曹廣福版實變函數(shù)習(xí)題解答

1、實變函數(shù)第一章習(xí)題參考解答3等式成立的的充要條件是什么？解： 若，則.即，.反過來, 假設(shè), 因為. 所以, . 故, .最后證，事實上，, 則且。若，則；若，則，故. 從而, . . 即 .反過來，若，則 因為所以 又因為，所以故 另一方面，且，如果則 ；如果因為，所以故. 則 . 從而于是，4對于集合A，定義A的特征函數(shù)為， 假設(shè)是一集列 ，證明：（i）（ii）證明：（i），時，.所以，所以故，有有，故 ，即=0 ，從而5設(shè)為集列， 證明 （i）互相正交（ii） 證明：（i）；不妨設(shè)n>m，因為，又因為，所以，故 ，從而 相互正交.（ii）因為，有，所以，現(xiàn)在來證：當(dāng)n=1時，；當(dāng)時

2、，有：則事實上，則使得，令則 ，其中，當(dāng)時，從而， 6設(shè)是定義于E上的實函數(shù)，a為常數(shù)，證明：（i）=(ii)=證明：（i）且反過來，使即 故 所以 故7設(shè)是E上的實函數(shù)列，具有極限，證明對任意常數(shù)a都有：證明：，即，且因為，使，有，故 所以= ，由k的任意性：，反過來，對于，有 = ，即時，有：且，所以，且.，故 從而故 =8 設(shè)是區(qū)間（a，b）上的單調(diào)遞增的序列，即若有極限函數(shù)，證明：，證明： ，即：且，因為所以，恒有：，從而， 反過來，使，故，因此，且,即，從而，10證明：中坐標(biāo)為有理數(shù)的點是不可數(shù)的。證明： 設(shè)Q為有理數(shù)集，由定理6：Q是不可數(shù)的。現(xiàn)在證：可數(shù)，因為 是可數(shù)個有理數(shù)集的

3、并，故可數(shù)，又因為并且，所以可數(shù) 故可數(shù)14證明：可數(shù)集的有限子集的全體仍是可數(shù)證明： 設(shè)Q為可數(shù)集，不妨記為：,令則 為有限集（），則為正交可數(shù)集，即又因為，所以 ，故A是Q上一切有限子集的全體。15設(shè)是兩兩不相交的集所組成的集列，證明：證明： 因為兩兩不相交，所以，故另一方面，若，我們?nèi)t，使得.特別的，當(dāng) 時，當(dāng)時：（ 從而，這與矛盾，故從而16若集A中每個元素由相互獨立的可列個指標(biāo)所決定，即A=，而每個指標(biāo)在一個勢為C的集中變化，則集A的勢為C。證明：設(shè)在勢為C的集合中變化，即A=因 是既單又滿的映射，定義 ,故得既單又滿的映射,從而，從而 17設(shè)的勢是C，證明至少有一個的勢也是C。證

4、明：因為，所以如果，則，即，正交可數(shù)，從而，正交可數(shù).這與矛盾.故，,使.18證明：0,1上的實函數(shù)全體具有勢證明：設(shè)，則記0，1上全體是函數(shù)所構(gòu)成的集合為對于，定義函數(shù) ,即是集合A的特征函數(shù)。另一方面，定義 則 ，則，所以 ，從而，20證明：中孤立點集市有限或可數(shù)集證明：中，是的一些孤立點所構(gòu)成的集合由定義，使得.現(xiàn)在令 ，則中任意二領(lǐng)域是不相交的事實上，若，有取，并且不失一般性設(shè)：，則.故 ，這推出，這與矛盾.，取一個有限點，則，當(dāng)，,所以，故 .E正交可數(shù).19設(shè)稱為E的內(nèi)點集，證明：是開集。證明：，因為x為E的內(nèi)點，使得：，現(xiàn)在證：事實上，取則，故，從而，即中每個點都是得內(nèi)點因此，為

5、開集21假設(shè)是a,b上唯一有限實函數(shù)，證明：它的第一類間斷點的全體是可數(shù)的。證明：a,b中右極限存在的間斷點是至多可數(shù)的.令有限，作：,時，使得則：（1）上連續(xù)點的集合事實上，取因，故有即，在點連續(xù)。（2），因有限，故使得 ，故，有，從而，.現(xiàn)在證：是兩兩不相交的開區(qū)間集不妨設(shè) ，如果，取則 即，這與矛盾，故A兩兩不相交，從而可數(shù)故至多可數(shù)。即，中第一類間斷點至多可數(shù)。20證明中孤立點集是至多可數(shù)集證明：設(shè)F是點集E中一些孤立點所構(gòu)成的集合，有現(xiàn)在先證：是兩兩不相交的事實上，如果，則（不妨設(shè)），故,這與矛盾.所以，是兩兩不相交的.,取有理點，故，從而，22證明：中直線上每個閉集必是可數(shù)個開集的

6、交，每個開集必是可數(shù)個閉集的并.證明：設(shè)F是中的一個閉集，先證：，=|是R中的開集，其中，則，取，故事實上，所以是開集現(xiàn)在證：、事實上，所以.反過來，有.故.,即.，使.所以.故，這與矛盾.所以，從而.再來證：每個開集必是可數(shù)個閉集的并.事實上，若是開集，則是閉集.所以存在可數(shù)個開集，使得，所以.即是可數(shù)個閉區(qū)間集的并.23.假設(shè)是一列開區(qū)間，如果，證明是一個開區(qū)間證明：，記， ，其中，因為，所以可取現(xiàn)在我們證：因為，故反過來，即，當(dāng)時，因為，所以，有.所以. 如果，使，故，從而24.設(shè)，是E的一個開覆蓋，證明：中必存在至多可數(shù)個，使得.證明：不妨設(shè)中每一個元都是開區(qū)間.，存在，有，故有：端點

7、的開區(qū)間，使得.即，.又因為所以可數(shù).不妨設(shè)=，又記.其中，故25.已知：可數(shù)集，開區(qū)間列，覆蓋了它，這里，從此覆蓋中能否選出集的有限子覆蓋.答：不能，證明如下：證明：（反正）如果，使得（*），不妨設(shè)，因為，則.這與矛盾.所以（*）不真.26.設(shè)是一簇集合，如果，有，則稱集合簇具有有限交性質(zhì).證明：如果是具有有限交性質(zhì)的非空有界閉集簇，那么.證明：取，令，其中，則是中開集.且，如果，則.由Borel有限覆蓋定理（P27 定理9），存在，使得.從而，這與具有有限交性質(zhì)矛盾.27.試用Borel有限覆蓋定理證明：Bolzano-Weiestyass定理（P24定理4，若是是一個有界無窮點集，則）.

8、證明：設(shè)是中的有界無窮點集，如果，則，使得，則.由Borel有限覆蓋定理，有，從而=，這與為無窮集矛盾，從而.29.可數(shù)個開集的交稱為型集，可數(shù)個閉集的并稱為型集.證明：有理數(shù)集不是型集，但是型集.證明：設(shè)為中全體有理數(shù)所構(gòu)成的集合.如果是型集，即，其中是開集，由開集的結(jié)構(gòu)，其中是互不相交的開區(qū)間.不是一般性，設(shè)這是，必有（1）事實上，如果，即為有理數(shù)，.因為，故，這與矛盾.(2),如果，.則.因此，有.這有：這是一矛盾.(3) .事實上，若，則為有限實數(shù)，使得，故，這也是一矛盾.為可數(shù)集，這與矛盾.因為在中單點集是閉集，所以，令，則為閉集，所以，故為型集.30定義在上的任何函數(shù)的連續(xù)點構(gòu)成的

9、集合是一個型集.證明：開區(qū)間中有理點的全體不是一個型集，但是一個型集.30.是否存在上的的函數(shù)滿足：在有理點處連續(xù)，而在無理點處都不連續(xù)？是證明你的結(jié)論.回答：不存在.為此，只需證明如下命題命題（*）：開區(qū)間中的任何函數(shù)的連續(xù)點構(gòu)成的集合是一個型集.這是因為，如果存在上的函數(shù)，使得.當(dāng)命題（*）成立時，必有為型集，這與題的結(jié)論矛盾.命題（*）的證明：設(shè)是開區(qū)間有定義的一實函數(shù)，記，下證：是一個型集.，令且.又記.于是，我們只需證：.事實上，因為，所以，使得，恒有，所以，恒有，故，所以即，反過來，.，取，使得.因為所以：，使得，并且有，取，故：，即，所以.從而.故.因此，真.31.假設(shè)，且對任意，存在的一個-領(lǐng)域，使得最多只有可數(shù)個點，證明：必有有限級或可列集.證明：因為，使得是一個至多可數(shù)集，而由24題，使得： 又.即至多可數(shù).32.證明下列陳述相互等價.(i) 是無處稠密集(ii) 不包含任何非空開區(qū)間(iii) 是無處稠密集（iv）的余集是稠密集無處稠密集：，稱為是無處稠密的，如果，.證明：（i）(ii).設(shè)是無處稠密集，即，有.如果，有.取，取，故.這與得假設(shè)矛盾.所以i(ii)真.（ii）(