小學奧數三角形的等積變形(附答案)

1、小學奧數三角形的等積變形我們已經掌握了三角形面積的計算公式：三角形面積=底*高+2這個公式告訴我們：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.如果三角形的底不變，高越大（?。?，三角形面積也就越大（小）.同樣若三角形的高不變，底越大（小），三角形面積也就越大（?。?這說明；當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化.但是，當三角形的底和高同時發(fā)生變化時，三角形的面積不一定變化.比如當高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼淖顒t三角形面積與原來的一樣.這就是說：一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化.同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無

2、數多個不同的形狀.本講即研究面積相同的三角形的各種形狀以及它們之間的關系.為便于實際問題的研究，我們還會常常用到以下結論：等底等高的兩個三角形面積相等.底在同一條直線上并且相等，該底所對的角的頂點是同一個點或在與底平行的直線上，這兩個三角形面積相等.若兩個三角形的高（或底）相等，其中一個三角形的底（或高）是另一個三角形的幾倍，那么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍.例如在右圖中,若AABD與AEC的底邊相等（KD=DE=EC=1bC）3,它們所對的頂點同為A點，（也就是它們的高相等）那么這兩個三角形的面積相等.同時也可以知道ABC的面積是ABD或4AEC面積的3倍.例如在右圖中，ABC

3、與4DBC的底相同（它彳門的底都是BQ,它所對的兩個頂點AD在與底BC平行的直線上，（也就是它們的高相等），那么這兩個三角形的面積相等.B/例如右圖中，ABC與DBC勺底相同（它彳門的底都是BCC,ABC的高是DBC高的2倍（D是AB中點，AB=2BD有AH=2DE,貝1!4ABC的面積是DBC面積的2倍.上述結論，是我們研究三角形等積變形的重要依據.例1用三種不同的方法，把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形.方法L如右圖，將EC邊四等分（BD二DE二EF=FC=1EC）.連結4AD.AE.AK則ABD.ADE、AAERAAFC等積.方法2:如右圖，先將BC二等分，分點D、連結AD,得到兩

4、個等積三角形，即ABD與ADC等積.然后取AGAB中點E、F,并連結DEDF.以而得到四個等積三角形，即4ADFBDRDCEMDE等積.%方法3：如右圖，先將EC四等分，即5D二9EC連結&D,再將AD三1等分，即AL=EF=ED連結CE、CF,從而得到四個等積的三角形,即ABD.ACDECEEACE等積.例2用三種不同的方法將任意一個三角形分成三個小三角形，使它們的面積比為及1：3：4.方法1:如下左圖，將BC邊八等分，取1：3：4的分點DE,連結ADAE,從而彳#到4ABDADE4AEC的面積比為1：3：4.方法3如上右圖，先取BC中點D,再取AB的;分點E,連結AIXDE,從而得

5、到三個三角形：ADE4BDEACD其面積比為1：3：4.方法美如右圖，先取AB中點D,隹結6,再取CD上/分點E,坦吉AE,從而得到三個三角形jACE.ZiADE、ABCD,其回積比為1:3；4.當然本題還有許多種其他分法，同學們可以自己尋找解決.例3如右圖，在梯形ABCD43,AC與BD是對角線，其交點O,求證：AO*ACO而積相等.證明：.ABC<DBC?底等高，S；AABC=SDBC又SAAOB=SABC-$BOCSDOC=SDBC-SABOC SAAOB=SCOD例4如右圖，把四邊形ABC/成一個等積的三角形.分析本題有兩點要求，一是把四邊形改成一個三角形，二是改成的三角形與原四

6、邊形面積相等.我們可以利用三角形等積變形的方法，如右圖，把頂點A移到CB的延長線上的A處，A'BD與4ABD面積相等，從而A'DC面積與原四邊形ABCD1積也相等.這小就把四邊形ABC*積地改成了三角形ADC問題是A位置的選擇是依據三角形等積變形原則.過A作一條和DB平行的直線與CB的延長線交于A'點.解：連結BD;過A作BD的平行線，與CB的延長線交于A.連結AD,則ACD與四邊形ABC可積.ABC的面例5如右圖，已知在ABC中，BE=3AECD=2AD若ADE的面積為1平方厘米.求三角形積.解法1:連結BD在ABD中 BE=3AE, SAABD=4J3XADE=4（

7、平方厘米）.在ABC中，CD=2ADSABC=3SXABD=3X4=12（平方厘米）.解法2:連結CE如右圖所示，在ACE中, CD=2AD SAACE=3SADE=3（平方厘米）.在ABC中，BE=3AE SAABC=4SXACE=4X3=12（平方厘米）.例6如下頁圖，在ABC中，BD=2ADAG=2CG求陰影部分面積占三角形ABC面積的幾分之幾?BE=EF=FC=$解：連結BG在ABG中,7BD=2AD,在AABC中,TAG=2CGS21同理,ARDI：=岫（J，函SAADG+SBDE+SCFG=（W3s=ls,陰影部分面積=（1如.亭.例7如右圖，ABCM平行四邊形，EF平行AC,如果

8、ADE的面積為4平方厘米.求三角形CDF的面積.解：連結AF、CESAADE=J3ACE;SACDF=SACF又AC與EF平行，SAACE=SACF;SADE=SCDF=4（平方厘米）.例8如右圖，四邊形ABC面積為1,且AB=AEBC=BFDC=CGAD=DH求四邊形EFGH勺面積.E解：連結BD,將四邊形ABCM成兩個部分S1與S2.連結FD,有$FBD=SXDBC=S1所以SACGF=SDFC=2S1同理SAAEH=2S2因此SAAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2X1=2.同理，連結AC之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四邊形EFGH的面積為2+2+1=5（平方單位）.例9如右圖，在平行四邊形ABCD43,直線CF交AB于E,交DA延長線于F,若SAADE=1求BEF的面積.解：連