概率論與數理統(tǒng)計課后習題參考答案高等教育出版社

1、3概率論與數理統(tǒng)計課后習題參考答案高等教育出版社習題11解答1. 將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A,B,C分別表示“第一次岀現正面”，“兩次岀現同一面”，“至少有一次岀現正面”。試寫岀樣本空間及事件AB,C中的樣本點。解：門-（正，正）,（正，反），（反，正），（反，反）/A -、（正，正），（正，反）> B' （正，正），（反，反）'C = < （正，正），（正，反），（反，正）/2. 在擲兩顆骰子的試驗中，事件A, B, C, D分別表示“點數之和為偶數”，“點數之和小于5”，“點數相等”，“至少有一顆骰子的點數為3”。試寫岀樣本空間及 事件AB, A - B,

2、AC,BC , A - B - C - D中的樣本點解：1 (1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)1 ；AB 二(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)?;A B (1,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2祖；Ac =：;BC (1,1),(2,2)?；ABC D 二(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)13. 以A,B,C分別表示某城市居民訂閱日報、晚報和體育報。試用A,B,C表示以下事件:（1）只訂閱日報

3、；3）只訂一種報；（5）至少訂閱一種報；7）至多訂閱一種報；（9）三種報紙不全訂閱（2）只訂日報和晚報；（4）正好訂兩種報；（6 ）不訂閱任何報；（8）三種報紙都訂閱;解：(1) ABC ； (2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ；(4)ABC ABCABC ;(5)ABC ；(6)ABC ；(7)ABCABC ABCABC 或 ABAC BC(8) ABC ；(9) ABC4. 甲、乙、丙三人各射擊一次，事件Ai,A2,A3分別表示甲、乙、丙射中。試說明下列事件所表示的結果：A2, A2 A3, AA , A1 A2 , A1A2a3,A, A, A2A3 A1A3.解：甲未擊中

4、；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有 一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有 兩人擊中。5. 設事件 代B,C滿足ABC 丿，試把下列事件表示為一些互不相容的事件的和:A B C，AB C，B - AC.解：如圖:A B C 二 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC;AB C 二 ABC C;B - AC = ABC ABC ABC=BA ABC=BC ABC6. 若事件A,B,C滿足A C = B C，試問A.：B是否成立？舉例說明。解：不一定成立。例如：aJ3,4,5? , Bn/, C4,5?,那么，A，C 二B C，

5、但 A = B。7. 對于事件A,B,C，試問A-(B-C) = (A - B) C是否成立？舉例說明 解：不一定成立。 例如：A3,4,5?，B 4,5,61，C6,7?，那么 A _(B _C) =，但是(A -B) C 3,6,7?。8. 設P(A)=丄，P(B) =1，試就以下三種情況分別求P( BA):3 2(1)AB 二：:J，( 2)A B，( 3)P(AB) =£ .解：1(1) P(BA) =P(B _ AB) =P(B) _P(AB廠21(2) P(BA)二 P(B _ A)二 P(B) _P(A)：61 13(3) P(BA)二 P(B _ AB)二 P(B)

6、_P(AB)=2 8 89. 已知 P(A)二 P(B)二 P(C)二1, P(AC)二 P(BC)二點，P(AB)=O 求事件 A, B,C全不發(fā)生的概率。解：P(ABC) =P A B C id P(A B C)=1 - P(A) P(B) P(C) _P(AB) _P(AC) _P(BC) P(ABC) 111111c 3=10 0 :|4441616810. 每個路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設各色燈的開閉是等可能的。一個人騎車經過三個路口，試求下列事件的概率：A二“三個都是紅燈”=“全紅”；B =“全綠”； C二“全黃”；D二“無紅”； E = “無綠”；F二“三次顏色相同”；G =

7、 “顏色全不相同”；解：H = “顏色不全相同”P(A)二P(B)二P(C)11113 3 3272><2><2 8P(D)二 P(E):3匯3沢327P(F)=丄丄丄272727P(G)二3!3 3 3#1 8 P(H) =1 _P(F) =1.9911 .設一批產品共100件，其中98件正品，2件次品，從中任意抽取3件(分三 種情況：一次拿 3件；每次拿1件，取后放回拿 3次；每次拿1件，取后不放回拿 3 次)，試求：(1) 取岀的3件中恰有1件是次品的概率;(2)取岀的3件中至少有1件是次品的概率。 解：一次拿3件：(1) P 二= 0.0588 ；(2)C100

8、每次拿一件，取后放回，拿3次：22 982(1) P =83=0.0576 ；1003 '每次拿一件，取后不放回，拿3次：2漢98疋97(1) p =83=0.0588 ；100 沃 99 漢 98'98漢97匯96(2) P =1 -96 = 0.0594100 7998c2c98 c；c；8P卓1003二 0.0594 ；= 0.0588 ；12.從0,1,2，,9中任意選岀3個不同的數字，試求下列事件的概率: A,二三個數字中不含0與5?，A2二三個數字中不含0或5?。5#解:P(A)Cg7C3015'P(A2)2C3 -c；C0上或P(A2)=1 -線15C；0

9、141513.從0,1,2，9中任意選岀4個不同的數字，計算它們能組成一個4位偶數的概率。解: 5P93-4P8241P149014. 一個宿舍中住有6位同學，計算下列事件的概率:(1)6人中至少有1人生日在10月份;(2)6人中恰有4人生日在10月份;（3）解：6人中恰有4人生日在同一月份;(1) P= 12 =0.41 ；12(2)Pc； 112126巾00061;(3) PG2C611126-0.007315.從一副撲克牌（52張）任取3張（不重復），計算取岀的 3張牌中至少有2張花色相同的概率。解：P 仝空魚=0.602或卩=13111C4 G3C13C13c52c52二 0.6027

10、習題12解答1.假設一批產品中一、二、三等品各占60% , 30%、10%，從中任取一件，結果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解： 令A = “取到的是i等品”，i =1,2,3心3*騁二韶罟|2.設10件產品中有4件不合格品, 格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令“兩件中至少有一件不合格”P（B）_ 二 1 -P（A）-從中任取2件，已知所取2件產品中有B= “兩件都不合格”1件不合P®A）鬻C：9153.為了防止意外，在礦內同時裝有兩種報警系統(tǒng)I和II。兩種報警系統(tǒng)單獨使用#時，系統(tǒng)I和II有效的概率分別0.92和0.93，在系統(tǒng)I失靈的條件下，系統(tǒng) II仍有效的概率為0

11、.85，求（1）兩種報警系統(tǒng)I和II都有效的概率；（2） 系統(tǒng)II失靈而系統(tǒng)I有效的概率；3）在系統(tǒng)II失靈的條件下，系統(tǒng)I仍有效的概率。解：令A = “系統(tǒng)（I）有效” ，B = “系統(tǒng)（n）有效” 則 P(A) =0.92, P(B) =0.93, P(B| A) =0.85(1) P(AB) = P(B - AB) = P(B) - P(AB)二P(B) -P(A)P(B | A) =0.93 -(1 -0.92) 0.85 =0.862(2) P(BA) =P(A - AB) =P(A) -P(AB) =0.92 -0.862 =0.058(3)P(A|B)P(AB)P(B)0.058

12、二 0.82861-0.9394.設0 ： P（A） .1，證明事件 A與B獨立的充要條件是P(B| AH P(B | A)證:=A與B獨立，.A與B也獨立。P(B | A) =P(B), P(B | AP(B) P(B| A) =P(B|A)-:0 : P(A) <10 P(A) : 1又 P(B| A)=P(AB)P(A),P(B|A)P(AB)P(A)而由題設 P(B| A)二 P(B| A).P(AB) _ P(AB)P(A) P(A)即1 _P(A)P(AB)二 P(A)P(B) _P(AB).P(AB) = P(A)P(B)，故 A與 B 獨立。5. 設事件A與B相互獨立，兩

13、個事件只有 A發(fā)生的概率與只有 B發(fā)生的概率都 是 1，求 P(A)和 P(B).41解： P(AB) =P(AB) ，又 A與B獨立41.P(AB) = P(A)P(B)二1 _P(A)P(B) =_41P(AB) = P(A)P(B) = P(A)1 _ P(B)42 1.P(A) = P(B), P(A) _P2(A)=-41即 P(A) =P(B廠26. 證明若 P( A)>0， P(B) >0，則有(1) 當A與B獨立時，A與B相容；(2) 當A與B不相容時， A與B不獨立。證明：P(A) 0,P(B) 0(1) 因為A與B獨立，所以P(AB)二 P(A)P(B) 0，A

14、與 B相容。(2) 因為 P(AB) =0，而 P(A)P(B) 0，.P(AB) = P(A)P(B)，A與 B 不獨立。7. 已知事件 A, B, C相互獨立，求證 A B與C也獨立。證明：因為A、B、C相互獨立，P( A B) C=P(AC BC)二 P(AC) P(BC) -P(ABC)=P(A)P(C) P(B)P(C) -P(A)P(B)P(C)-P(A) P(B) _P(AB)P(C)二 P(A B)P(C)A B與C獨立。8. 甲、乙、丙三機床獨立工作，在同一段時間內它們不需要工人照顧的概率分別為0.7，0.8和0.9,求在這段時間內，最多只有一臺機床需要工人照顧的概率。解：令

15、A,A2,A3分別表示甲、乙、丙三機床不需要工人照顧，那么 P(AJ =0.7,P(A2) =0.8,P(A3) =0.9令B表示最多有一臺機床需要工人照顧，那么 P(B)二 P(A1A2A3 a1 a2 a3 a, A2a3 A1A2A3)= p(AAA3)P(Aaa)PSA2A3)PSA2A3)= 0.7 0.8 0.9 0.3 0.8 0.9 0.7 0.2 0.8 0.7 0.8 0.1=0.9029.如果構成系統(tǒng)的每個元件能正常工作的概率為p（0 ： p :：: 1）,（稱為元件的可靠性），假設各元件能否正常工作是相互獨立的，計算下面各系統(tǒng)的可靠性系統(tǒng)IJ1' 2n系統(tǒng)IIn

16、+1 n+22n ”#11解：令A = “系統(tǒng)（I）正常工作”B = “系統(tǒng)（n）正常工作”A - “第i個元件正常工作”，i =1,2，,2nP(AJ 二 P,AiA, A2n 相互獨立。那么P(A)二 P(AiA2 An) (AniAn.2 A?.)= P（AA2代）I P（An.iAn2鶴）1-卩（人人2 血.）n2n2n= P(A) + n P(A)- P(A)i 呂i =b 1i J=2Pn - P2n = Pn (2 _ Pn)P(B)二 P(Ai Ani)(A2 An 2)(An A?.)n=n P(A +AQi=1 n注：利用第7題的方法可以證明（Ai An i）與（Aj An

17、 j） i = j時獨立。"【P(A) P(An i) -P(A)P(AJ i電n-jil 2P -P2 = Pn(2 -P)ni 310. 10張獎券中含有4張中獎的獎券，每人購買1張，求（1）前三人中恰有一人中獎的概率；（2）第二人中獎的概率。解：令Aj二“第i個人中獎”，i =1,2,3（1） P（ A1A2 A3 A1A2A3 Al A2 A3）#1131=P( A A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )P( A A2 A3 )= p(A)P(A21 A)P(A3 |AA) P(Ai)P(A2 |Ai)P(A3l A1A2) P(ai)P(a2|ai)P(a3 IA1A2

18、)4656546451=X X + X： X + X： X：=109 81098109821 2 C4C61或P7C102(2)P(A2P(A1)P(A2 | A1) - P(A1)P(A2 IA1)4 3 6 4 2=x + x =10 9 10 9 511.在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查岀95%的真實患者，但也有可能將 10%的人誤診。根據以往的記錄，每10 000人中有4人患有肝癌,試求:(1)某人經此檢驗法診斷患有肝癌的概率;(2)已知某人經此檢驗法檢驗患有肝癌，而他確實是肝癌患者的概率。解：令B = “被檢驗者患有肝癌”，A二“用該檢驗法診斷被檢驗者患有肝癌”那么

19、，P(A| B) =0.95,P(A| B) =0.10, P(B) =0.0004(1) P(A)二 P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)=0.0004 x 0.95 + 0.9996 x 0.1 = 0.10034(2)P(B|A)P(B)P(A | B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)0.0004 9950.0004 0.95 0.9996 0.1-0.003812 . 一大批產品的優(yōu)質品率為30%，每次任取1件，連續(xù)抽取5次，計算下列事件的概率:i =1P(B。)=1霊)叮Z?0.371(1)取到的5件產品中恰有2件是優(yōu)質品；(2)在取到的5件產品中已發(fā)現有 1

20、件是優(yōu)質品，這 5件中恰有2件是優(yōu)質品 解：令Bi二“5件中有i件優(yōu)質品”，i =0,1,2,3,4,5(1) P(B2)二 c；(0.3)2(0.7)3 =0.3087(2) P(B2 | Bi)二 P(B2|B0)=P(B2b°)15113 .每箱產品有10件，其次品數從 0到2是等可能的。開箱檢驗時，從中任取件，如果檢驗是次品，則認為該箱產品不合格而拒收。假設由于檢驗有誤，1件正品被誤檢是次品的概率是 2%，1件次品被誤判是正品的概率是5%，試計算:(1)抽取的1件產品為正品的概率;(2)解:該箱產品通過驗收的概率。令A-“抽取一件產品為正品”Ai =“箱中有i件次品”，i二0

21、,1,2“該箱產品通過驗收”22 110 _ i(1) P(A) =、 P(A)P(A| AJ0.9i-Q_ i 3 10(2) P(B)二 P0A)P(B| A) P(A)P(B | A)= 0.9 0.98 0.1 0.05 = 0.88714 .假設一廠家生產的儀器，以概率 0.70可以直接岀廠，以概率0.30需進一步調試，經調試后以概率0.80可以岀廠，并以概率0.20定為不合格品不能岀廠?，F該廠新生產了 n(n _2)臺儀器(假設各臺儀器的生產過程相互獨立)，求：(1)全部能出廠的概率；(2) 其中恰有2件不能出廠的概率；(3) 其中至少有 2件不能出廠的概率。解：令A= “儀器需進

22、一步調試”；B= “儀器能出廠”A = “儀器能直接出廠”；AB二“儀器經調試后能出廠”顯然B二A AB，那么 P(A) =0.3, P(B| A) =0.8P(AB)二 PA)P(B | A) = 0.3 0.8 = 0.24所以 P(B) =P(A) P(AB) =0.70.24 =0.94令Bi二“ n件中恰有i件儀器能出廠”，i =0,1，n(1) P(Bn) =(0.94)n(2) P(Bw)二 cT(0.94)n'(0.06)2 二 C：(0.94)z(0.06)21n(3) PC Bk) =1-P(Bn4)-P(Bn) =1-Cn0.06(0.94)-(0.94)15 .

23、進行一系列獨立試驗，每次試驗成功的概率均為p，試求以下事件的概率：(1) 直到第r次才成功；(2) 第r次成功之前恰失敗 k次；(3)在n次中取得r(1乞r空n)次成功;(4)直到第n次才取得r(1 汀乞n)次成功。解:(1)Pr A=P(1 - p)(2)P=Cr kP (1 - p)(3)P二 c；pr(1 p)n(4)P二 cn；pr(1-p)n-16.對飛機進行3次獨立射擊，第一次射擊命中率為0.4，第二次為0.5，第三次為0.7.擊中飛機一次而飛機被擊落的概率為0.2，擊中飛機二次而飛機被擊落的概率為0.6，若被擊中三次，則飛機必被擊落。求射擊三次飛機未被擊落的概率。解：令Ai二“恰

24、有i次擊中飛機”，i =0,1,2,38= “飛機被擊落”顯然：P(A。)二(1 -0.4)(1 -0.5)(1 -0.7) =0.09P(A)=0.4 (1-0.5) (1-0.7) (1-0.4) 0.5 (1-0.7)(1-0.4) (1 - 0.5) 0.7= 0.36P(A2)=0.4 0.5 (1 一 0.7)0.4 (10.5) 0.7(10.4) 0.5 0.7= 0.41P(A3) =0.4 0.5 0.7 =0.14而 P(B|A0)=0，P(B|AJ=0.2，P(B|A2)=0.6，P(B| A3) =1所以3_P(B)二為 P(Ai)P(B | Ai) =0.458 ；

25、 P(B) = 1 - P(B) =1 - 0.458 = 0.542i=Q#習題13解答1.設X為隨機變量，且 P(X = k) = 土( k = 1,2,)，則(1) 判斷上面的式子是否為 X的概率分布；(2) 若是， 試求P(X為偶數)和P(X 3 5).1解：令 P(X=k)=pk, k = 1,2/(1)顯然0乞pk空1，且: :1 1' Pk 八=1k ik 呂 2I - 2所以 P(X =k)=12k,k =1,2,為概率分布。qQ(2)P(X 為偶數)=P2kk£k £1 刁oOoOP(X 一5) =' Pk 二'k =5k=512k

26、1162.設隨機變量 X的概率分布為數C .P(X = k)Ckk!(k = 1,2,)，且 0 ,求常17:k而 e=1 k =o k!:,k解：；、 ce_，=1， 心 k!-&0訂亠二 c 1 _一尹 j = 1，即 c=(1_e®0! 一3.設一次試驗成功的概率為p(0 ： p . 1)，不斷進行重復試驗，直到首次成功為止。用隨機變量 X表示試驗的次數，求 X的概率分布。解：P(X 二 k) = p(1p)k°, k 1,2,4. 設自動生產線在調整以后岀現廢品的概率為p=0.1，當生產過程中岀現廢品時立即進行調整，X代表在兩次調整之間生產的合格品數，試求(

27、1) X的概率分布；(2) P(X5)。解：(1) P(X 二k) =(1 - p)k p =(0.9)k 0.1,k =0,1,2,QOCO(2) P(X -5) P(X =k)二、(0.9)k 0.1 =(0.9)5k =5k=55. 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中有 1個答案是正確的。求某學生靠猜測能答對至少4道題的概率是多少？11解：因為學生靠猜測答對每道題的概率為p = 1,所以這是一個n = 5, p二丄4 4的獨立重復試驗。4 1 435 1 5 3 064P(X"C5(：) 2 5九)6. 為了保證設備正常工作，需要配備適當數量的維修人員。根據經

28、驗每臺設備發(fā) 生故障的概率為 0.01，各臺設備工作情況相互獨立。（1）若由1人負責維修20臺設備，求設備發(fā)生故障后不能及時維修的概率；（2）設有設備100臺，1臺發(fā)生故障由1人處理，問至少需配備多少維修人員，才能保證設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率不超過0.01 ？解:(1) 1 _(0.99)20 -20 0.01 (0.99)19 0.0175 (按 Poisson(泊松)分布近似)(2) n =100, np =100 0.01 =1 (按 Poisson(泊松)分布近似)100 kk100 kP(X _ N 1)=為 C100(0.01) (0.99)N 1100 J J 丁 1漢e

29、k=N 1k!<0.0119查表得N = 47.設隨機變量 X服從參數為的Poisson（泊松）分布，且p（x = 0） = 1，求(1)' ；(2)P(X 1).解:P(X=0)e0!P(X 1) =1 _P(X <1) h -P(X =0) P(X =1)111=1- ln 2（11 n2）2 228. 設書籍上每頁的印刷錯誤的個數X服從Poisson（泊松）分布。經統(tǒng)計發(fā)現在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率。12解：；P（X =1 P（X =2），即一e=21!2!.P（ X =0） = e，2、4-8P

30、= （e ） e9. 在長度為的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數服從參數為的 Poisson分布，而與時間間隔的起點無關（時間以小時計），求（1）某一天從中午 12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；（2）某一天從中午 12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率；9.在長度為t的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數X服從參數為歲的Poisso n（泊松）分布，而與時間間隔的起點無關（時間以小時計）.求（1）某一天從中午 12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；（2）某一天從中午 12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率；解:33廠(1) t =3 ,P(X =0) =e 22“、54(2

31、) t =5 ,P(X _1) =1 _P(X =0) =1 _e 210.已知X的概率分布為：X-2-10123P2a1莎3aaa2a試求(1) a ；(2) Y=X2-1的概率分布。解：1(1) 2a3a a a 2a = 1101.a =10(2)Y-1038P3131105105#試求：（1） t的值；（2） X的概率密度；（3） P（-2：X乞2）.21解：11（1）（ -t） 0.50.5 3 =122t _ -1(2) f (x)二(3) P (一2 Xx -1,0)x 0,3)其它豈 2)= Qx 丄)dx( ：x ：)dx 二三A 2212.設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為#f

32、(x)"si nx,0,0乞x乞a其他解:-bea令 Jf(x)dx = 1，即 Jsinxdx=1皿0a兀二-cosx 0=1，即 cos a = 0, a = 2ji兀2孑J3P(X >) = sin xdx = -cosx |f=6匹i26試確定常數a并求p（x ）.6亠2 4x13.乘以什么常數將使 e變成概率密度函數？bo解：令 .ce"xdx=1：4xJ-)2 1c e 2 e4 dx = 11ce4 廣-11"41c e14.隨機變量X N （亠二），其概率密度函數為上2 _4xf(x)二 1oC試求仁；若已知c f (x)dx f (x)dx

33、，求C .解:1f(x) = e V6H二 3=2x2-4x 4(x-2)2-1 J 3)： _ 2 丁-323-bo若 f(x)dx二f (x)dx，由正態(tài)分布的對稱性c二:可知 C =215.設連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為f(x)其他2x, 0Ex10,以Y表示對X的三次獨立重復試驗中“乞舟”岀現的次數，試求概率P(Y = 2).解：P(X 乞1)= .2xdx 二 H解:(1)0P(Y =2)心(1)2 白4 416.設隨機變量 X服從1,5上的均勻分布，試求 P(x： X : x2).如果：5 ；(2) 1 ： X1 ： 5 ： X2.f(x) = 7，*52 ,1 1(1) x1

34、： 1 ： x2X的概率密度為X2(2)17.P(X : X ：x2)P(x1 : X ：x2)_9_o64其他二；dx = ；(X2-1)15 1 1dx (5 - 禺)x,4設顧客排隊等待服務的時間待服務，若超過10分鐘，他就離開。 內他未等到服務而離開的次數，試求解：X (以分計)服從二1的指數分布。某顧客等5他一個月要去等待服務5次，以丫表示一個月Y的概率分布和 P(Y -1).-b-10P(X -10) =1 -P(X : 10) =1 -1 -e 5 = eP(Y =k)二Cf(e')k(1 -ej5=k =0,1,234,525P(Y -1) =1 -(1 -e ): 0

35、.5167習題14解答1.已知隨機變量X的概率分布為P(X = 1) = 0.2， P(X = 2) = 0.3， P(X =3) =0.5，試求X的分布函數；P(0.5空X < 2)；畫岀F(x)的曲線。解：0,x <10.2,1Ex c2F(x)二；P(0.5 乞 X 乞 2) =0.5'0.5,2蘭x <31,x 一3F(x)曲線：F(x) A>丄 3#2.設連續(xù)型隨機變量 X的分布函數為0, X c 1試求：(1) X的概率分布; 解：(1)0.4,1 乞 x v 1F(x):'0.8,1 蘭 x c31, x 一3(2) P(X ：2| X =

36、1).#X -1 1 3 p 04 04 02(2)P(X :： 2|X -1)=P(X 二 -1)P(X -1)3. 從家到學校的途中有 3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的概率是相互獨立的，且概率均是 0.4，設X為途中遇到紅燈的次數，試求(1)X的概率分布;(2) X的分布函數解：(1)P(X =k) =C：(2)k(3)3=k =0,1,2,35 5列成表格25#X0123p2754368125125125125:0x027(2) F(x)1258112511712514.解:試求習題1.3中第11題X的分布函數,并畫出F (x)的曲線。F(x)01 2x411x22-一 x1211

37、+ 41x25.試求：解:(1)一1 _x : 0x _3x設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為F(x)=丿(1) A, B 的值;A Be-0,(2) P(1 ： X : 1)；x 0x空0(3)概率密度函數f ( X).F( ：) lim (A Be") =1 A =1xJrbc又 lim(A Be'x)= F(O)=O B - -A - -1 xT0卡27(2) P(_1：X ：1) =F(1) _ F(_1)二1 _e，ro _2x八(3) f (x) =F'(x)=叮 二0, x 蘭 06.設X為連續(xù)型隨機變量，其分布函數為#a，F(x) = bx ln x ex

38、 d ,x : 1；1乞x乞e;d,x e.試確定F (x)中的a, b,c,d的值。解：F (-：)= 0 . a =1又.F(二)=1. d =1又 lim (bxln x ex 1) = a = 0 x_1 -又 lim (bxln x - x 1) = d = 1 xe 7.設隨機變量X的概率密度函數為.'r C = 1be-e 1 = 1 即 b = 1f(x) =a，試確定a的值并求F(x)兀(1 + x2)31=1和 P( X :：: 1).解：dx3(1 x )即 旦 arctanx | Tx"id t?)ji''1 1dtarctanx，-二：x ：2 兀P(|X 卜：1) =F(1) -F(-1)1111=( arctan1) arctan(T) = 0.52二2二8.假