比例邊界有限元優(yōu)缺點(diǎn)及其應(yīng)用

1、m國(guó)科技論袞在線http / cn比例邊界有限元優(yōu)缺點(diǎn)及其應(yīng)用袁軍，李偉清 西南大學(xué)工學(xué)院土木工程系(400716) E-mail: yuaniunfly26 com 摘 要：本文對(duì)近幾年由John P Wolf和Chongmm Song提出來(lái)的一種雖于有限元法(finite element method,簡(jiǎn)稱FEM )的無(wú)需基礎(chǔ)解的邊界有限元計(jì)算方法，即比例邊界有限元法 (scaled boundaiy finite element method,簡(jiǎn)稱SBFEM)的介紹，并對(duì)比例邊界有限元方法同有限 元和邊界有限元分別進(jìn)行比較，對(duì)其相對(duì)與有限元和邊界有限元的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)

2、做了一定的說(shuō) 明，并同時(shí)對(duì)目前該方法的研究應(yīng)用領(lǐng)域有一個(gè)較詳盡的介紹.關(guān)侯詞：比例邊界有限元法，邊界有限元法，有限元法，固體力學(xué)1.引言當(dāng)代，隨著社會(huì)的進(jìn)步，人類在工程領(lǐng)域的設(shè)計(jì)不斷創(chuàng)新，新材料和新技術(shù)的不斷采 用，從而使現(xiàn)代的匸程日益龐人和復(fù)朵，在匚程計(jì)算和設(shè)計(jì)過(guò)程屮計(jì)算炭H益趙人，因此， 計(jì)算的效率和耕確性受到越來(lái)越多的研究音的注意。近年由John P Wolf和Chongmm Song 提出的一種新的半解析方法，比例邊界仃限尤法(別名consistent infinitesimal finite-element cell method)IE越來(lái)越多的引起許多從事連續(xù)固體力學(xué)的研究者的注意

3、，這種方法是一種邊界 仃限尤方法，但是他又基限單元，擁仃仃限元法和邊界仃限尤法共同的優(yōu)點(diǎn)。并II口前已 仃很多研究者使川此方法在動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)方而對(duì)菜吐特別忙J戈的八體問(wèn)題進(jìn)疔了研 究，根據(jù)研究的結(jié)果顯示比例邊界仃限元法相對(duì)仃限尤法和邊界尤法更簡(jiǎn)單，仃效和様確， 得到了比較滿意的計(jì)算結(jié)果。但比例邊界冇限尤法目前依然處在發(fā)展之中，這一方法在結(jié)構(gòu) 丁程的很多領(lǐng)域還未涉及。SBFEM與FEM和BEM的關(guān)系如圖1。圖1 SBFEMbFEM和BE M的關(guān)系示盤圖2.比例邊界有限元方法(SBFEM)比例邊界仃限尤法是-種產(chǎn)限尤法的新的無(wú)基礎(chǔ)解的半解析邊界元素方法。這種 半解析方法能夠把線性問(wèn)題的變處偏微分

4、方程轉(zhuǎn)換成常微分方程。常微分方程能夠沿著徑向 進(jìn)行求解，方程中的系數(shù)可以通過(guò)圓周上的近似冇限單元來(lái)確定。由篇幅，本文只進(jìn)行平 面靜力學(xué)方面比例邊界有限元公式的推導(dǎo)，具體簡(jiǎn)述如卜：2.1靜彈性力學(xué)方程1 -中國(guó)ffiSKiexE線http / cn対J：二維彈性靜力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)變 «）與應(yīng)力Q的關(guān)系如卜:(1)= Lu(x,y)這里Z是線性微分算子。 應(yīng)Jj xfy= x,，表達(dá)如F：(x,y)=2>r(x,)=D£u(x,j)(2)這里Q是彈性矩陣。在沒(méi)何體積力的情況卜，靜彈性力學(xué)的微分方程如卜:Zr7（x,y）=0方程必須在域上的每一點(diǎn)上都得到

5、滿足。(3)2.2比例邊界坐標(biāo)系統(tǒng)在比例邊界有限元方法中,包含有徑向（.）和圓周方向（.）的坐標(biāo)系統(tǒng)如圖2所示,徑 訶幫標(biāo)規(guī)泄在比例屮心（ScalingCentei-）處泄義為冬,啲在邊界I淀義為單位值1関周方 向坐標(biāo)規(guī)泄沿著邊界逆時(shí)針?lè)较虻木嚯x。比例邊界坐標(biāo)系統(tǒng)和Cartesian坐標(biāo)系統(tǒng)關(guān)系如卜:(4-a)(4-b)這里，x（ 和y（是定義在x和y方向邊界變屆的函數(shù)。X和y是以 為變航的函數(shù)。-#-中國(guó)ffiSKiexE線http / cn-#-中國(guó)ffiSKiexE線http / cn（a）閉合邊界（b）不閉合邊界圖2比例邊界坐標(biāo)系統(tǒng)把等式

6、（4）從Cartesian坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為比例邊界坐標(biāo)系統(tǒng)，則表達(dá)式如2 = »（）曇+ 2滬（）?（5）站 f 期這里，bl（）和b2（）是僅由邊界的幾何形狀決定。2.3位移函數(shù)域內(nèi)的任一點(diǎn)的位移可以通過(guò)比例邊界坐標(biāo)系統(tǒng)表達(dá)成如卜形式："（?，）=£ M（）M） = N（）"）（6）1-1等式（6）僅表示在邊界的離散，相對(duì)與冇限尤法，現(xiàn)在的位移能夠沿著比例中心和節(jié) 點(diǎn)的徑向進(jìn)行求解，而形函數(shù)N（帀則通過(guò)周向的節(jié)點(diǎn)間計(jì)算解決。把等式（5）和（6）帶入等式（3）,便得到在比例邊界坐標(biāo)系統(tǒng)的近似應(yīng)力：+ £刃，（）"（§）（?）這

7、里rr礦（） = 0（）N（）這些結(jié)杲可以在虛功原理方程中用來(lái)解決徑向的位移。2.4比例邊界有限元方程利用虛功原理來(lái)推導(dǎo)平衡方程，當(dāng)整個(gè)域從屈J一系列邊界張屆t時(shí)，虛功原理描述如 下：（3sTadV=（T（tds（9）VS在整個(gè)域上進(jìn)行積分及-系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算，虛功原理在卜冽方程成立的情況卜滿足 所有的虛位移：晉盤©帶弋図+國(guó)F-國(guó)©莖非宋©=0（10）這里，系數(shù)矩陣為止i旳加im-1(Ha)E=B2TDBlJdTj-1(Hb)E2-B2TDB2jdrj(He)-1并獨(dú)芷J； , E°t E1和P的積分通過(guò)Gaussian qiiadratiuie）&am

8、p;行估算，等式（10）是無(wú) 鼠綱徑向坐標(biāo).作為獨(dú)立變帚的位移函數(shù)u ）的標(biāo)準(zhǔn)常微分方程。2.5計(jì)算步驟對(duì)J：固定的Eulei'-Cauchy微分方程，等式（10）的答案必定是：皿）=頭加（12）1-1這里，指數(shù)，和向駁 t分別表示徑向比例因子和位移模式函數(shù)，把結(jié)果帶入方 程G）便成為二次型特征問(wèn)題。肌旳-兀 0丫-創(chuàng)-耳9=0（13）-3-中國(guó)酬技論袞在線http / cn這個(gè)方程可以通過(guò)一般數(shù)學(xué)方法，產(chǎn)生8置換方式。這里，n是邊界離散后的節(jié)點(diǎn)數(shù), 也是系數(shù)矩陣的人小。邊界問(wèn)題可以很方便的通過(guò)0W <1來(lái)表示。在邊界域內(nèi)，只要負(fù)實(shí)數(shù) 在比例中 心引起了仃

9、限的位移，節(jié)點(diǎn)子集就可以通過(guò)i確定。對(duì)任何邊界節(jié)點(diǎn)位移,u,積分常數(shù) 是：c=o1riu（14）則位移農(nóng)達(dá)式屯新寫為：“（§,）= "（/7）世姑70（15）1=1應(yīng)力表達(dá)式為：%,）= 口自制*】“囚（初+硏（初血（16）1-1式（1）和（1）分別是在整個(gè)域內(nèi)的位移和應(yīng)力的半解析方法。3 比例邊界有限元法的優(yōu)缺點(diǎn)在結(jié)構(gòu)計(jì)算力學(xué)中，有限元法和邊界元法由F自身的特點(diǎn)彼更有效和廣泛的運(yùn)用并己非 常成熟，仃限元法半前幾乎能夠解決所仃的結(jié)構(gòu)力學(xué)'可題，而邊界元法在-些特別的領(lǐng)域則 更加冇效。冇限尤法在材料屬性和邊界條件I冇較人的靈活性。但這種方法由r-hii的缺陷 而在解決

10、某些問(wèn)題，比如人領(lǐng)域或無(wú)邊界域的動(dòng)力分析，裂縫發(fā)展和比它應(yīng)力集中的問(wèn)題時(shí) 效率很低。仃限尤法的主要缺點(diǎn)是這種方法不得不在整個(gè)計(jì)算域匕進(jìn)行離散，這就降低了 它解決問(wèn)題的效率性。還有，如果采用傳統(tǒng)的單元，有限尤法對(duì)單元的結(jié)杲求解收斂很慢。 由r邊界尤法只需在被研究問(wèn)題的邊界進(jìn)行離散化，所以更適r變彈性問(wèn)題。雖然邊界尤法 同有限元法一樣在域類型方法上*的優(yōu)點(diǎn)，但它需要基礎(chǔ)解來(lái)求解問(wèn)題的控制僥微分方 程，而方程仃時(shí)往往無(wú)解，即使仃解也是罪常的復(fù)雜，并11在求解過(guò)程屮也石耍較高的數(shù)學(xué) 知識(shí)來(lái)處理變砒奇異積分。另外邊界元法不能產(chǎn)生對(duì)稱剛度矩陣，這樣在同時(shí)結(jié)合使用仃限 元法和邊界元法時(shí)便增加了它的復(fù)雜性。為

11、了克服仃限元法和邊界元法的缺點(diǎn)，邊界比例仃 限元法便作為了一種可選擇的方法。比例邊界仃限尤法具冇仃限尤法和邊界仃限元法共同的 優(yōu)點(diǎn)，并避免了后兩苕的缺點(diǎn)。它在復(fù)雜問(wèn)題上與冇限元法常冇的域內(nèi)單調(diào)冗長(zhǎng)的離散工作 相比則顯示出一定的精確性和效率性。SBFEMfj許多特別的屬性為它的應(yīng)用提供明顯的優(yōu) 點(diǎn)。SBFEM能夠精確的處理應(yīng)力奇界性和無(wú)邊界域問(wèn)題，而這兩類問(wèn)題恰恰是有限尤法不 好解決的。另外,由于比例邊界有限元必須要有比例中心,所以對(duì)尸有平行側(cè)面的問(wèn)題由J： 不好確定比例中心而不好求解。SBFEM與FEM和BEM的優(yōu)缺點(diǎn)歸納如卜表1。表1 SBFEM與FEM和BEM的優(yōu)缺點(diǎn)特點(diǎn)FEMBEMSBF

12、EM通過(guò)僅在計(jì)算域邊界進(jìn)行離散來(lái)降低空間維數(shù)，減少數(shù)據(jù)杲和 計(jì)算錯(cuò)誤不是是是不需?；A(chǔ)解，能夠擴(kuò)展用用領(lǐng)域和避免奇異枳分是不是是在建龍無(wú)邊界域（無(wú)限或半無(wú)限）時(shí)徑向條件無(wú)限滿足不是是是在不冋材料自由或|占|定界面上不礙要進(jìn)行離散不是不是是對(duì)F有界介質(zhì)根據(jù)邊界自由度結(jié)果靜力剛度矩陣和質(zhì)最矩陣是不是是對(duì)稱體荷裁在域內(nèi)不需離散便可以執(zhí)行是不是是對(duì)J 無(wú)界介質(zhì)無(wú)假設(shè)的特征頻率是不是是通過(guò)結(jié)構(gòu)離散標(biāo)準(zhǔn)化集成與無(wú)界介質(zhì)仔限單尤自接結(jié)合是不是是無(wú)邊界介質(zhì)里動(dòng)力剛度矩陣和單位沖激響應(yīng)矩陣刈稱是（是）是4比例邊界有限元方法目前的應(yīng)用在當(dāng)代固體力學(xué)和許筋其它的程領(lǐng)域屮，F(xiàn)EM和BEM為了対結(jié)構(gòu)的力學(xué)受力情況進(jìn) 行

13、模擬分析而被廣泛的運(yùn)用,也出現(xiàn)了許多基該方法的商業(yè)應(yīng)用軟件,如ANSYS, ADINA,ABACUS等。mjSBFEMW初是用來(lái)計(jì)算無(wú)邊界介質(zhì)的動(dòng)力剛度矩陣囚，然后John P Wolf和Chongnun Song又使用此方法來(lái)對(duì)各向界性的多材料進(jìn)彳j裂縫的靜力與:分析，接看 他們又捉出了SBFEM在應(yīng)力奇異性問(wèn)題和無(wú)邊界域里比何限尤法更仃效率。山J'-SBFEMJI 仃對(duì)稱剛度矩陣和質(zhì)駁矩陣，根據(jù)這-與仃限尤法和同的性質(zhì)，Yan etal開始通過(guò)SBFEM 和FEM的結(jié)介對(duì)土壤結(jié)構(gòu)界而進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。IP Doherty和A J. Deeks也結(jié)合使用FEM和 SBFEM兩種方法在分

14、析彈燃性無(wú)邊界介質(zhì)時(shí)獲得了較高精度的結(jié)果和較快的計(jì)算速率。 Steven R Chidgzey和Andi'ew .T Deeks利用SBFEM來(lái)求解線彈性裂縫尖端附近領(lǐng)域的 Williams擴(kuò)展系數(shù)，包括應(yīng)力密度因子，T-W力，計(jì)算結(jié)果表明該方法在許多問(wèn)題卜是有效的。 人連理工大學(xué)中國(guó)科學(xué)院院I：林皋和他的博士生杜建國(guó)將比例邊界有限元法應(yīng)用于壩-庫(kù)水 相互作用分析，在庫(kù)水不町壓縮假泄的就提卜推導(dǎo)了壩面動(dòng)水壓力與附加質(zhì)磺矩陣的妹本方 程。二維重力壩和三維拱壩壩面動(dòng)水壓力的算例表明，與有限元法比較,SBFEM計(jì)算粘度明顯 提高，同時(shí)宙J J Wf降維的待點(diǎn)，也降低了計(jì)算工作吊®。

15、JL Wegner, MM Yao和X Zhang 對(duì)動(dòng)力波土壤結(jié)構(gòu)界血利用比例邊界仃限元方法在時(shí)間域上進(jìn)行了分析研究，數(shù)f/iil 5ZW 出了正確的結(jié)果。為了克服比例邊界冇限尤不能解決擁冇平行側(cè)面域問(wèn)題的固仃缺點(diǎn)，最 近由 Boning Li, Liang Cheng, Andrew J Deeks 和 Bin Teng 提出了 一，種改進(jìn)了的比例邊界仃 限元方法來(lái)克服苴解決問(wèn)題時(shí)的不足岡叨。由此可見(jiàn)，SBFEMH前主耍的研究應(yīng)用領(lǐng)域是 解決如土壤與結(jié)構(gòu)的交互作用，斷裂力學(xué)等方面的問(wèn)題。5 總結(jié)本文通過(guò)對(duì)目前針對(duì)連續(xù)力學(xué)問(wèn)題的-種新的數(shù)值計(jì)算方法：比例邊界仃限元法的介 紹，并利用該方法在平

16、面那力學(xué)方而進(jìn)行了位移和應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)，然后通過(guò)與冇限尤 法和邊界尤法進(jìn)行了比較，指出了這種新的方法的在計(jì)算上的優(yōu)點(diǎn)以及其本身固有的缺點(diǎn)。 接看乂介紹了比例邊界何限尤法H前的應(yīng)用情況以及其發(fā)展情況，從而確信該方法今后在土 壤與結(jié)構(gòu)的交互作用，斷裂力學(xué)以及其他領(lǐng)域?qū)?huì)有很好的發(fā)展。參考文獻(xiàn)1 WOLF J P The scaled boundary finite-element method M Wiley, ClnChester, 2003) WOLF J R SONG Chong-min Fimte-Element Modelling of Unbounded Media M New Y

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