以它是三項式。 整式單項式多項式3整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

17、拓展：如果一個代數(shù)式是單項式或多項式，那么它一定是整式。（如右下圖） 代數(shù)式4單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)。如：7a2b中，字母a,b的指數(shù)和為2+1=3，所以7a2b的次數(shù)是3.5.多項式的次數(shù)：一個多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)。如：3x2y6xy+3 的次數(shù)最高項為3x2y，3x2y的次數(shù)為3，所以多項式3x2y6xy+3 的次數(shù)為3. 拓展：對于一個多項式，知道了它的項數(shù)和次數(shù)后，我們可以稱這個多項式為幾次幾項式，如3x2y6xy+3 稱為三次三項式。常數(shù)項的系數(shù)是它本身，次數(shù)為0. §2.整式的加減1.整式的加減運算步驟

18、：先去括號，再合并同類項。注意：在去括號時注意括號前有“-”時，去括號后，括號里面的每一項都必須改變符號；合并同類項時只進行系數(shù)的加減，字母及其指數(shù)不變。§3.同底數(shù)冪的乘法1.同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。公式：aman=am+n 注意：底數(shù)a可為數(shù)字母一個代數(shù)式 相乘的冪必須底數(shù)相同。公式可以推廣到三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘，如：amanap=am+n+p 公式反過來也成立： am+n= aman （-a）n=an(n為正偶數(shù))= -an (n為正奇數(shù)) ；（b-a）n=(a-b) n (n為正偶數(shù)) =-(a-b) n (n為正奇數(shù))。§4.冪的乘方與積的乘方1.冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘。公式：(am )n=amn (m , n 為正整數(shù))。2.積的乘方：積的乘方等于積中各因式的乘方的積。公式：(ab)n=anbn (n 為正整數(shù))§5. 同底數(shù)冪的除法1.同底數(shù)冪的除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。公式：am ÷an =amn (a0,m,n為正整數(shù)，且m>n)2.零指數(shù)冪：a0 =1 (a0