長沙理工大學線性代數(shù)考試試卷及答案

1、長沙理工大學二手貨QQ交易群146 808 417長沙理工大學模擬考試試卷 試卷編號 1 擬題教研室（或教師）簽名 教研室主任簽名    課程名稱（含檔次） 線性代數(shù) 課程代號 0701011  專 業(yè) 全校各專業(yè) 層次（本、專） 本科 考試方式（開、閉卷） 閉卷  一、判斷題（正確答案填,錯誤答案填×。每小題2分，共10分）1.設階方陣可逆且滿足，則必有 （ ）2.設是的解，則是的解 （ ）3.若矩陣的列向量組線性相關，則矩陣的行向量組不一定線性相關 （ ）4.設表示向量的長度，則 （ ）5.設是的解，則是的解 （ ）二、

2、填空題：(每小題5分，共20分)1.計算行列式 ；2.若為的解，則或必為 的解；3.設n維向量組，當時，一定線性 ，含有零向量的向量組一定線性 ；長沙理工大學二手貨QQ交易群146 808 4174.設三階方陣有3個特征值2，1，-2，則的特征值為 ；三、計算題（每小題10分，共60分）1.；     第 1 頁（共 2 頁）2.若線性方程組有解，問常數(shù)應滿足的條件？3.設是方程組的解向量，若也是的解，則 ；4.求齊次線性方程組的基礎解系；5.已知矩陣與矩陣相似，求的值；6.設為正定二次型，求.四、證明題（10分）：設向量組線性無關，長沙理工大學二手貨Q

3、Q交易群146 808 417證明線性無關。 長沙理工大學模擬試卷標準答案 課程名稱： 線性代數(shù) 試卷編號：1  一、判斷題（正確答案填,錯誤答案填×。每小題2分，共10分）1，× 2，× 3， 4, × 5,  二、填空題：(每小題5分，共20分)1，42；2，；3，相關，相關；4，4，1，4.三、計算題（每小題10分，共60分）1.=5 （5分）=55 （5分）2. （2分） （5分） 若有解，則A的秩與的秩相等，即。 （3分） 3.（6分） (1) 當時，矩陣的秩為2； （2分） (2) 當時，矩陣的秩為3.

4、 （2分）    第 1 頁（共 3 頁）4.對系數(shù)矩陣作作初等行變換得同解方程組 令 ，； 得 ，基礎解系為：5.解：與相似， 特征多項式相同，即 亦即 6.解：的矩陣為 為正定二次型， 的各階主子式大于0 即 0， 0 0 第 2 頁（共 3 頁）解聯(lián)立不等式組 0 或 0 或 0 0 即當 0時，為正定二次型四、證明題（10分）：證明：設存在一組數(shù)使得，（3分）又向量組線性無關，因此，（7分）由此可知，只有當時，等式才成立，即向量組線性無關。（10分）        &

5、#160;  第 3 頁（共 3 頁）長沙理工大學模擬考試試卷試卷編號 2 擬題教研室（或教師）簽名 教研室主任簽名 課程名稱（含檔次）線性代數(shù) 課程代號 專 業(yè) 層次（本、專） 考試方式（開、閉卷） 閉卷 一、判斷題：(正確填,錯誤填×. 每小題分，共10分)1.是階矩陣，則；（ ）2.若均為階矩陣，則；（ ）3.向量組線性相關，則至少含有一個零向量；（ ）4.若是齊次線性方程組的兩個線性無關解向量，則不是的解； （ ）5.設為階矩陣，則與具有相同的特征向量。（ ）二、填空題：(每小題5分，共20分)1.若行列式，則 ；2. ；3.設向量組T：，若T線性相關，則

6、秩T m；若T線性無關，則秩T m;4.如果三階矩陣對應于特征值的特征向量為，令，則 。三、計算題：(每小題10分，共60分)       第 1 頁（共 2 頁）1.； 2.計算 ；3.設,若線性方程組無解,則 ；4.求解非齊次線性方程組:；5.設3階矩陣的特征值為對應的特征向量依次為求；6.用配方法化二次型為標準形，并求所用的可逆變換矩陣 四、證明題：(10分)設為階矩陣，且為對稱矩陣，證明也是對稱矩陣.          

7、;     第 2 頁（共 2 頁） 長沙理工大學模擬試卷標準答案 課程名稱： 線性代數(shù) 試卷編號：2 一、判斷題（每小題2分，共10分）1，2，3，×，4，×，5，；二、填空題：(每小題5分，共20分)1，；2，；3，；4，三、計算題（每小題10分，共60分）1. （4分）；（10分）2. （2分） ,可逆 （5分） （8分） （10分） 3.解 （5分） （7分）第 1 頁（共 3 頁）通解為 4.（5分）當時， 向量組線性相關. （10分）5. 解 令，可逆 （4分） （6分） （10分）6.解：= （4分）

8、令, 即 （6分）則原二次型化為標準形 （8分）可逆變換矩陣  第 2 頁（共 3 頁） （10分）四、證明題：（10分）證明：因為 （8分）所以也是對稱矩陣。 （10分）     第 3 頁（共 3 頁） 長沙理工大學模擬考試試卷 試卷編號 3 擬題教研室（或教師）簽名 教研室主任簽名 課程名稱（含檔次） 線性代數(shù) 課程代號 專 業(yè) 層次（本、專） 考試方式（開、閉卷） 閉卷 一、判斷題：(正確填,錯誤填×. 每小題分，共10分) 1.若五階方陣的行列式 的行列式 ，則 ；（ ） 2.設 為 階方陣， 為 階單位

9、陣，則 ；（ ） 3.若向量 不能用向量 表示，則 線性無關；（ ） 4.任何一個齊次線性方程組都有解；（ ） 5.若 均為 階正交矩陣，則 也必為正交矩陣。（ ） 二、填空題：(每小題5分，共20分) 1.若 階方陣 中有一列向量是其余列向量的線性組合，則 ； 2.若有 階可逆矩陣 ，則 可逆， 的逆矩陣為 ； 3.齊次線性方程組 的基礎解系中的解向量一定線性 ； 4.設 則 由 表示是為 = 。 三、計算題：(每小題10分，共60分) 1. ； 2.設 ，求 ； 3.已知三階方陣 且 的每一個列向量都是 的解，1）求 的值，2）求 ；       第 1 頁（

10、共 2 頁） 4.求矩陣 的行向量組的一個最大無關組； 5.設三階矩陣 的特征值為 ，對應的特征向量為 ，求 ； 6.寫出二次型 的矩陣 ，并判斷 是否為正定。 四、證明題：(10分) 若 線性無關，試證 也線性無關。  長沙理工大學模擬試卷標準答案 課程名稱： 線性代數(shù) 試卷編號：3 一，判斷題（每小題2分，共10分）1，2，3，×， 4，5，×；二：填空題：(每小題5分，共20分)1，0；2，；3，無關；4，；三：計算題（每小題10分，共60分）1，（3分）；（10分）2，（3分）（3分）；（4分）3，（1）根據已知，可知方程組有非零解，則系數(shù)行列式；（6分）（2）因為已知齊次方程組有非零解，則解空間的維數(shù)，所以；（4分）4，（6分）因此第一列與第二列是一個最大無關組；（10分）5，根據已知存在矩陣，使得，（4分）     第 1 頁（共 2 頁） 所以（8分）（10分）6，（5分）因為，（9分）因此既非正定也非負定；（10分）四：證明題：（10分