高三數學第一輪復習：統(tǒng)計（二）（理）人教實驗版（B）

1、高三數學第一輪復習：統(tǒng)計（二）（理）人教實驗版（B）【本講教育信息】一. 教學內容： 高三復習專題：統(tǒng)計（二）二. 考綱要求（1）變量的相關性 會作兩個有關聯(lián)變量數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系 了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程（2）統(tǒng)計案例：了解下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題 獨立檢驗：了解獨立性檢驗（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡單應用 回歸分析：了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用三. 知識分析【知識梳理】（一）變量的相關性1、變量與變量之間的關系常見的有兩類：一類是確定的函數關系；另一類

2、是變量間確實存在關系，但又不具備函數關系所要求的確定性，它們的關系是帶有隨機性的2、如果一個變量的值由小變大，另一個變量的值也由小變大，這種相關稱為正相關，如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關稱為負相關。3、在平面直角坐標系中，用描點的方法得到具有相關關系的兩個變量的圖形叫散點圖4、回歸直線方程，其中。（二）統(tǒng)計案例1、當時，有95%的把握說事件A與B有關；當時，有99%的把握說事件A與B有關；當時，認為事件A與B是無關的。2、，其中，則直線就成為此直線的線性回歸方程，其中分別為a，b的估計值。 3、相關系數，用它來衡量兩個變量之間的線性相關程度。r具有如下性質：（1）

3、；（2）越接近于1，的線性相關程度越強；（3）越接近于0，的線性相關程度越弱對r進行顯著性檢驗的步驟：（1）提出統(tǒng)計假設：變量x，y不具有線性相關關系；（2）如果有95%的把握作出推斷，那么可以根據10.95 = 0.05與n2在數學23（選修）附錄2中查出一個r的臨界值（其中10.950.05稱為檢驗水平）；（3）計算樣本相關系數r；（4）作出統(tǒng)計推斷：若，則否定，表明有95%的把握認為x與y之間具有線性相關關系；若，則沒有理由拒絕原來的假設，即就自前數據而言，沒有充分理由認為y與x之間有線性相關關系【要點解析】（一）變量的相關性1、對相關關系的理解應當注意以下兩點：（1）相關關系是非隨機變

4、量與隨機變量之間的關系而函數關系可以看成是兩個非隨機變量之間的關系因此，不能把相關關系等同于函數關系（2）函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系例如，有人發(fā)現，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強的相關關系然而，學會新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個因素年齡當兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高，而且由于長大，腳也變大2、在分析兩個變量的相關關系時，可根據樣本數據散點圖確定兩個變量之間是否存在相關關系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程3、求線性回歸方程的關鍵是求回歸系數a和b，其中回歸系數b可借助于計算器完成，因為，即，所以點（）一定滿足線性回歸方程，即回歸直

5、線一定過點（）4、求線性回歸方程的步驟（1）先把數據制成表，從表中計算出，的值：（2）計算回歸系數；（3）寫出線性回歸方程。（二）統(tǒng)計案例 1、分析兩個變量相關關系的常用方法（1）利用散點圖進行判斷：把樣本數據表示的點在平面直角坐標系中作出，從而得到散點圖，如果這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關關系（2）利用相關系數r來判斷：而且越接近于1，相關程度越大；越接近于0，相關程度越小2、對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析時，首先進行相關性檢驗，在確認具有線性相關關系后，再求回歸直線方程3、獨立性檢驗的一般步驟（1）根據樣本數據制成2×2列聯(lián)

6、表（2）根據公式，計算的值（3）比較與臨界值的大小關系作統(tǒng)計推斷【典型例題】例1. 下列關系中，帶有隨機性相關關系的是（ ） 正方形的邊長與面積之間的關系； 水稻產量與施肥之間的關系； 人的身高與年齡之間的關系； 降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系解析：兩變量之間的關系有兩種：函數關系與帶有隨機性的相關關系 正方形的邊長與面積之間的關系是函數關系 水稻產量與施肥之間不是嚴格的函數關系，但是具有相關性，因而是相關關系人的身高與年齡之間的關系既不是函數關系，也不是相關關系，因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具有相關關系降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關關系答案： 例2.

7、假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元）有如下的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對x呈線性相關關系。試求：（1）線性回歸方程的回歸系數；（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？解析：（1）制表如下：12345合計23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.34916253690;于是有；。（2）回歸直線方程為，當年時，（萬元）。即估計使用10年時，維修費用是12.38萬元。 例3. 在某種產品表面進行腐蝕刻線試驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x之間相應的一組觀察值如下表：x(s)

8、5101520304050607090120y()610101316171923252946（1）畫出表中數據的散點圖；（2）求y對x的回歸直線方程；（3）試預測腐蝕時間為100s時腐蝕深度是多少？分析：（1）將表中的各對數據在平面直角坐標系中描點，便得到具有相關關系的兩個變量的一組數據的圖形，即得散點圖；（2）按求線性回歸方程的步驟和公式，寫出線性回歸方程；（3）利用回歸方程分析。解析：（1）散點圖如圖：（2）根據公式求腐蝕深度y對腐蝕時間x的回歸直線方程的步驟如下：先把數據列成表：1562536302101010010010031510225100150420134001692605301

9、6900256480640171600289680750192500361950860233600529138097025490062517501090298100841261011120461440021165520合計51021436750542213910計算的值。由上表分別計算平均數得，代入公式得（注意：不必把化為小數，以減小誤差。）寫出回歸直線方程。腐蝕深度y對腐蝕時間x的回歸直線方程為，這里的回歸系數，它的意義是：腐蝕時間x每增加一個單位（s），深度y增加0.304個單位（）。（3）根據上面求得的回歸直線方程，當腐蝕時間為100s時，即腐蝕深度大約是。 例4. 對196個接受心臟搭

10、橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研究，調查他們是否又發(fā)作過心臟病，調查結果如下表所示：又發(fā)作過心臟病未發(fā)作心臟病合計心臟搭橋手術39157196血管清障手術29167196合計68324392試根據上述數據比較這兩種手術對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別。解析：假設做過心臟搭橋手術與又發(fā)作心臟病沒有關系。由于，由公式可得的觀測值為因為， 例5. 一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗測得的數據如下：（1）y與x是否具有相關關系？（2）如果y與x具有相關關系，求回歸直線方程。（3）根據求出的回歸直線方程，預測加工200個零件所用的

11、時間為多少？解析：（1）列出下表1234567891010203040506070809010062687581899510210811512262013602250324044505700714086401035012200，由于，因此x與y之間有很強的線性相關關系，因而可求回歸直線方程。（2）設所求的回歸直線方程為，則有，【模擬試題】 1. 為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩位同學各自獨立作了10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為、，已知兩人所得的試驗數據中，變量x和y的數據的平均值都相等，且分別都是。那么下列說法正確的是（ ）A. 直線和一定有公共點（

12、）B. 直線和相交，但交點不一定是C. 必有D. 必定重合 2. 由一組樣本數據得到的回歸直線方程為，那么下面說法不正確的是（ ）A. 直線一定過點B. 直線至少經過點中的一點C. 直線的斜率為D. 直線和各點的偏差是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的直線3. 在研究吸煙與患肺癌的關系中，通過收集數據、整理分析數據得“吸煙與患肺癌有關”的結論，并且有99以上的把握認為這個結論是成立的，下列說法中正確的是（ ）A. 100個吸煙者中至少有99人患有肺癌B. 1個人吸煙，那么這個人有99 % 的概率患有肺癌C. 在100個吸煙者中一定有患肺癌的人 D. 在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人

13、也沒有4. 經過對的統(tǒng)計量的研究，得到了若干個臨界值，當2. 706時，我們認為事件A與B（ ）A. 有95的把握認為A與B有關 B. 有99%的把握認為A與B有關系C. 沒有充分理由說明事件A與B有關系 D. 不能確定 5. 考察黃煙經過培養(yǎng)液處理與否跟發(fā)生青花病的關系。調查了457株黃煙，得到下表中數據。培養(yǎng)液處理未處理合計青花病25210235無青花病80142222合計105352457根據表中數據可知（ ）A. 40.682B. 31.64C. 45.331D. 41.61 6. 在研究某種新藥對雞瘟的防治效果問題時，得到了以下數據：活雞數死亡數合計新措施13218150對照1153

14、5150合計24753300以下結論正確的是（ ）A. 我們有95%的把握認為新措施防治雞瘟有效B. 我們沒有充足的理由認為新措施防治雞瘟有效C. 我們有99%的把握認為新措施防治雞瘟有效D. 我們有95%的把握認為新措施防治雞瘟無效 7. 觀察兩個相關變量的如下數據：5432154.12.92.10.9則兩個變量間的回歸直線方程為（ ）A. B. C. D. 8. 調查某醫(yī)院某段時間內嬰兒出生的時間與性別的關系，得出下面的數據表A. 密切相關B. 沒有必然的關系C. 有關系的概率為50%D. 有關系的概率為95% 9. 某地區(qū)某種病的發(fā)病人數呈上升趨勢統(tǒng)計近四年這種病的新發(fā)病人數的線性回歸分

15、析如下表所示：如果不加控制，仍按這個趨勢發(fā)展下去，請預測從2007年初到2010年底的四年時間里，該地區(qū)這種病的新發(fā)病人數約為 _。年份（）該年新發(fā)病人數（）20032400200424912005258620062684， 10. 下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調查表：據表中數據我們可得出的統(tǒng)計分析推斷是_。 11. 下面是兩個變量的一組數據：123456781491625364964則x與y兩個變量之間的回歸直線方程為_。 12. 每立方米混凝土的水泥用量x（單位：kg）與28天后混凝土的抗壓強度（單位：）之間的關系有如下數據：15016017018019020021022023024

16、025026056.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7（1）畫出散點圖；（2）如果y與x之間具有線性相關關系，求回歸直線方程；（3）如果兩種用量下的抗壓強度相差12.5，則水泥用量相差多少？ 13. 關于兩個變量x和y的一組數據如下表所示：21232527293235711212466115325試判斷x與y之間是否有線性相關關系？ 14. 假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料如下表所示。使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料知，y對x呈線性相關關系，試求： （1）線性回歸

17、方程的回歸系數、；（2）求殘差平方和；（3）求相關指數；（4）估計使用年限時，維修費用是多少？【試題答案】 1. 解析：由線性回歸方程得直線經過定點（x,y），故選A。答案：A 2. 解析：回歸直線方程的得出與此直線是否過中的點無關，故選B。答案：B 3. 解析：本題主要考查對獨立性檢驗的結果與實際問題的差異的理解，獨立性檢驗的結論是一個數學統(tǒng)計量，它與實際問題中的問題的確定性是存在差異的。故選擇D。答案：D 4. 答案：C 5. 解析：根據公式。答案：D 6. 解析：。因為，所以有95%的把握認為新措施對防治雞瘟有效。答案：A 7. 解析：本題主要考查回歸直線方程經過樣本點的中心（），因此只需求即可。答案：B 8. 解析：由公式得。因為，所以嬰兒的性別與出生時間沒有關系。答案：B 9. 答案：11676 10. 解析：由已知。由于，說明該地區(qū)的傳染病與飲用不干凈水是有關的。答案：該地區(qū)的傳染病與飲用不干凈水是有關的。 11. 解析：根據表中的數據，可以計算出有關數據，列成下表：序號111112244833992744161664552525125663636216774949343886464512362042041296