雙曲線專題練習(xí)(一)

1、雙曲線專題練習(xí)知識(shí)點(diǎn)歸納:1、雙曲線定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)1F ,2F 的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于12F F 的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.即:_。 這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距.2 3、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線.4、與雙曲線12222=-b y a x 共漸近線的雙曲線系方程設(shè)為_2222=-by a x 0( 5、與雙曲線12222=-b y a x 共焦點(diǎn)的雙曲線系方程設(shè)為122=-+k b y k a x達(dá)標(biāo)練習(xí)一、填空題1.橢圓19222=+ky x 與雙曲線1322=-y k x 的焦點(diǎn)相同,則k= 。2.雙曲線14922=-x y 的漸近線為

2、 。3.已知12F F 、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),A 為它的短軸的一個(gè)端點(diǎn),若該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,則12AF F 面積的最大值為 .4.過點(diǎn)(-6,3且和雙曲線x 2-2y 2=2有相同的漸近線的雙曲線方程為 。5.過原點(diǎn)與雙曲線 13422-=-y x 交于兩點(diǎn)的直線斜率的取值范圍是6、若雙曲線8822=-ky kx 的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,3,則k 的值是 。7. 已知直線y=kx-2與雙曲線122=-y x 交同支于兩點(diǎn),則k 取值范圍 。8.點(diǎn)P 是雙曲線13422=-y x 上一點(diǎn),F 1、F 2是雙曲線焦點(diǎn),若F 1PF 2=120o , 則F 1PF 2的面積 。9.過點(diǎn)M(-2,0的直線L

3、 與橢圓x 2+2y 2=2交于P 1、P 2兩點(diǎn),線段P 1P 2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線l 的斜率為k 1(k 10,直線OP的斜率為k 2,則k 1k 2的值為_.10.若對(duì)任意k R ,直線b x k y +-=2(與雙曲線122=-y x 總有公共點(diǎn),則b 范圍 。11.若方程x+k-21x -=0只有一個(gè)解,則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是_。12.給出問題:F 1、F 2是雙曲線201622y x -=1的焦點(diǎn),點(diǎn)P 在雙曲線上.若點(diǎn)P 到焦點(diǎn)F 1的 距離等于9,求點(diǎn)P 到焦點(diǎn)F 2的距離.某學(xué)生的解答如下:雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8,由 |PF 1|-|PF 2|=8,即|9-|PF 2|=8,得|

4、PF 2|=1或17.該學(xué)生的解答是否正確?若正確,請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi),若不正確, 將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi). 。二、選擇題13.平面內(nèi)有定點(diǎn)A 、B 及動(dòng)點(diǎn)P ,設(shè)命題甲是“|PA|+|PB|是定值”,命題乙是 “點(diǎn)P 的軌跡是以A 、B 為焦點(diǎn)的橢圓”,那么甲是乙的 ( A .充分不必要條件 B .必要不充分條件 C .充要條件 D .既不充分也不必要條件14. 經(jīng)過雙曲線1222=-y x 的右焦點(diǎn)2F 作直線l 交雙曲線與A 、B 兩點(diǎn),若|AB|=4, 則這樣的直線存在的條數(shù)為 ( (A 4; (B 3; (C 2; (D 115.過點(diǎn)P(3,4與雙曲線1169:22=

5、-y x c 只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的條數(shù)為 ( A .4 B. 3 C.2 D. 116 設(shè)P 是雙曲線19222=-y ax 上一點(diǎn),雙曲線的一條漸近線方程為023=-y x ,F 1、F 2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若3|1=PF ,則=|2PF ( A 1或5B 6C 7D 917.若k R ,則“k >3”是“方程x 2k -3-y 2k +3=1表示雙曲線”的( A .充分不必要條件B .必要不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件三、解答題18.已知?jiǎng)訄A與圓C1:(x+52+y2=49和圓C2:(x-52+y2=1都外切,(1求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。(2若動(dòng)圓P與圓C

6、2內(nèi)切,與圓C1外切,則動(dòng)圓圓心P的軌跡是。若動(dòng)圓P與圓C1內(nèi)切,與圓C2外切,則動(dòng)圓圓心P的軌跡是。若把圓C1的半徑改為1,那么動(dòng)圓P的軌跡是。(只需寫出圖形形狀 19.已知直線1+=ax y 與雙曲線1322=-y x 交于A 、B 點(diǎn)。(1求a 的取值范圍;(2若以A B 為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a 的值;(3是否存在這樣的實(shí)數(shù)a ,使A 、B 兩點(diǎn)關(guān)于直線x y 21=對(duì)稱?若存在, 請(qǐng)求出a 的值;若不存在,說明理由。x 20(1橢圓 C: a 2 + 2 y2 b2 = 1 (ab0上的點(diǎn) A(1, 3 2 到兩焦點(diǎn)的距離之和為 4, 求橢圓的方程; (2設(shè) K 是(1中橢圓上

7、的動(dòng)點(diǎn), F1 是左焦點(diǎn), 求線段 F1K 的中點(diǎn)的軌跡方程; (3已知橢圓具有性質(zhì):若 M、N 是橢圓 C 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P 是橢圓上任意一點(diǎn), 當(dāng)直線 PM、PN 的斜率都存在并記為 kPM、kPN 時(shí)，那么 k PM × k PN 是與點(diǎn) P 位置無關(guān)的 定值。試對(duì)雙曲線 x2 a2 - y2 b2 = 1 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。 一、填空題 1 k= 2 5 。2 arccos 13 。 32 x 4 18 2 - y9 = 1 2 5 (-¥,- 3 È ( 23 2 ,+¥ . 6、-1 ì1 - k 2 &#

8、185; 0 ï 。7. í D > 0 ï x x >0 î 1 2 。8 3 。 9 - 1 . 10- 3 , 3 2 11 -1，1）È 2 12 |PF2|=17。 二、選擇題 13. ( B 14 （ B ）15 （ B ）16C 三、解答題 2 2 2 2 17已知?jiǎng)訄A與圓 C1:(x+5 +y =49 和圓 C2：(x-5 +y =1 都外切， （1）求動(dòng)圓圓心 P 的軌跡方程。 解： （1）從已知條件可以確定圓 C1、C2 的圓心與半徑。 兩圓外切可得：兩圓半徑和圓心距 動(dòng)圓半徑 r,依題意有 7r|PC1|,1r

9、|PC2|， 兩式相減得：|PC1|PC2|6 |C1C2|。 由雙曲線定義得：點(diǎn) P 的軌跡是以 C1、C2 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支。 x2 y2 - = 1 （x3） 9 16 （2）若動(dòng)圓 P 與圓 C2 內(nèi)切，與圓 C1 外切，則動(dòng)圓圓心 P 的軌跡是 （雙曲線右支） 若動(dòng)圓 P 與圓 C1 內(nèi)切，與圓 C2 外切，則動(dòng)圓圓心 P 的軌跡是 （雙曲線左支） 若把圓 C1 的半徑改為 1， 那么動(dòng)圓 P 的軌跡是 （兩定圓連心線的垂直平分線） 。 18已知 M 是橢圓 y2 x2 + = 1 上的動(dòng)點(diǎn)，N 是圓 ( x - 1 2 + y 2 = 1 的動(dòng)點(diǎn)， 9 4 求|MN|的最小值

10、。 4 55 -1 2 2 19已知直線 y = ax + 1 與雙曲線 3x - y = 1交于 A 、 B 點(diǎn)。 （1）求 a 的取值范圍； （2）若以 A B 為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的值； （3）是否存在這樣的實(shí)數(shù) a ，使 A 、 B 兩點(diǎn)關(guān)于直線 y = 請(qǐng)求出 a 的值；若不存在，說明理由。 解： （1）由 í 1 x 對(duì)稱？若存在， 2 ì y = ax + 1 î3 x - y = 1 2 2 消去 y ，得 (3 - a x - 2ax - 2 = 0 （1） 2 2 依題意 í ì3 - a 2 ¹ 0

11、 即 - 6 < a < 6 且 a ¹ ± 3 （2） îD > 0 2a ì x1 + x 2 = (3 ï ï 3 - a2 （2）設(shè) A( x1 , y1 ， B( x2 , y 2 ，則 í ï x x = - 2 ( 4 1 2 ï 3 - a2 î 以 AB 為直徑的圓過原點(diǎn) OA OB x1 x2 + y1 y 2 = 0 但 y1 y2 = a 2 x1 x2 + a( x1 + x2 + 1 由（3） （4） ， x1 + x 2 = (a + 1 

12、5; 2 2a -2 ， x1 x 2 = 2 3-a 3 - a2 -2 3-a 2 +a× 2a 3 - a2 +1= 0 解得 a = ±1 且滿足（2） （3）假設(shè)存在實(shí)數(shù) a ，使 A、B 關(guān)于 y = a× 1 1 x 對(duì)稱，則直線 y = ax + 1 與 y = x 垂直 2 2 1 = -1 ，即 a = -2 2 直線 l 的方程為 y = -2 x + 1 將 a = -2 代入（3）得 x1 + x2 = 4 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2 但 AB 中點(diǎn) (2,-3 不在直線 y = 2 縱坐標(biāo)為 y = -2 ´ 2 + 1 = -

13、3 1 1 x 上，即不存在實(shí)數(shù) a ，使 A、B 關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱。 2 2 2 20. 已知雙曲線方程為 2x - y = 2 與點(diǎn) P(1,2, （1）求過點(diǎn) P（1，2）的直線 l 的斜率 k 的取值范圍，使直線與雙曲線 有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。 (2 過點(diǎn) P（1，2）的直線交雙曲線于 A、B 兩點(diǎn)，若 P 為弦 AB 的中點(diǎn)， 求直線 AB 的方程； （3）是否存在直線 l ，使 Q（1，1）為 l 被雙曲線所截弦的中點(diǎn)？若存在， 求出直線 l 的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。 解：(1當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，l 的方程為 x=1,與曲線 C 有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng) l

14、 的斜率 存在時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為 y2=k(x1,代入 C 的方程，并整理得 2 2 2 2 * (2k x +2(k 2kxk +4k6=0 ( (當(dāng) 2k =0,即 k=± 2 時(shí)，方程( 有一個(gè)根，l 與 C 有一個(gè)交點(diǎn) (當(dāng) 2k 0,即 k± 2 時(shí) =2(k 2k 4(2k (k +4k6=16(32k 當(dāng) =0,即 32k=0,k= 當(dāng) 0,即 k 2 2 2 2 2 2 * 3 * 時(shí)，方程( 有一個(gè)實(shí)根，l 與 C 有一個(gè)交點(diǎn). 2 3 3 ,又 k± 2 ,故當(dāng) k 2 或 2 k 2 或 2 k 時(shí)， 2 2 方程( 有兩不等實(shí)根，l

15、與 C 有兩個(gè)交點(diǎn). * 3 * 時(shí)，方程( 無解，l 與 C 無交點(diǎn). 2 3 綜上知：當(dāng) k=± 2 ,或 k= ，或 k 不存在時(shí)，l 與 C 只有一個(gè)交點(diǎn)； 2 3 當(dāng) 2 k ,或 2 k 2 ,或 k 2 時(shí)，l 與 C 有兩個(gè)交點(diǎn)； 2 3 當(dāng) k 時(shí)，l 與 C 沒有交點(diǎn). 2 當(dāng) 0，即 k （2）假設(shè)以 P 為中點(diǎn)的弦為 AB，且 A(x1,y1,B(x2,y2，則 2x1 y1 =2,2x2 y2 =2 兩式 相減得：2(x1x2(x1+x2=(y1y2(y1+y2 又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2=y1y1 即 kAB= 2 2 2 2 y1 -

16、 y 2 =1 x1 - x 2 但漸近線斜率為± 2 ,結(jié)合圖形知直線 AB 與有交點(diǎn)，所以以 P 為中點(diǎn)的弦為： y = x + 1 . (3假設(shè)以 Q 為中點(diǎn)的弦存在， 設(shè)為 AB， 且 A(x1,y1,B(x2,y2， 則 2x1 y1 =2,2x2 y2 =2 兩式相減得：2(x1x2(x1+x2=(y1y2(y1+y2 又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2=y1y1 即 kAB= 2 2 2 2 y1 - y 2 =2 x1 - x 2 但漸近線斜率為± 2 ,結(jié)合圖形知直線 AB 與 C 無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以 Q 為中 點(diǎn)的弦不存在. x 2

17、1(1橢圓 C: a 2 + 2 y2 b2 = 1 (ab0上的點(diǎn) A(1, 3 2 到兩焦點(diǎn)的距離之和為 4, 求橢圓的方程; (2設(shè) K 是(1中橢圓上的動(dòng)點(diǎn), F1 是左焦點(diǎn), 求線段 F1K 的中點(diǎn)的軌跡方程; (3已知橢圓具有性質(zhì):若 M、N 是橢圓 C 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P 是橢圓上任意一點(diǎn), 當(dāng)直線 PM、PN 的斜率都存在并記為 kPM、kPN 時(shí)，那么 k PM × k PN 是與點(diǎn) P 位置無關(guān)的 定值。試對(duì)雙曲線 解：(1 x4 + 2 x2 a2 - y2 b2 = 1 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。 y2 3 =1 2 (2設(shè)中點(diǎn)為(x,y, F1(-1,0 K(-2-x,