正弦定理公式

1、【正弦定理公式】上=2Rsin B sin C【余弦定理公式】cos C =彳護(hù)cos A =2bc2ab如果將公式、正弦定理、余弦定理看成是幾個(gè)“方程”的話，那么解三角形的實(shí)質(zhì)就是把題目中所給的已知條件按方程的思 想進(jìn)行處理，解題時(shí)根據(jù)已知量與所求量， 合理選擇一個(gè)比較容 易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），從而使同學(xué)們?nèi)胧?容易，解題簡(jiǎn)潔。一、直接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦定理（1 ）三角公式在二中，已知兩角丄丄的三角函數(shù)值，求第三個(gè)角存在；二-。證 明 ： 有 解有 解oO <A+B <開<=>0 <A d-B <7T<cosJ4> co

2、s（;r-5）：I . _i .即，要判斷是否有解，只需(2 )正弦定理 在二二T中，已知兩角和任意一邊，解三角形； 在中，已知兩邊和其中一邊對(duì)角，解三角形；(3 )余弦定理 在中，已知三邊，解三角形； 在二二T中，已知兩邊和他們的夾角，解三角形。直接運(yùn)用正弦定理、余弦定理的上述情況，是我們常見、常講、常練的，因此，在這里就不加贅述，同學(xué)們可以自己從教材中找一些題目看一看！二、間接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦定理(1)齊次式條件(邊或角的正弦)若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于角的齊次式或關(guān)于邊的齊次式，可以 根據(jù)角的異同選用公式弦切互化或正弦定理邊角互化；有些題中沒有明顯的齊次式，但經(jīng)過變形得到齊次式的依然適

3、用。1. 相同角齊次式條件的弦切互化【例】在二二T 中，若二一1一一二 J_一一二一川二一 -.，求?！窘馕觥繜o論是條件中的一二.一，還是 二口-一丄-一 -都是關(guān)于一個(gè)角的齊次式。二上_：!'. 一是關(guān)于的一次齊次式； 二一-一是關(guān)于J的二次齊次式。因此，我們將弦化切，再利用三角公式求解。SIH j4sin A-3cosA-0>sm A-3cosA= tan j4 = 3由IL=0亠焯迎B込£ - 2曲養(yǎng)2竺上史邑上蘭空由1sin 5 - sin 5cos-2cos2 5cos7 Bsi?方+2月sin1B +COS1 Ssin * 月一 sin B uos 

4、3; B 、n:= 0=>cos1 B=0tan2 tan 5-2tan* S + l=0 = tar? tan £ 2 = 0 = tan £ = T在二沖，且"*七三二。代值可得:當(dāng)二匸_: ，二上二時(shí)，tanC- = l=>C=45°1-2x3當(dāng)面二3,伽B二-1時(shí)，tan(7 =-3-11-3x(-1)2. 不同角（正弦）齊次式條件的邊角互化【例】 在二中，若 二工二二二二- 二'一，且也丨， 求的面積?！窘馕觥織l件；J'_二二:工：是關(guān)于 不同角正弦的二次齊次式。因此，我們利用正弦定理將角化為邊， 然后根據(jù)邊的關(guān)系利

5、用余弦定理求解。由二 11 二；二 I L/ ：'： 1L/ / L；顯然這個(gè)形式符合余弦定理的公式，因此，可得嚴(yán) a+jab1cos C =-=2ab2ab 2Sijvt = -acsin j4 = -icsin B- absin C 又因?yàn)?'3. 不同邊齊次式條件的邊角互化【例】 丄的內(nèi)角的對(duì)邊分別為和:.。已知/ ；., - c J ，求 _'?！窘馕觥織l件- 是關(guān)于不同邊的一次齊次式。因此，我們利用正弦定理將邊化為角， 然后由二 一一二W 將不同角轉(zhuǎn)化為同角，利用化一公式求解。開開廠 .廠Z=-+C B亠2C由 a+c-2b J + sin C = <2

6、 sin 5，又 2，2 ，可得:U 5sin-+ C+sin C = V2 sin一一2C12丿<2丿cosC+sm C =42cos2C，運(yùn)用化一公式得二龐遇 2Cn2C = U + =>C 二 1尸邊角混合齊次式條件的邊角互化邊角混合邊為齊次式【例】_L的內(nèi)角J- L- 的對(duì)邊分別為，且j cos5-A cos- -c5tan-4求,.二一匸oa coscos= c【解析】條件:是邊角混合一一關(guān)于不同邊的一次齊次式，由于所求為切的值，所以將邊化為角，然后將弦化 為切求解。acos5-icos-(4=-c =>sin -dcosS-sm 5cosj4 = -sin C_

7、宀由，又一33-sin j4cos5 + - cos Asm B55sin cos 5-sin B cosj4= - sin C = - sin (j4 + 5)=55'，sin cos5-sin j4cos5 = -cosj4sui 5 + cosj4sin B =-sin j4cos£ = -cos sin B方tan /二4 tan月=里弓 -4 tan B邊角混合角（正弦）為齊次式【例的內(nèi)角丄丄的對(duì)邊分別為/ -，且九一,sin 川 + sin B =血 _c*in C【解析】條件 "w 一n 是邊角混合一一角（正弦） 為不同角的一次齊次式。因此，我們將角的

8、正弦化為邊，然后根 據(jù)等式形式利用余弦定理求解。sin -r4 + sin £ =-ckin C +a1由于：，一，我們可以得到:'-“，顯然這個(gè)形式符合余弦”護(hù)+，-小邁be 72定理公式，因此，可得。從而得出J 邊角混合邊、角（正弦）都為齊次式【例】_二的內(nèi)角L- /的對(duì)邊分別為-> :.-，且 ：上莎門-廠' :+宀 求?！窘馕觥織l件幾皿八是邊角混合一一邊、角（正弦）各為一次齊次式。因此，我們可以隨意邊角互化，但是 一般將角轉(zhuǎn)化為邊求解。由 2m啟一 J - - ：.v.- <一*、I2 - .丁顯然這個(gè)形式符合余弦定理公式，因此，可得護(hù)+八-護(hù)be

9、1cos A = -=-_i'.-。從而得出.14. 非三角形內(nèi)角正弦但可化為角（正弦）齊次式【例】_ '的內(nèi)角J- L- 的對(duì)邊分別為八，且 m，求證： m 的三邊成等比數(shù)列?！窘馕觥織l件 顯然不是齊次式，并且 角也不全是三角形的內(nèi)角。 因此，首先得把這些角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切?的內(nèi)角，然后再往齊次式化利用正弦定理求解。，只要cos25 + cos5+cos(j4-C)= ll-Ssin1 £ + 6055+003603(7 + 5111 Jsin C= 1將工1變換為二，題中的條件就變成了關(guān)于不同內(nèi)角正弦 的二次齊次式:l-2sirf B- co(j4+ 'Si+

10、 cos?4cosC+sin74sinC=l=>1-28 B- (cosj4cosC-sinsinCj+cosu4cosC+ siiij4siiiC=l=>2sin? B-ZsinlsinCsiri B= sinAinC= ac（2）不同邊的平方關(guān)系（余弦定理）若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于邊的平方關(guān)系或求邊的平方關(guān)系，可 以選用余弦定理邊角互化， 在上面的一些情況中，有利用正弦定 理轉(zhuǎn)化出不同邊的平方關(guān)系，可以作為參考例題?！纠縚 '的內(nèi)角J- L- 的對(duì)邊分別為八，且4疝二丄砂+宀刃亠4，求蟲?！窘馕觥織l件 -1''''-含有不同邊的平方關(guān)系，形

11、式顯然符合余弦定理公式。Sg = -fe1sin=丄x2tecosj4tan Z = 1j4= 45°由''i。（3）存在消不掉的正弦、余弦值（兩定理同時(shí)使用，邊角互化）若題目條件中的條件不是上述情況，且始終含有消不去的內(nèi) 角正弦、余弦，可以同時(shí)使用正弦、余弦定理邊角互化，要么都 化為角（正弦、余弦），要么都化為邊?！纠吭?血C中,已知A>B>C,且蟲=2%二4衛(wèi)+已二8,求0。【解析】 由題目中條件肛2C可得sinj4=sin2Csin-4=2sin CcosC>dt = 2ccosC ,接下來再利用余弦定理可得"2沁cm,又張4,2abC-a ?所以 卜+半-農(nóng)-町（8-?。?4/=>5。