第三章正態(tài)分布.

1、第三章正態(tài)分布一、教學大綱要求（一）掌握內(nèi)容1. 正態(tài)分布的概念和特征（1）正態(tài)分布的概念和兩個參數(shù)；（2）正態(tài)曲線下面積分布規(guī)律。2 .標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的概念和標準化變換。3 .正態(tài)分布的應(yīng)用（1）估計頻數(shù)分布；（2）制定參考值范圍。（二）熟悉內(nèi)容標準正態(tài)分布表。（三）了解內(nèi)容1 利用正態(tài)分布進行質(zhì)量控制2 .正態(tài)分布是許多統(tǒng)計方法的基礎(chǔ)、教學內(nèi)容精要（一）正態(tài)分布1. 正態(tài)分布 若X的密度函數(shù)（頻率曲線）為正態(tài)函數(shù)（曲線）14X -J2 （2;/）f （X） _ e:： X ： ：（3-1匚 2二則稱X服從正態(tài)分布，記號 XN（；2）。其中、匚是兩個不確定常數(shù)，是正態(tài)分布的 參數(shù)，

2、不同的 、不同的二對應(yīng)不同的正態(tài)分布。正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫軸間的面積總等于1。2 .正態(tài)分布的特征服從正態(tài)分布的變量的頻數(shù)分布由J、二完全決定。（1） L是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢位置。正態(tài)分布以X =1為對稱軸，左右完全對稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相冋，均等于卩。（2）二描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度，-越大,數(shù)據(jù)分布越分散，-越小，數(shù)據(jù)分布越集中。二也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，匚越大，曲線越扁平，反之，匚越小，曲線越瘦咼。（二）標準正態(tài)分布1 .標準正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布，標準正態(tài)分布的"-0,二2 =1 ，通常用u

3、（或Z）表示服從標準正態(tài)分布的變量，記為UN （0 , 12 ）。X _ 422 標準化變換：u，此變換有特性：若 X服從正態(tài)分布 N（ J匚2），則u就服a從標準正態(tài)分布，故該變換被稱為標準化變換。3. 標準正態(tài)分布表標準正態(tài)分布表中列出了標準正態(tài)曲線下從-8到u范圍內(nèi)的面積比例：G（u）。（三）正態(tài)曲線下面積分布1 實際工作中，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分比， 或變量值落在該區(qū)間的概率（概率分布）。不同（XX2）范圍內(nèi)正態(tài)曲線下的面積可用公式3-2計算。X2X1其中,1侖_2(2；2). - 2 二X2u2-dx=（u2）”（Ui）(3-2)CT2. 幾個重

4、要的面積比例1。正態(tài)曲線下，橫軸區(qū)間內(nèi)的面積為68.27% ,X軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于橫軸區(qū)間 _1.64；內(nèi)的面積為90.00%，橫軸區(qū)間 _1.96二內(nèi)的面積為95.00%，橫軸區(qū)間 '二2.58二內(nèi)的面積為 99.00%。（四）正態(tài)分布的應(yīng)用某些醫(yī)學現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實驗中的隨機誤差， 呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標（變量）雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新變量 可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指 標，被稱為服從對數(shù)正態(tài)分布。1. 估計頻數(shù)分布一個服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標準差就可根

5、據(jù)公式（3-2）估計任意取值（XjX?）范圍內(nèi)頻數(shù)比例。2. 制定參考值范圍態(tài)分布的指標。（2）百分位數(shù)法（1）正態(tài)分布法適用于服從正態(tài)（或近似正態(tài)）分布指標以及可以通過轉(zhuǎn)換后服從正常用于偏態(tài)分布的指標。表3-1中兩種方法的單雙側(cè)界值都應(yīng)熟練掌握。表3-1常用參考值范圍的制定概率（%）正態(tài)分布法百分位數(shù)法雙側(cè)單側(cè)雙側(cè)單側(cè)下限上限下限上限90X -1.64SX-1.28SX 1.28SP5 P95Pf095X -1.96SX-1.64SX 1.64SP2.5 F97.5P599X -2.58SX-2.33SX 2.33SRd.5 P99.5RFU3. 質(zhì)量控制：為了控制實驗中的測量（或?qū)嶒灒┱`差

6、，常以X _2S作為上、下警戒值,以X -3S作為上、下控制值。這樣做的依據(jù)是：正常情況下測量（或?qū)嶒灒┱`差服從正態(tài)分布。4. 正態(tài)分布是許多統(tǒng)計方法的理論基礎(chǔ)。t檢驗、方差分析、相關(guān)和回歸分析等多種統(tǒng)計方法均要求分析的指標服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計方法雖然不要求分析指標服從正態(tài)分布， 但相應(yīng)的統(tǒng)計量在大樣本時近似正態(tài)分布，因而大樣本時這些統(tǒng)計推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎(chǔ)的。三、典型試題分析1. 正態(tài)曲線下、橫軸上，從均數(shù)到：的面積為()A . 95% B . 50% C . 97.5% D .不能確定(與標準差的大小有關(guān)) 答案：B評析本題考點：正態(tài)分布的對稱性因為無論，二取什么值，正態(tài)曲線

7、與橫軸間的面積總等于1,又正態(tài)曲線以 X -為對稱軸呈對稱分布，所以左右兩側(cè)面積相等，各為50%2 .若X服從以，二為均數(shù)和標準差的正態(tài)分布，則X的第95百分位數(shù)等于()。A .-1.64二 B . 亠【1.64二C .-:卜 1.96二 D . ： 2.58r答案：B評析本題考點：正態(tài)分布的對稱性和面積分布規(guī)律正態(tài)分布曲線下 _1.64二范圍內(nèi)面積占90%則_1.64匚外的面積為10%又據(jù)正態(tài) 分布的對稱性得，曲線下橫軸上小于等于1.64二范圍的面積為95%故X的第95百分位數(shù)等于卩+1.64。3 .若正常成人的血鉛含量 X近似服從對數(shù)正態(tài)分布，擬用300名正常人血鉛值確定 99%參考值范圍

8、，最好采用公式(A. X -2.58SC. log(Y _2.58瓦)答案：D) 計算。(其中Y=logX)B. X 2.33SD. log(Y 2.33Sy)評析本題考點：對數(shù)正態(tài)分布資料應(yīng)用正態(tài)分布法制定參考值范圍根據(jù)題意，正常成人的血鉛含量X近似對數(shù)正態(tài)分布，則變量 X經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后所得新變量Y應(yīng)近似服從正態(tài)分布，因此可以應(yīng)用正態(tài)分布法估計Y的99%參考值范圍，再求反對數(shù)即得正常成人血鉛含量X的99%參考值范圍。因血鉛含量僅過大為異常，故相應(yīng)的參考值范圍應(yīng)是只有上限的單側(cè)范圍。正態(tài)分布法99%范圍單側(cè)上限值是均數(shù) +2.33倍標準差。4. 正常成年男子紅細胞計數(shù)近似正態(tài)分布，95%參考值范

9、圍為3.605.84 ( 1012/ L)。若一名成年男子測得紅細胞計數(shù)為3.10 ( 1012/L)，則醫(yī)生判斷該男子一定有病。評析本題考點：參考值范圍的涵義該成年男子不一定有病。因為參考值范圍是指絕大多數(shù)正常人的指標值范圍，故不在此范圍內(nèi)的對象也可能是正常人。5. 假定正常成年女性紅細胞數(shù)(1012/L)近似服從均值為4.18，標準差為0.29的正態(tài)分布。令X代表隨機抽取的一名正常成年女性的紅細胞數(shù)，求：(1) 變量X落在區(qū)間(4.00, 4.50 )內(nèi)的概率；(2) 正常成年女性的紅細胞數(shù)95%參考值范圍。評析本題考點：正態(tài)分布的應(yīng)用(1)根據(jù)題意，變量 X近似服從正態(tài)分布，求變量 X落

10、在區(qū)間(4.00 , 4.50 )內(nèi)的概率，即是求此區(qū)間內(nèi)正態(tài)曲線下的面積問題，因此，可以把變量X進行標準化變換后，借助標準正態(tài)分布表求其面積，具體做法如下：4.004.18 X卩 4.50 4.18P(4.00 ： X :：: 4.50H P()0.29er0.29=P(0.62 ： u < 1.10)=1 G(1.10) G(0.62)= 0.5967變量X落在區(qū)間(4.00,4.50)內(nèi)的概率為 0.5967。(2)問題屬于求某個指標的參考值范圍問題，因為正常成年女性紅細胞數(shù)近似服從正態(tài)分布，可以直接用正態(tài)分布法求參考值范圍，又因該指標過高、過低都不正常，所以應(yīng)求雙側(cè)參考值范圍，具

11、體做法如下：下限為： X_1.96：； =4.18 1.96(0.29) =3.61( 1012 /L)上限為：X 1.96：； =4.18 1.96(0.29) =4.75( 1012/L)95%的正常成年女性紅細胞數(shù)所在的范圍是3.61 4.75( 1012 /L)。6. 調(diào)查得成都市1979年996名女學生月經(jīng)初潮年齡的分布如下，本資料宜用何法確定其雙側(cè)99%參考值范圍？試估計之。年歲1011121314151617181920 合計人數(shù) 7 44 153 244 269 1916116812996累計頻率 % 0.7 5.1 20.5 45.0 72.0 91.2 97.3 98.9

12、99.7 99.8 100.0評析本題考點：參考值范圍的制定解：本題所給資料明顯屬于偏態(tài)分布資料，所以宜用百分位數(shù)法估計其參考值范圍。又因此指標過大、過小均屬異常，故此參考值范圍應(yīng)是雙側(cè)范圍。(1) 求P0.5首先要找到第0.5百分位數(shù)所在組，根據(jù)累計頻率第0.5百分位數(shù)在第1組,因此得二 fL =0, LX =10 , f X =7, iX =11代入第二章百分位數(shù)的計算公式得： =10+專(4.98 0)=10.71 (歲)(2) 求P95.5 先求第95.5百分位數(shù)所在組為“ 18”組，因此得' fL =985, Lx =18 , fx=8, ix=11代入計算公式得：P95.5

13、 =18+$ (991.02 -985)=18.25 (歲)成都市女學生月經(jīng)初潮年齡的雙側(cè)99%參考值范圍是10.7118.25 (歲)。四、習題(一) 單項選擇題) °D . 1 與 1相應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀越扁平1. 標準正態(tài)分布的均數(shù)與標準差分別為(A . 0 與 1 B . 1 與 0 C . 0 與 02. 正態(tài)分布有兩個參數(shù)二與二，()A .越大B .越小 C3. 對數(shù)正態(tài)分布是一種()A .正態(tài) B .近似正態(tài)4. 正態(tài)曲線下、橫軸上，從均數(shù)二越大 D 二越小分布。C.左偏態(tài)D.右偏態(tài)-1.96倍標準差到均數(shù)的面積為()A . 95% B . 45%5.標準正態(tài)分布曲線下

14、中間A. -1.64 到 +1.64 BC.-二到+1.28D（二）名詞解釋1.正態(tài)曲線C . 97.5% D . 47.5%90%的面積所對應(yīng)的橫軸尺度u的范圍是（）玉到+1.64.-1.28 到 +1.282 .正態(tài)分布3. 標準正態(tài)分布4. 標準化變換（三）簡答題1. 簡述醫(yī)學中參考值范圍的涵義及制定參考值范圍的一般步驟。2. 正態(tài)分布、標準正態(tài)分布與對數(shù)正態(tài)分布的聯(lián)系與區(qū)別。3. 對稱分布在“ X _ 1.96 S標準差”的范圍內(nèi)，也包括95%的觀察值嗎？(四)計算題1. 假定5歲男童的體重服從正態(tài)分布，平均體重卩=19.5 ( kg),標準差=2.3 ( kg )。(1) 隨機抽查一

15、 5歲男童的體重，計算概率： 其體重小于 16.1 kg 其體重大于 22.9 kg 其體重在 14.6 kg 到23.9 kg 之間(2) 試找出最重的5% 10% 2.5% 5歲男童的體重范圍。2. 某年某地測得200名正常成人的血鉛含量(g/100g )如下，試確定該地正常成人血鉛含量的95%參考值范圍。3 44444555555555 56 6666 66777777777777 78 8888 888888999999910 10 1010101010 1010 11111111 111212 12 12 1212 12 13 13 13 13 1313 1313 13 13 13

16、1414 14 14 14 14 1414 14 14 14 15 151515 1515 16 16 16 1616 16 17 17 17 1717 17 17 17 17 171717 1718 18 18 18 1819 19 19 19 19 1920 20 20 20 20 202020 2121 21 21 21 2222 22 22 22 22 2323 23 24 24 24 242424 2525 26 26 26 2626 27 27 28 28 2929 30 30 31 31 313132 3232 32 32 32 3333 36 38 38 39 4041 41

17、43 47 50 53603.測得某地300名正常人尿汞值，其頻數(shù)表如表3-2，試用正態(tài)分布法和百分位數(shù)法估計該地正常人尿汞值的 90% 95% 99%上限，討論用何法估計較適宜。表3-2 300例正常人尿汞值（也/1）頻數(shù)表尿汞值例數(shù)尿汞值例數(shù)尿汞值例數(shù)049241648342728952-858329562125036460-164540564-202244-68 7214 某市20歲男學生160人的脈搏數(shù)(次/分鐘)，經(jīng)正態(tài)性檢驗服從正態(tài)分布。求得X =76.10, S=9.32。試估計脈搏數(shù)的 95% 99%參考值范圍。5將測得的238例正常人發(fā)汞值(/ g)從小到大排列，最后14個發(fā)

18、汞值如下，求 95%單側(cè)上限。發(fā)汞值：2.6 2.6 2.6 2.6 2.7 2.7 2.7 2.8 2.8 3.0 3.3 4.0 4.1 4.3秩 次：225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238五、習題答題要點(一) 單項選擇題1.A2.C3. D 4. D 5. A(二) 名詞解釋1 .正態(tài)曲線：正態(tài)曲線( normal curve )是函數(shù)f(X)=1 e“(2凸,_： :：x :aV2n對應(yīng)的曲線。此曲線呈鐘型，兩頭低中間高，左右對稱。2 .正態(tài)分布：若指標 X的頻率曲線對應(yīng)于數(shù)學上的正態(tài)曲線，則稱該指標服從正態(tài)分布

19、(normal distribution)。通常用記號 N(Aq2)表示均數(shù)為 卩，標準差為 坊的正態(tài)分布。3 .標準正態(tài)分布：均數(shù)為 0、標準差為 1的正態(tài)分布被稱為標準正態(tài)分布(standardnormal distribution),通常記為 N(0,12)。4. 標準化變換：u，此變換有特性：若 X服從正態(tài)分布 N()f 2)，則u就服a從標準正態(tài)分布，故該變換被稱為標準化變換(sta ndardized tran sformatio n)。(二) 簡答題1 醫(yī)學中常把絕大多數(shù)正常人的某指標范圍稱為該指標的參考值范圍，也叫正常值范圍。所謂“正常人”不是指完全健康的人，而是指排除了所研究

20、指標的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人 群。制定參考值范圍的一般步驟：(1) 定義“正常人”，不同的指標“正常人”的定義也不同。(2) 選定足夠數(shù)量的正常人作為研究對象。(3) 用統(tǒng)一和準確的方法測定相應(yīng)的指標。(4) 根據(jù)不同的用途選定適當?shù)陌俜纸缦?，常?5%(5) 根據(jù)此指標的實際意義，決定用單側(cè)范圍還是雙側(cè)范圍。(6) 根據(jù)此指標的分布決定計算方法，常用的計算方法：正態(tài)分布法、百分位數(shù)法。2. 三種分布均為連續(xù)型隨機變量的分布。正態(tài)分布、標準正態(tài)分布均為對稱分布，對數(shù)正態(tài)分布是不對稱的，其峰值偏在左邊。標準正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布(均數(shù)為0,標準差為1)。一般正態(tài)分布變量經(jīng)標準化轉(zhuǎn)換后的新變

21、量服從標準正態(tài)分布。對數(shù)正態(tài)分布不屬于正態(tài)分布的范疇，對數(shù)正態(tài)分布變量經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后的新變量服從正態(tài)分布。3. 不一定。均數(shù) _1.96標準差范圍內(nèi)包含 95%勺變量值是正態(tài)分布的分布規(guī)律，不是對 稱分布的規(guī)律。對稱分布不一定是正態(tài)分布。(三) 計算題：1.解：(1)設(shè)該男童的體重為 X kg,則mX -19.516.119.5 P(X ：16.1) =P() = P(u ： 1.48) = ：( 1.48) =0.06942.32.3x 19522 9 195 P(X .22.9)=1_P(X乞22.9)=1_P(乞一)=1_ P(u 乞1.48) - G(1.48)=0.06942.32.3

22、 P(14.6 乞 X 乞 23.9) = P(X 冬23.9) P(X <14.6)X19.523.9 19.5、=P()-P(2.32.32.3= P(u _1.91) - P(u 2.13)=1 一門(_1.91)一：.：(_2.13)= 0.9719-0.0166 = 0.9553(2)設(shè)最重的5% 10% 2.5%男童體重的下限分別為x1kg , x2匚竺遲空）2.3kg , X3 kgP(P(X - Xi) =0.05又 P(u 乞 1.645) =0.95P(X X2) =0.10X1 -19.5.P(u 1)=0.952.3論-19.5 -1.6452.3因為正態(tài)分布關(guān)于

23、均數(shù)對稱，所以x1 = 23.3 (kg)X -1 9. 5>2. 3x _ 1 9)*( _2. 31 9. 5x一 < 2. 3）尊空二2. 3x _19 5查標準正態(tài)曲線下面積表.上' - . 1 282故x2 =22 4 （ kg）2.3同理x =24.0 （ kg）2. 解：正常成人的血鉛含量近似對數(shù)正態(tài)分布，經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后應(yīng)近似服從正態(tài)分布，所以對原始數(shù)據(jù)作對數(shù)變換，并編制頻數(shù)表，再利用正態(tài)分布法求95%參考值范圍。對數(shù)換算過程如表3-3所示。表3-3 200名正常成人血鉛含量（g /100g）對數(shù)值頻數(shù)表對數(shù)組段真數(shù)組段頻數(shù)0.45 3 10.55 4 50.65 5 100.75 6 200.85 8 110.95 9 211.05 12291.15 15251.25 18301.35 23201.45 29161.55 3681.65 4531.751.85571200依據(jù)表3-3則X，設(shè)x為對數(shù)組段的組中值，n =200，、/ 權(quán)=279.04 =1 15 （卩 mol/L）fx =230，fx =279.04200x fx -c fx) n279.04-(230)2/200/ lx0.2703 (mol/ L)n1V