考研數(shù)學重要公式

1、高等數(shù)學重要定理及公式作者：電子科技大學通信學院張宗衛(wèi)說明：本文檔是筆者在考研過程中花費將近一個月的時間，總結得出的數(shù)學（一）重要公式及一些推論，并使用word 及 MathType輸入成文，覆蓋了微積分、線性代數(shù)、概率論這些課程。因為時間有限，難免存在一些輸入錯誤，請讀者仔細對照所學知識，認真查閱。線性代數(shù)重要公式1.矩陣與其轉置矩陣關系：AA*A E10, r ( A)n12.矩陣行列式：A 1A*A*n 1k n 1 A* r ( A* ) 1, r ( A)n1A( kA) *An, r ( A)nr ( AB)minr ( A), r ( B)r ( A B) r ( A) r (B

2、)3.矩陣與其秩：r ( A, B)r ( A) r ( B)r ( A, B)max( r ( A) r (B)4.齊次方程組 Ax 0：非 0解線性相關R( A) n5.非齊次方程組Axb：有解R(A)R(A)線性表出6.相似與合同：相似n 階可逆矩陣A,B 如果存在可逆矩陣P使得 P 1APB則A與B相似，記作： A B ；合同 A,B為 n 階矩陣，如果存在可逆矩陣C使得BCTAC則稱 A與B 合同。（等價， A 與 B 等價 A 與 B 能相互線性表出。）7，特征值與特征向量：A，求解過程：求行列式EA0中參數(shù)即為特征值，再求解 ( i EA) x0 即可求出對應的特征向量。矩陣A

3、的特征值與 A 的主對角元及行列式之nniaiin間有以下關系：。上式中 tra ( A)aii稱為矩陣的跡。112. nAi 118.特征值特征向量、 相似之間的一些定理及推論：實對稱矩陣A 的互異特征值對應的特征向量線性無關；若 n 階矩陣的特征值都是單特征根，則A 能與對角矩陣相似；n 階矩陣 A 與對角矩陣相似的充分必要條件是對于A 的每一個 ki重特征根，齊次方程組(i EA) x0 的基礎解析由ki 個解向量組成即對應每一個ki 重特征根iR( i EA)nki 。9.實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，如果A 為一個實對稱矩陣，那么對應于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。 任意 n 階

4、實對稱矩陣 A 都存在一個n 階正交矩陣C，使得 CT AC C 1AC 為對稱矩陣。10.施密特正交矩陣化方法：一般地，把線性無關向量組1,2 . s 化為與之等價的標準正交向量組的施密特正交過程如下：再令：1iii則 1, 2.s 是一組與 1, 2 .s 等價的標準正交向量組。11.正交矩陣的定義：如果實矩陣A 滿足： ATAAATE 則稱 A 為正交矩陣。12.設 A ， B 為 n 階方陣，如果存在可逆矩陣C，使得 BCTAC，則稱 A 與 B 合同。13.用正交變換化二次型為標準型步驟：a) 寫出二次型對應的對稱矩陣A ；b)求 A 的特征值i 和特征向量，（EA0 ）i ；c)

5、將特征向量 i 正交化（實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量彼此正交，多重特征根在取特征向量時盡量取正交向量，方便計算）、單位化得ix1y1x2y2d) 令X1, 2 ,. n ， Y則 XCY ，是正交變換，且. ，C.xnynf ( x1, x2 ,., xn )1 y122 y22.n yn2 。14.如果任一非零向量X 都使得二次型X T AX0 ，則稱之為正定二次型，對應的矩陣A 為正定矩陣。 二次型為正定矩陣的充要條件是矩陣A 的特征值全部為正實數(shù)、正慣性指數(shù)是n、矩陣 A 與 E 合同、矩陣 A 的順序主子式全大于零，且以上條件等價。概率論與數(shù)理統(tǒng)計重要知識點及公式：1.條件概率

6、： P(A| B)P( AB)P(A | B)P( A)P(B) ,則 A 與 B 獨立。P(B)如果P( AB)P(A)P(B)P(A B)2.常用概率公式：P( AB)P( AB)P( A)P( AB) （對于給定如： AB 這樣的條件，p( AB)P( A | B) P(B)常常通過畫圖（如下圖）來解決，直觀明了）BAp( AB)p( B) p( AB)p( AB )p( A)p( AB)n3.全概率公式：P(A)P( Ai )P( Ai| B)i 14.貝葉斯公式：p(Bip( ABi )p(Bi ) p(Bi A )（結合條件概率公式和全概率公式| A)np( Bip(Bj)p( A

7、 | B j )j 1推導而出）5.幾個重要分布：a)二項分布（ n 次重復，伯努利類型）：p( A)Cmn pn (1p) m nb)泊 松 分 布 ： 二 項 分 布 當 m, 很 大 ， p很 小 且 np時 ，kX p() p, xke ,k 0 , 1 , 2 . . .k !c)X U (a, b), f ( x)1,axb均勻分布：ba0,otherelsed)指數(shù)分布：f ( x)ex , x00, x 01( x)2e)正態(tài)分布： X N (u,2 ), f (x;u,)e2226.隨機變量的數(shù)字特征：nnA ）數(shù)學期望：存在前提xi pi，x f ( x)dx 要絕對可積，

8、那么 E( x)xi pi ，i1i1E( x)xf (x)dx ；D ( X )E ( xE( x)2B）方差：D ( X )E( x2 )E2 (x)E(C)CC）期望性質：E(cX )cE ( X )E(XY)E(X )E(Y)，X，Y 獨立則E( XY)E( X )E(Y)D(C )0D）方差性質：D (cX )c2 D (x ), 若X ， Y相互獨立則D(X Y)D(X)DY()2 c XovY( ,)D( XY)D( X)D( Y.。)7. 常用分布數(shù)字特征：a)(0,1) 分布 E( z)p; D( z)p(1p)b)b（ n， p）二項分布 E( z)np; D ( z) n

9、p(1p)kc)泊松分布e, E( z), D ( z);k!d)均勻分布： Ua, b , E(z)ab , D ( z)(b a)2;212e)指數(shù)分布：e x , x0, E( z)1 , D( z)12 ;0, otherelsef)正態(tài)分布： N (, 2 ), E(z), D (z)2 ;8.協(xié)方差：定義式 cov(X ,Y)ExE (x) yE( y)計算式 cov( X ,Y)E(xy)E( x) E( y)cov( X ,Y1Y2 )cov( X ,Y1)cov( X ,Y2 )性 質 ：cov( aX ,bY ) ab cov( X , Y)cov( Z , Z )D(Z)

10、9.相關系數(shù)：xycov( X ,Y) ,1;D(X)D(Y)10.幾種特殊函數(shù)的分布問題：a)極值分布 Z1max( X ,Y), Z2min( X , Y)b）和的分布：Z=X+Y 分分布函數(shù)是一般的X與Y相互獨立，且XN(1,12),YN(2,22)，則ZXY N ( 12, 1222 ) ，其概率密度公式為：1( x( 12 )2f ( z; 12, 1212 )e 2(2211 )。2( 1212 )c）商的分布ZXY 分布函數(shù)是：11.參數(shù)估計：a) 矩估計方法：構造關于參數(shù)組成的k 階原地矩與樣本k 階原點矩之間的等式關系：k ( 1 ,2 ,. n )1 nkk (x1, x2

11、 ,.xn ) 就作為k 的矩估n i 1xi ，解此方程組解為k計。b）極大似然估計方法：基本思想是按照最大可能性的準則進行推斷，把已經(jīng)發(fā)生的事件，看成最可能出現(xiàn)的事件，即認為它具有最大的可能性。求法，寫出最大似然函數(shù),并求最大似然函數(shù)的最大值點，一般取最大似然函數(shù)的對數(shù)方便運算，即求解如下的似然方程組ln L0,k 1,2,3., m ，似然方程組k的解可能不唯一，這時需要微積分知識進一步的判定哪一個是最大值點，若似然函數(shù)關于參數(shù)的導數(shù)不存在時，就無法得到似然方程組，因此必須回到極大似然股及的定義式直接求解。13.矩估計的優(yōu)良性：若E()則稱是 的無偏估計量，若1, 2是的無偏估計量，且D

12、( 1) D( 2) 則稱1 為的最小無偏估計量。14.數(shù)理統(tǒng)計概念： X1 nn iX i（樣本均值）1S21nX )2 （樣本方差）1 i 1( X in1AknnXik （樣本 k 階原點矩）i 1M k1 n( X i X ) k （樣本 k 階中心矩）n i115.三個重要分布：a)設 n 個相互獨立并且都服從正態(tài)分布N (0,1) 的隨機變量X1, X 2 ,., X n 記則稱隨機變量2 服從自由度為n 的2 分布。對于給定的正數(shù)a(0<a<1), 稱滿足關系式 P(22 ( n)f 2 ( x)dxa 的數(shù)a2 ( n) 為2 (n) 的上側臨界值或上側 分 位2a

13、 ( n)數(shù)。性質： E(2 )n, D (2 )2n設 Y1,Y2相互獨立，且 Y1 2 (n1 ), Y2 2 (n2 ) 則有 Y1 Y22 (n1 n2 )b） 設隨機變量X 與 Y 相互獨立，X N (0,1),Y 2 ( n) ，記TXn 的 t 分布。則隨機變量 T 服從自由度為Y nc） 設隨機變量X,Y相互獨立，X 2 ( n1 ),Y 2 ( n2 ) 記 FXn1 則隨機變量F 服Y n2從第一自由度為n1 第二自由度為 n2的F分布。16 設 X1, X 2,., X n 是正太總體N (,X 與 S2 相互獨立，則有1 nE(X)E(n i 1上式中，D ( X )D

14、 ( 1 nn i 12 ) 的樣本， X , S2 分別是樣本均值和樣本方差，則有Xi )1nE( X i )n i 1122X i )D ( X i )nn17.設 X1 , X 2 ,., X n1和Y,Y,.,Y 分別是來自正態(tài)總體N (1,2), N(2,2 ) 的樣本，并且1 2n212它們相互獨立，X , S12,Y, S22 分別是這兩組樣本的均值和樣本方差，則有：A ）當222時， T(XY)(12 ) t(nn22) 其中，12111Sn1n2S( n1 1)S12(n2 1)S22。n1n2 218.已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x), 分 布 函 數(shù) 在x=a處不連續(xù)，則

15、P X a F (xa)lim F (x) 。（ P xaF (a)F ( a0) ）xa19.概率密度函數(shù)滿足：，通常用此條件求概率密度函數(shù)中的參數(shù)值。f ( x)dx 120.多重概率密度函數(shù)同樣滿足：f ( x, y)d1G 為積分空間 .G微積分部分：1，無窮小與無窮大：當x0時，有下列等價無窮小sin x x,tan x x,arcsin x x,arctan x x,n 1 x1 x ,1cosx 1 x2 ,tan xsin x 1 x3 ,n22ln( x1) x,log a (1x) 1x, ex1 x, a x1 xln a;ln aarcsin xx x3, xarcta

16、nx x3, tan xx x3,633tanxsin x 1 x322，若 limf ( x)0,lim g( x)0 則 lim1f ( x) g ( x)lim f (x ) g( x)ex x0xx0xx0xx03.導數(shù)概念： f ' ( x0 )limf (x0x)f (x0 )x 0x微分概念：y f (x0x)f (x0 )Ax o(x) 稱 f(x) 在 x0 可微， dyAx為y 的線性主部。切線方程：yy0f ' ( x0 )( xx0 ) 法線方程： y y0f1(xx0 )' ( x0 )4，極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則，夾逼準則，兩個重要極

17、限。5.導數(shù)的四則運算法則：6，常用導數(shù)和不定積分：(uv)' ( x)u' ( x)v' (x)(uv) ' (x)u ' ( x)v( x)u( x)v' (x)u 'u' (x)v( x)u( x)v' ( x)( v ) ( x)v2 (x)'(1)' ( x)v ( x)vv2 (x)對數(shù)求導法： yxsin x ( x 0), 求 y' 。解： ln ysin x ln x1 y 'cos x ln x1 sin xyxy 'y(cos x ln x1sin x )x1.

18、兩邊同時取對數(shù)2.兩邊同時求導xx(t )確定的 yy(x) 求 dy參數(shù)求導法：y(t )ydxdyy' (t) ,( dydy dtdy1y' (t ) ) 二階導數(shù)： d 2 yd dy dtdxx' (t) dxdt dxdx dxx' (t )dx2dt dx dxdt反函數(shù)求導： ( f1 )' ( x)'1， ( f 1)' ( y) |y y.0f'1f( y)( x) |xx0高階導數(shù)：基本積分公式：1.將復雜部分求導2.主要處理根式部分3.將復雜部分用新變量t 替換4.分部積分主要處理兩類函數(shù)乘積的積分5.有理

19、公式處理真分式積分。6.萬能代換。羅爾定理：f ( x) C a,bD (a,b)且f (a)f (b)則(a,b)使得 f ' () 07.8.看到函數(shù)值差， 聯(lián)想單拉格朗日定理f (b)f (a) f ' ()(b a), ba 用于求極限證明不等式。9.柯西定理： 若 f ( x), g(x)Ca,bD (a, b) 且， x (a,b), g( x)0 則( a,b) 使得10.駐點x0 ， f ' (x0 ) 0 的點；極值點f (x0 ) ，根據(jù)實際情況判斷，通?？丛趚0 兩側的一階導數(shù)的正負性有次判斷是極大值或極小值；拐點(x0, f (x0 ) ，拐點二

20、階導數(shù)f '' (x0 ) 0 ，且在 x0 兩側二階導數(shù)異號。11.冪指數(shù)函數(shù)極限的一般處理方法：lim uvlim evln uelim vln u 對于 1未定式，一般dyf ( x)g( y)解法dyf (x)dx12.可分離變量微分方程：g( y)dx13. f (tx, ty )t kf (tx, ty) 令 t1有 f ( x, y)f (tx,ty)f (1, y )( y ) 稱之為其次方程，xxx引入變量uydyuxdu帶入方程dy(y) 得 uxdu(u) 兩邊同時積分求解。則dxdxxdxxdxdyP( x) yQ (x) 通解為： yep( x) dx

21、p ( x) dxc14.一階線性非齊次方程：Q( x)edx15.伯努利方程：dyP(x) y Q (x) y n， 令zy1 n則dz(1n) y ndy， 即n d y1d zdxdzdxdxy(1) ()z(1)(x) 。d x 1n帶入原式得dxn P xn Qd xdp16. y''f ( x, y' ) 型高階微分方程求解：令py' 則原式化為f (x, p) 用上述方法求解可dx得 y'( x,C1 ) ，于是再積分可得y(x, C1 )dxC217. y''f ( y, y' ) 型高階微分方程求解：可令 y&#

22、39;p( y) ，則 y''dy 'dpdp dyp dp 于dxdxdy dxdx是 y''f ( y, y' ) 變?yōu)?p dpf ( y, p) 求得通解為p( y,C1 ) 即 dy( y, C1 ) ，分離變量積dydx分得dyxC2 。( y,C1)18.二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法：y''py 'qy0（ p，q 為常數(shù)）即 ( D 2pDq) y 0（D 為微分算子） ，可得特征方程r2prq0r1,2pp24q，特征方程的兩個根為2，分三種情況 :a)當 p24q 0 解為 y C1e r1xC2 e

23、 r2 xb)當 p 24q0 解為 y(C1C2 x)e rxc)當 p24q 0 ， 特 征 方 程 有 一 隊 共 軛 復 根 r1i , r2i，則通解為ye x (C1 cosxC2 sinx)19.二階線性非齊次線性方程的解法:一般形式 y''py 'qyf (x) （p、 q 為常數(shù)）f ( x)p (x)e x ， p（ x）是 m 次多項式1.不是對應的齊次方程的特征方程的根，則my*Qm (x)e x2.是單根， 則對應的特解為y*xQm ( x)e x3.是重根，則對應的特解為y*x2Qm ( x)e xy*xk e x Rm(1) cos xRm

24、(2)sinx ，其中R(1)(x), R(2)是 系 數(shù) 待 定 的 m 次 多 項 式 ，mmmmax l , n 而 k 按i不是或是特征方程的根分別取0或 1.20.多元函數(shù)微分：zf ( x, y) 在點 (x0 , y0 ) 處的全微分 dzA( x0 , y0 )dxB( x0 , y0 ) dy ，其中 A( x0 , y0 )z |( x, y) ， B( x0 , y0 )z |( x , y ) 。x00y0021. F ( x, y) 0 ，可由dyFx求得導函數(shù)，對于F ( x, y, z) 0 偏導數(shù)可由zFx，dxFyxFzzFy求得。yFz22.空間曲線L 的參

25、數(shù)方程曲線上一點M ( x0 , y0 , z0 ) ，則向量 s( x' (t0 ), y' (t0 ), z' (t0 ) 就是曲線 L 在點 M 處切線的方向向量，也稱為切向量，于是在M 點的切線方程為x x0y y0zz0 ，法平面方程為x' (t0 )y' (t 0 )z' (t0 )x' (t0 )( x x0 ) y' (t0 )( y y0 ) z' (t0 )(z z0 )0 。F ( x, y, z)0yy(x)23.空間曲線由兩平面方程確定0，則可確定曲線 L：z于是在點 M 0G( x, y, z)

26、z( x)處的切向量為 s (1,y'(x), z' (x)|M0 。24.方向導數(shù) :設函數(shù) zf (x, y) 在點 p( x0 , y0 ) 處可微，則函數(shù)在此點處存在沿任一方向的l 的方向導數(shù)，則方向導數(shù)向余弦。df( df cosdf cos ) |, y0 )，其中 cos ,cos為 l 方向上的方dldxdy( x025.梯度： gradff if j ，它是一個向量，可將二元函數(shù)f ( x, y) 沿任一方向l 的方向導xy數(shù)寫成向量內(nèi)積的形式：方向導數(shù)的最大值為fgradf cos， 是 l 與 grad f 之間的夾角。gradf llgradf( f )

27、 2( f )2 ，當0 ，即 l 的方向就是 gradf 的方向時，xyf 最大，也就是沿著梯度方向，函數(shù)的變化率最大，函數(shù)值增長最快。時， l 取負梯度l方向 -grad f 時，方向導數(shù)達到最小值gradf( f ) 2( f )2 也就是沿負梯度方向函數(shù)xy值減少最快。26.極值的充分條件：設函數(shù)f ( x, y) 在點 (x0 , y0 ) 額某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)且有f x( x0 , y0 )0, fy ( x0 , y0 )0 ，令 fxx ( x0 , y0 )A, fxy ( x0 , y0 )f yx (x0 , y0 )B, f yy (x0 , y0 )C ，函

28、數(shù)在點 ( x0 , y0 ) 的黑塞矩陣為： H f (x0fxxf xyAB, y0 )f yyBCfyx( x0, y0 )，則有一下結論：( x0 , y0 )1）若2）若ACB20, A0,則 H f為正定矩陣，故f (x0 , y0 ) 為極小值。ACB20, A0,則 H f為負定矩陣，故f (x0 , y0 ) 為極大值。3）若 ACB20, 則 H f 為不定矩陣，故f ( x0 , y0 ) 為不是極值。27.有界區(qū)域上的最大值與最小值：求出f ( x, y) 在 D 內(nèi)所有的駐點和駐點處的函數(shù)值，求出f ( x, y) 在邊界上的最大（小）值，對比上面求出的函數(shù)值，其中最

29、大的就是f ( x, y) 在 D 上的最大值，最小的就是最小值。28.條件極值和拉格朗日數(shù)乘法：uf (x1, x2 ,., xn )在m個條件i ( x1, x2 ,., xn )0(i1,2,., n) 下的極值。求解步驟如下：a)構造拉格朗日函數(shù)：F (x, y, z, 1 ,2 )f ( x, y, z)11 (x, y, z)22 ( x, y, z)b) 對 F 求 x, y, z, 1 , 2 的偏導數(shù)并令其為零，即c) 求解 ( x0 , y0 , z0 ), 1, 2 。d) 根據(jù)問題性質判斷 ( x0 , y0 , z0 ) 是否為極值點。29.二重積分的計算，熟悉x 型

30、 y 型積分區(qū)域的計算，以及改變積分順序。30.極坐標xr cos則 drdrd，那么f(,)df(rcos,rsin)rdrd，yr sinxyDD使用時注意積分上下限的變換。xr cos31.柱坐標下的 極坐標變換 ：yr sin，dVrdrddz那么zzf ( xy, z dV,)fr(rcordrdsdz,。 sVV32.球坐標下計算三重積分：0,0,02xsincosysinsin，d V2 s i ndddzcos則球坐標下三種積分的計算公式為：33.曲線的弧長：曲線L： y y( x),( ax b) 弧微分 ds1y' (x)dx ，則曲線弧段的長為sb； 曲 線 參

31、數(shù) 方 程 xx(t), yy(t ),(t)1 y'2 (x)dx，弧微元為adsx'2 (t)y'2 (t) dt，sx'2 (t)y'2 (t )dt同理，三元函數(shù)有x'2 (t)y'2 (t) z'2 (t )dtxr ()coss。 平 面曲線由yr ()sin確定，則dsx'2 ( )y'2 ()dr 2 () r '2 ( )d長度為 sr 2 ( ) r '2 ()d 。34.第 一 類 曲 線 積 分 的 計 算 ： 設 函 數(shù) f ( x, y)平面弧線 L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為

32、xx(t )t) ，則f (x, y)dsf x(t), y(t ) x'2 (t ) y'2 (t )dt () 。y(y(t )L35.曲面 S 的方程為 zz( x, y) 在 xoy 上的投影為Dxy ，函數(shù) zz(x, y) 在 Dxy 上具有連續(xù)的偏導數(shù)，則 S 為光滑曲面，則s1( z)2(z )2 dxdy ，同理在 yoz面上的投影為D yz ，Dxyxy則 有s1 (x2(x2dzdy， 在上的投影為Dzx ，則 有)z o xD yzzys1 ( y ) 2(y ) 2 dxdz 。Dzxzx36.第一類曲面積分的計算:設函數(shù) f ( x, y, z) 在

33、曲面 S 上連續(xù)， S 的方程為 zz( x, y) ，S 在 xoy面上的投影區(qū)域為Dxy ，函數(shù) zz( x, y) 在 Dxy 上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則：f ( x, y, z)dSf x, y, z( x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y)dxdy 。SD xy37.第二類曲線積分：38.對于 yy(x) 計算公式可為P( x, y)dxQ( x, y)dyb P x, y( x) Q x, y( x) y' ( x) dt 。應用質點沿著曲線L 運動，La在場力 F ( x, y, z)P( x, y, z)i Q (x, y, z) jR( x, y,

34、 z) k 的作用下所做的功為WF ( x, y, z)dsP(x, y, z) dxQ( x, y, z)dy R( x, y, z)dz 。LL39.第 二 類曲 面 積分：曲面S ， 曲 面 面 積 微 元 向 量 dSn0 ds ，F(xiàn) ( x, y, z)P(x, y, z)iQ( x, y, z) jR(x, y, z)k 則：F (x, y, z)dSP(x, y, z) dydzQ( x, y, z)dxdz R( x, y, z) dxdy 。SS40.第二類曲面積分的計算分面投影法：將P(x, y, z)dydz Q( x, y, z)dxdzR( x, y, z) dxdy 的三項分別化在坐標平面Syoz, zox, xoy上的二重積分，