第35課時2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義2012.3.23

1、平面向量的數(shù)量積的平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義物理背景及其含義向量的夾角向量的夾角 兩個非零向量兩個非零向量a 和和b ，作，作 ， ，則，則 叫做向量叫做向量a 和和b 的夾角的夾角aOA bOB AOB)1800( OABab OABba若若 ，a 與與b 同向同向0 OABba若若 ，a 與與b 反向反向180 OABab 若若 ，a 與與b 垂直，垂直，90 ba 記作記作.0,:范圍是是同起點(diǎn)的兩向量必須兩向量的夾角定義注意復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧sF 一個物體在力一個物體在力F 的作用下產(chǎn)生位的作用下產(chǎn)生位移移s，那么力，那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計算？算？其中力其

2、中力F 和位移和位移s 是向量，功是數(shù)量是向量，功是數(shù)量.| s|F|W cos 是是F的方向的方向 與與s的方向的方向 的夾角。的夾角。平面向量數(shù)量積的物理背景平面向量數(shù)量積的物理背景問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。cosSFW| a| bcos ba功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；平面向量的數(shù)量積的定義平面向量的數(shù)量積的定義說明：說明： 已知兩個已知兩個非零非零

3、向量向量a 和和b ，它們的夾角為，它們的夾角為 ，我們把，我們把數(shù)量數(shù)量 叫做叫做a 與與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b ，即即 cos|ba cos|baba （2） a b中間的中間的“ ”在向量的運(yùn)算中不能省略，也不能在向量的運(yùn)算中不能省略，也不能寫寫 成成ab ，ab 表示向量的另一種運(yùn)算（外積）表示向量的另一種運(yùn)算（外積）規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即即 00a（1）問題問題3 3：向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)同向量積的線性運(yùn)算的向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)同向量積的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？結(jié)果有什么不同？實(shí)數(shù)同向量積的實(shí)數(shù)

4、同向量積的線性運(yùn)算的結(jié)果是線性運(yùn)算的結(jié)果是向量向量兩向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，是一個兩向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，是一個數(shù)量數(shù)量問題問題4：影響數(shù)量積大小的因素有哪些？：影響數(shù)量積大小的因素有哪些？a b|a |b |cos這個數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。這個數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。夾角夾角 的范圍的范圍 900 9018090的正負(fù)ba正正負(fù)負(fù)0數(shù)量積符號由數(shù)量積符號由cos 的符號所決定的符號所決定平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)問題問題5 5：設(shè)：設(shè)a與與b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，則，則ab等于多少？等于多少

5、？反之成立嗎？反之成立嗎？ ab ab0問題問題6 6：當(dāng)：當(dāng)a與與b同向時，同向時，ab等于什么？當(dāng)?shù)扔谑裁矗慨?dāng)a與與b反向時，反向時，ab等于什么？特別地，等于什么？特別地，aa等于什么？等于什么？ 當(dāng)當(dāng)a與與b同向時，同向時，abab；當(dāng)當(dāng)a與與b反向時，反向時，abab；aaa2a2或或a .aa. cosbaba 12, 9, 54 2,.ababab 例：已知求與的夾角212abaa bb 例：已知 ， 滿足：=9，求的取值范圍。問題問題7 7：ab與與ab的大小關(guān)系如何？為什么的大小關(guān)系如何？為什么？ abab 問題問題8：對于向量：對于向量a，b，如何求它們的夾角，如何求它們的

6、夾角？ （）（）a b | a | | b |.（）（）ab a b=0 .(判斷兩向量垂直的依據(jù)判斷兩向量垂直的依據(jù))|.2或a aaaa a特別地，特別地，（）當(dāng)（）當(dāng)a與與b同向時，同向時，ab | a | | b |；當(dāng)當(dāng)a與與b反向時，反向時，ab | a | | b |.cos.a bab（）（）平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)向量設(shè)向量a、b為兩非零向量，為兩非零向量，e是與是與b同向的單位向量：同向的單位向量： 例例1 . 1 . 已知已知，當(dāng)，當(dāng)，與與的夾角是的夾角是6060時，分別求時，分別求. .解：當(dāng)時，若與同向，則它們的夾角，cos036118；

7、若與反向，則它們的夾角180，cos18036（-1）18；當(dāng)時，它們的夾角90，；當(dāng)與的夾角是60時，有cos6036219平面向量數(shù)量積的幾何意義平面向量數(shù)量積的幾何意義向量向量a在在b方向上的投影方向上的投影是什么？是什么？ 投影一定是正數(shù)嗎？投影一定是正數(shù)嗎？| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影bOBaOA ，作作，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作作1BB垂直于直線垂直于直線OA，垂足為，垂足為 ，則，則1B 1OB| b | cosOABab 1BacosC說明：說明：（2）投影也是一個數(shù)量，不是向量。）投影也是一個數(shù)量，不是向量。（1）OABab 1BBOAab 1BO

8、ABab )(1B為銳角時，為銳角時，| b | cos0為鈍角時，為鈍角時，| b | cos0為直角時，為直角時，| b | cos=0當(dāng)當(dāng) = 0 時投影為時投影為|b|當(dāng)當(dāng) = 180 時投影為時投影為-|b|.問題問題4 4：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積ab=a| |bcos的幾何意義是什么？的幾何意義是什么？ 數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的模與的模與b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘積，或等于的乘積，或等于b的模與的模與a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘積的乘積. .上的投影為在時）當(dāng)（上的投影為在時）當(dāng)（上的投影為在時）當(dāng)（上的投影為在時）當(dāng)（

9、夾角為與若abbababababa000012041203902301,8| ,4|32024練一練：練一練：類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律：()()()a bb aab ca bcabca ba c 交換律：結(jié)合律：分配律：數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：關(guān)于向量的數(shù)量積運(yùn)算：關(guān)于向量的數(shù)量積運(yùn)算：平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積運(yùn)算律運(yùn)算律數(shù)量積運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律。數(shù)量積運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律。交換律：交換律： abba分配律：分配律：cbcacba )( 思考思考： ab與與ba相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ 思考：思考：對于非零向量對于非零向量a，b，c，(ab)c表示什么意義？表示什么意義？

10、(ab)c與與 a(bc)相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？思考思考：對于向量：對于向量a，b，c，(ab)c表示什么意義？它與表示什么意義？它與acbc相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？問題問題: : 我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些 運(yùn)算運(yùn)算律對向量是否也適用？律對向量是否也適用？ 數(shù)乘結(jié)合律：數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)12 1A1BABOabCc2B1| |cos|cosOBOBab 11| |cosOAa1122| | |cosABABb 如圖可知：如圖可知：111112| |cos|cos|cosOBOAABabab 12|cos|cos

11、|coscabcac b()abca cb c ()abca cb c ()cabc ac b 練習(xí)：練習(xí)：否正確，并說明理由一、判斷下列各命題是3 3若若a 00，a b b = =0，則，則b= =02若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量b ,有有a b01 1若若a = =0，則對任一向量，則對任一向量b ，有，有a b= =04 4若若a b= =0，則，則a b中至少有一個為中至少有一個為05 5若若a0，a b= = b c，則，則a=c6 6若若a b = = a c , ,則則bc, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a= =0 時成立時成立7對任意向量對任意向量 a 有有22|aa 222222 (1) 2(2) ababaa bbababab例 、 對 任 意 向 量 ，是 否 有 以 下 結(jié) 論 ： 3646023 . aba babab例、已知， 與的夾角為，求4 34ababkakbakb例 、已知， 與 不共線， 為何值時，向量與互相垂直？小結(jié)小結(jié)1. 向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它與向量的加向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，也有明顯的物理背景和幾何法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，也有明顯的物理背景和幾何意義，同時還有一系列的運(yùn)算性質(zhì)，但與向量的線性運(yùn)意義，同時還有一系列的運(yùn)算性質(zhì)，但與向量的線性運(yùn)算不同的是，數(shù)量積的