數(shù)值分析第四習(xí)題及答案

1、第四版數(shù)值分析習(xí)題第一章 緒 論1. 設(shè)x0,x的相對誤差為,求的誤差.2. 設(shè)x的相對誤差為2,求的相對誤差.3. 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù),即誤差限不超過最后一位的半個單位,試指出它們是幾位有效數(shù)字:4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的誤差限:其中均為第3題所給的數(shù).5. 計(jì)算球體積要使相對誤差限為1,問度量半徑R時允許的相對誤差限是多少?6. 設(shè)按遞推公式 ( n=1,2,)計(jì)算到.若取27.982(五位有效數(shù)字),試問計(jì)算將有多大誤差?7. 求方程的兩個根,使它至少具有四位有效數(shù)字(27.982).8. 當(dāng)N充分大時,怎樣求?9. 正方形的邊長大約為100,應(yīng)怎樣測量才

2、能使其面積誤差不超過1?10. 設(shè)假定g是準(zhǔn)確的,而對t的測量有0.1秒的誤差,證明當(dāng)t增加時S的絕對誤差增加,而相對誤差卻減小.11. 序列滿足遞推關(guān)系(n=1,2,),若(三位有效數(shù)字),計(jì)算到時誤差有多大?這個計(jì)算過程穩(wěn)定嗎?12. 計(jì)算,取,利用下列等式計(jì)算,哪一個得到的結(jié)果最好?13. ,求f(30)的值.若開平方用六位函數(shù)表,問求對數(shù)時誤差有多大?若改用另一等價公式 計(jì)算,求對數(shù)時誤差有多大?14. 試用消元法解方程組假定只用三位數(shù)計(jì)算,問結(jié)果是否可靠?15. 已知三角形面積其中c為弧度,且測量a ,b ,c 的誤差分別為證明面積的誤差滿足第二章 插值法 1. 根據(jù)(2.2)定義的

3、范德蒙行列式,令 證明是n次多項(xiàng)式,它的根是,且.2. 當(dāng)x= 1 , -1 , 2 時, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多項(xiàng)式.3. 給出f(x)=ln x 的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算ln 0.54 的近似值.x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444. 給出cos x,0x 90的函數(shù)表,步長h =1=(1/60),若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字,研究用線性插值求cos x 近似值時的總誤差界.5. 設(shè),k=0,1,2,3,求.6. 設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)(j=0,1,n),求證:7.

4、設(shè)且,求證8. 在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表,若用二次插值求的近似值,要使截?cái)嗾`差不超過,問使用函數(shù)表的步長應(yīng)取多少?9. 若,求及.10. 如果是次多項(xiàng)式,記,證明的階差分是次多項(xiàng)式,并且為正整數(shù)).11. 證明.12. 證明13. 證明14. 若有個不同實(shí)根,證明15. 證明階均差有下列性質(zhì):i) 若,則;ii) 若,則.16. ,求及.17. 證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是 并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限.18. 求一個次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式,使它滿足并由此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限.19. 試求出一個最高次數(shù)不高于4次的函數(shù)多項(xiàng)式,以便使它能夠滿足以下邊界條件,.20. 設(shè),

5、把分為等分,試構(gòu)造一個臺階形的零次分段插值函數(shù)并證明當(dāng)時,在上一致收斂到.21. 設(shè),在上取,按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù),計(jì)算各節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的與的值,并估計(jì)誤差.22. 求在上的分段線性插值函數(shù),并估計(jì)誤差.23. 求在上的分段埃爾米特插值,并估計(jì)誤差.24. 給定數(shù)據(jù)表如下:0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值并滿足條件25. 若,是三次樣條函數(shù),證明i) ;ii) 若,式中為插值節(jié)點(diǎn),且,則.26. 編出計(jì)算三次樣條函數(shù)系數(shù)及其在插值節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)的值的程序框圖(可用(8.7)式的表達(dá)式). 第三章 函數(shù)逼近與計(jì)算

6、1. (a)利用區(qū)間變換推出區(qū)間為的伯恩斯坦多項(xiàng)式.(b)對在上求1次和三次伯恩斯坦多項(xiàng)式并畫出圖形,并與相應(yīng)的馬克勞林級數(shù)部分和誤差做比較.2. 求證:(a)當(dāng)時,. (b)當(dāng)時,.3. 在次數(shù)不超過6的多項(xiàng)式中,求在的最佳一致逼近多項(xiàng)式.4. 假設(shè)在上連續(xù),求的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式.5. 選取常數(shù),使達(dá)到極小,又問這個解是否唯一?6. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差.7. 求在上的最佳一次逼近多項(xiàng)式.8. 如何選取,使在上與零偏差最小?是否唯一?9. 設(shè),在上求三次最佳逼近多項(xiàng)式.10. 令,求.11. 試證是在上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式.12. 在上利用插值極小化求1的三次近似最佳逼近

7、多項(xiàng)式.13. 設(shè)在上的插值極小化近似最佳逼近多項(xiàng)式為,若有界,證明對任何,存在常數(shù)、,使14. 設(shè)在上,試將降低到3次多項(xiàng)式并估計(jì)誤差.15. 在上利用冪級數(shù)項(xiàng)數(shù)求的3次逼近多項(xiàng)式,使誤差不超過0.005.16. 是上的連續(xù)奇(偶)函數(shù),證明不管是奇數(shù)或偶數(shù),的最佳逼近多項(xiàng)式也是奇(偶)函數(shù).17. 求、使為最小.并與1題及6題的一次逼近多項(xiàng)式誤差作比較.18. 、,定義 問它們是否構(gòu)成內(nèi)積?19. 用許瓦茲不等式(4.5)估計(jì)的上界,并用積分中值定理估計(jì)同一積分的上下界,并比較其結(jié)果.20. 選擇,使下列積分取得最小值:.21. 設(shè)空間,分別在、上求出一個元素,使得其為的最佳平方逼近,并比

8、較其結(jié)果.22. 在上,求在上的最佳平方逼近.23. 是第二類切比雪夫多項(xiàng)式,證明它有遞推關(guān)系.24. 將在上按勒讓德多項(xiàng)式及切比雪夫多項(xiàng)式展開,求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式并畫出誤差圖形,再計(jì)算均方誤差.25. 把在上展成切比雪夫級數(shù).26. 用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使它與下列數(shù)據(jù)擬合,并求均方誤差.192531384419.032.349.073.397.827. 觀測物體的直線運(yùn)動,得出以下數(shù)據(jù):時間(秒)00.91.93.03.95.0距離(米)010305080110求運(yùn)動方程.28. 在某化學(xué)反應(yīng)里,根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得分解物的濃度與時間關(guān)系如下:時間0510152025303540

9、455055濃度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘擬合求.29. 編出用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合的程序框圖.30. 編出改進(jìn)FFT算法的程序框圖.31. 現(xiàn)給出一張記錄,試用改進(jìn)FFT算法求出序列的離散頻譜第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1. 確定下列求積公式中的待定參數(shù),使其代數(shù)精度盡量高,并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度:(1);(2);(3);(4).2. 分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分:(1); (2);(3); (4).3. 直接驗(yàn)證柯特斯公式(2.4)具有5次代數(shù)精度.4. 用辛普森公式求積分并計(jì)算誤差.5

10、. 推導(dǎo)下列三種矩形求積公式:(1);(2);(3).6. 證明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)當(dāng)時收斂到積分.7. 用復(fù)化梯形公式求積分,問要將積分區(qū)間分成多少等分,才能保證誤差不超過(設(shè)不計(jì)舍入誤差)?8. 用龍貝格方法計(jì)算積分,要求誤差不超過.9. 衛(wèi)星軌道是一個橢圓,橢圓周長的計(jì)算公式是,這里是橢圓的半長軸,是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離,記為近地點(diǎn)距離,為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離,公里為地球半徑,則.我國第一顆人造衛(wèi)星近地點(diǎn)距離公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)距離公里,試求衛(wèi)星軌道的周長.10. 證明等式試依據(jù)的值,用外推算法求的近似值.11. 用下列方法計(jì)算積分并比較結(jié)果.(1) 龍貝格方法;(2

11、) 三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式;(3) 將積分區(qū)間分為四等分,用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式.12. 用三點(diǎn)公式和五點(diǎn)公式分別求在1.0,1.1和1.2處的導(dǎo)數(shù)值,并估計(jì)誤差.的值由下表給出:1.01.11.21.31.40.25000.22680.20660.18900.1736第五章 常微分方程數(shù)值解法1. 就初值問題分別導(dǎo)出尤拉方法和改進(jìn)的尤拉方法的近似解的表達(dá)式，并與準(zhǔn)確解相比較。2. 用改進(jìn)的尤拉方法解初值問題取步長h=0.1計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。3. 用改進(jìn)的尤拉方法解取步長h=0.1計(jì)算，并與準(zhǔn)確解相比較。4. 用梯形方法解初值問題證明其近似解為并證明當(dāng)時，它原初值問題的準(zhǔn)確解。5. 利用尤拉方法

12、計(jì)算積分在點(diǎn)的近似值。6. 取h=0.2，用四階經(jīng)典的龍格庫塔方法求解下列初值問題： 1） 2）7. 證明對任意參數(shù)t，下列龍格庫塔公式是二階的：8. 證明下列兩種龍格庫塔方法是三階的：1） 2） 9. 分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問題：取計(jì)算并與準(zhǔn)確解相比較。10. 證明解的下列差分公式是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。11. 導(dǎo)出具有下列形式的三階方法：12. 將下列方程化為一階方程組：1）2）3）13. 取h=0.25，用差分方法解邊值問題14. 對方程可建立差分公式試用這一公式求解初值問題驗(yàn)證計(jì)算解恒等于準(zhǔn)確解15. 取h=0.2用差分方法解邊值問題第六章

13、方程求根1. 用二分法求方程的正根，要求誤差0.05。2. 用比例求根法求在區(qū)間0,1內(nèi)的一個根，直到近似根滿足精度時終止計(jì)算。3. 為求方程在附近的一個根，設(shè)將方程改寫成下列等價形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。1），迭代公式；2），迭代公式；3），迭代公式。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。4. 比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量；1）在區(qū)間0,1內(nèi)用二分法；2) 用迭代法，取初值。5. 給定函數(shù)，設(shè)對一切存在且，證明對于范圍內(nèi)的任意定數(shù)，迭代過程均收斂于的根。6. 已知在區(qū)間a,b內(nèi)只有一根，而當(dāng)axb時，試問如何將化為適于迭代的形式？將化為適于迭代的形式，

14、并求x=4.5（弧度）附近的根。7. 用下列方法求在附近的根。根的準(zhǔn)確值1.87938524，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。1) 用牛頓法；2）用弦截法，取；3）用拋物線法，取。8. 用二分法和牛頓法求的最小正根。9. 研究求的牛頓公式證明對一切且序列是遞減的。10. 對于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。11. 試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：1) 2) 12. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。13. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。14. 應(yīng)用牛頓法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求15. 證明迭代公式是計(jì)算的三階方法。假定初

15、值充分靠近根，求第七章 解線性方程組的直接方法1. 考慮方程組：(a) 用高斯消去法解此方程組（用四位小數(shù)計(jì)算），(b) 用列主元消去法解上述方程組并且與(a)比較結(jié)果。2. (a) 設(shè)A是對稱陣且，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為證明A2是對稱矩陣。 (b)用高斯消去法解對稱方程組：4. 設(shè)A為n階非奇異矩陣且有分解式A=LU，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，求證A的所有順序主子式均不為零。5. 由高斯消去法說明當(dāng)時，則A=LU，其中L為單位下三角陣，U 為上三角陣。6. 設(shè)A 為n階矩陣，如果稱A為對角優(yōu)勢陣。證明：若A是對角優(yōu)勢陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A具有形式。7. 設(shè)A是對稱正定

16、矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為，其中證明 （1）A的對角元素（2）A2是對稱正定矩陣；（3）（4）A的絕對值最大的元素必在對角線上；（5）（6）從（2），（3），（5）推出，如果，則對所有k8. 設(shè)為指標(biāo)為k的初等下三角陣，即（除第k列對角元下元素外，和單位陣I相同）求證當(dāng)時，也是一個指標(biāo)為k的初等下三角陣，其中為初等排列陣。9. 試推導(dǎo)矩陣A的Crout分解A=LU的計(jì)算公式，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣。10. 設(shè)，其中U為三角矩陣。(a) 就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫出算法。(b) 計(jì)算解三角形方程組的乘除法次數(shù)。(c) 設(shè)U為非奇異陣，試推導(dǎo)求的計(jì)算公式。1

17、1. 證明（a）如果A是對稱正定陣，則也是正定陣；（b）如果A是對稱正定陣，則A可唯一寫成,其中L是具有正對角元的下三角陣。12. 用高斯約當(dāng)方法求A的逆陣：13. 用追趕法解三對角方程組，其中14. 用改進(jìn)的平方根法解方程組15. 下述矩陣能否分解為LU（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一？16. 試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組.17. 如果方陣A 有，則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè)A滿足三角分解條件，試推導(dǎo)的計(jì)算公式，對1） ；2） .18. 設(shè)，計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。19. 求證(a) ，(b) 。20. 設(shè)

18、且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。試證明是上的一種向量范數(shù)。21. 設(shè)為對稱正定陣，定義，試證明為上向量的一種范數(shù)。22. 設(shè)，求證。23. 證明：當(dāng)且盡當(dāng)x和y線性相關(guān)且時，才有。24. 分別描述中（畫圖）。25. 令是（或）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實(shí)（或復(fù)）矩陣，定義范數(shù)，證明。26. 設(shè)為上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)，使對一切滿足27. 設(shè)，求證與特征值相等，即求證。28. 設(shè)A為非奇異矩陣，求證。29. 設(shè)A為非奇異矩陣，且，求證存在且有估計(jì)30. 矩陣第一行乘以一數(shù)，成為。證明當(dāng)時，有最小值。31. 設(shè)A為對稱正定矩陣，且其分解為，其中，求證(a) (b) 32.

19、 設(shè)計(jì)算A的條件數(shù)。33. 證明：如果A是正交陣，則。34. 設(shè)且為上矩陣的算子范數(shù)，證明。第八章 解方程組的迭代法1. 設(shè)方程組 (a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德爾迭代法解此方程組的收斂性;(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德爾迭代法解此方程組,要求當(dāng)時迭代終止2. 設(shè), 證明:即使級數(shù)也收斂3. 證明對于任意選擇的A, 序列收斂于零. 設(shè)方程組迭代公式為求證: 由上述迭代公式產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是5. 設(shè)方程組(a) (b) 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯-塞德爾迭代法的收斂性。6. 求證的充要條件是對任何向量x，都有7. 設(shè)，其中A對稱正定，問解此方程組的雅可比迭代法是

20、否一定收斂？試考察習(xí)題5(a)方程組。8. 設(shè)方程組(a) 求解此方程組的雅可比迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(b) 求解此方程組的高斯塞德爾迭代法的迭代矩陣的譜半徑；(c) 考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯塞德爾迭代法的收斂性。9. 用SOR方法解方程組（分別取松弛因子）精確解要求當(dāng)時迭代終止，并且對每一個值確定迭代次數(shù)。10. 用SOR方法解方程組（取0.9）要求當(dāng)時迭代終止。11. 設(shè)有方程組，其中A為對稱正定陣，迭代公式試證明當(dāng)時上述迭代法收斂（其中）。12. 用高斯塞德爾方法解，用記的第i個分量，且。(a) 證明 ；(b) 如果，其中是方程組的精確解，求證：其中 。(c) 設(shè)A是對稱的

21、，二次型證明 。(d) 由此推出，如果A是具有正對角元素的非奇異矩陣，且高斯塞德爾方法對任意初始向量是收斂的，則A是正定陣。13. 設(shè)A與B為n階矩陣，A為非奇異，考慮解方程組其中。(a) 找出下列迭代方法收斂的充要條件(b) 找出下列迭代方法收斂的充要條件比較兩個方法的收斂速度。14. 證明矩陣對于是正定的，而雅可比迭代只對是收斂的。15. 設(shè)，試說明A為可約矩陣。16. 給定迭代過程，其中，試證明：如果C的特征值，則迭代過程最多迭代n次收斂于方程組的解。17. 畫出SOR迭代法的框圖。18. 設(shè)A為不可約弱對角優(yōu)勢陣且，求證：解的SOR方法收斂。19. 設(shè)，其中A為非奇異陣。(a) 求證為

22、對稱正定陣；(b) 求證。第九章 矩陣的特征值與特征向量計(jì)算1. 用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對應(yīng)的特征向量：(a) , (b) ,當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時迭代終止。2. 方陣T分塊形式為,其中為方陣，T稱為塊上三角陣，如果對角塊的階數(shù)至多不超過2，則稱T 為準(zhǔn)三角形形式，用記矩陣T的特征值集合，證明3. 利用反冪法求矩陣的最接近于6的特征值及對應(yīng)的特征向量。4. 求矩陣與特征值4對應(yīng)的特征向量。5. 用雅可比方法計(jì)算的全部特征值及特征向量，用此計(jì)算結(jié)果給出例3的關(guān)于p的最優(yōu)值。6. (a)設(shè)A是對稱矩陣，和是A的一個特征值及相應(yīng)的特征向量，又設(shè)P為一個正交陣，使證明的第一行和第一列除了外其

23、余元素均為零。 (b)對于矩陣,=9是其特征值，是相應(yīng)于9的特征向量，試求一初等反射陣P，使，并計(jì)算。7. 利用初等反射陣將正交相似約化為對稱三對角陣。8. 設(shè)，且不全為零，為使的平面旋轉(zhuǎn)陣，試推導(dǎo)計(jì)算第行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的計(jì)算公式。9. 設(shè)是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設(shè)y是的一個特征向量。(a)證明矩陣A對應(yīng)的特征向量是；(b)對于給出的y應(yīng)如何計(jì)算x？10. 用帶位移的QR方法計(jì)算(a) , (b) 全部特征值。11. 試用初等反射陣A分解為QR，其中Q為正交陣，R為上三角陣，。數(shù)值分析習(xí)題答案第一章 緒論習(xí)題參考答案1 （lnx）。2 。3 有5位有效數(shù)字，有2位

24、有效數(shù)字，有4位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，有2位有效數(shù)字。4 。5 。6 。7 ，。8 。9 ，故t增加時S的絕對誤差增加，相對誤差減小。10 ，計(jì)算過程不穩(wěn)定。11 ，如果令，則，的結(jié)果最好。12 ，開平方時用六位函數(shù)表計(jì)算所得的誤差為，分別代入等價公式中計(jì)算可得，。13 方程組的真解為，而無論用方程一還是方程二代入消元均解得，結(jié)果十分可靠。第二章 插值法習(xí)題參考答案1. ；.2. .3. 線性插值：取，則； 二次插值：取，則0.616707 .4. ，其中.所以總誤差界 .5. 當(dāng) 時，取得最大值 .6. i) 對在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，則有由于，故有. ii) 構(gòu)造函數(shù)在處進(jìn)行n次拉格

25、朗日插值，有.插值余項(xiàng)為 ，由于 故有令即得 .7. 以a, b兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)作的一次插值多項(xiàng)式，據(jù)余項(xiàng)定理，由于故8. 截?cái)嗾`差 其中 則時取得最大值 .由題意， 所以，9. 則可得， ，則可得10. 數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)時，為m1次多項(xiàng)式；假設(shè) 是m-k 次多項(xiàng)式，設(shè)為，則為m-(k+1)次多項(xiàng)式，得證。11. 右左12. 13. .14. 由于是的n個互異的零點(diǎn)，所以對求導(dǎo)得，則 ，記則 由以上兩式得15. i) . ii) 證明同上。16. 17. 即均為的二重零點(diǎn)。因而有形式：作輔助函數(shù)則 由羅爾定理，存在使得類似再用三次羅爾定理，存在使得 又 可得 即 18. 采用牛頓插值，作均差表：一

26、階均差二階均差01201110-1/2又由 得 所以 19. 記 則因?yàn)椋栽谏弦恢逻B續(xù)。當(dāng)時，此時有由定義知當(dāng)時，在上一致收斂于。20. 在每個小區(qū)間上表示為計(jì)算各值的C程序如下：#includestdio.h#includemath.hfloat f(float x) return(1/(1+x*x);float I(float x,float a,float b) return(x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b);void main() int i; float x11,xc,xx; x0=-5; printf(x0=%fn,x0); for(i=1;i=

27、10;i+) xi=xi-1+1; printf(x%d=%fn,i,xi); for(i=0;i10;i+) xc=(xi+xi+1)/2; I(xc,xi,xi+1); printf(I%d=%fn,i+1,I(xc,xi,xi+1); for(i=0;i0，0，則對任意，均有不等式。26 若，則就有，可推出即，同理可以推出，綜合這兩點(diǎn)即可得。27 。28 ，則，故存在，。29 ，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，有最小值7。30 (a) ，(b),，。31 ，。32 。33 。第八章 解線性方程組的迭代法習(xí)題參考答案1. (a) Jacobi迭代矩陣特征方程為 特征根均小于1，Jacobi迭代法收斂。G

28、auss-Seidel迭代矩陣特征方程為 特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收斂。(b) Jacobi迭代格式為其中B如上，迭代18次得，Gauss-Seidel迭代格式為其中G如上，迭代8次得。2. 證： ，則 故，因此，即級數(shù)收斂。3. 證： 設(shè)，一方面，另一方面，因此，即序列收斂于零。4. 證：由已知迭代公式得迭代矩陣則特征多項(xiàng)式為 解得 ，向量序列收斂的充要條件是 ，即 。5. (a) 譜半徑，Jacobi迭代法不收斂； 矩陣A對稱正定，故Gauss-Seidel迭代法收斂。 (b) 譜半徑，Jacobi迭代法收斂； 譜半徑，Gauss-Seidel迭代法不收斂；6. 證：

29、必要性 ，則 ，對任意向量，有 因而有 ，即。充分性 因?qū)θ魏蜗蛄?，都有，令，則即當(dāng)時，的任一列向量的極限為A的對應(yīng)的列向量，因而有。7. A對稱正定，Jacobi迭代法不一定收斂，如題5(a)。8. (a) Jacobi迭代矩陣的譜半徑；(b) Gauss-Seidel迭代矩陣的譜半徑；(c) 兩種方法的譜半徑均小于1，所以兩種方法均收斂。事實(shí)上，對于方程組，矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)則Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收斂。9. 取，迭代公式為使當(dāng)時迭代終止，取時，迭代5次達(dá)到；取時，迭代6次達(dá)到；取時，迭代6次達(dá)到。10. 迭代公式為取，迭代8次達(dá)到精度要求。11. 證：所給迭代公式的迭代矩陣為，其n個特征值分別為，當(dāng)時，有，因而，迭代法收斂。12. 證：(a) 即為Gauss-Seidel迭代格式。 (b) 由及，可得；其中，。 (c) (d)13. (a) 由已知，有，及，則 ，即由到的迭代矩陣為，所以由到的迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。 (b) 由已知可推得，所以迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。由迭代矩陣可以看出，(b)迭代法的收斂速度是