（三管齊下）貴州省2014屆高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)試題55 曲線與方程 理（含解析）新人教A版

1、55曲線與方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 了解曲線的方程與方程的曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系自主梳理1曲線的方程與方程的曲線在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)_都是這個(gè)方程的_(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是_，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線2平面解析幾何研究的兩個(gè)主要問題(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)3求曲線方程的一般方法(五步法)求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示_；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M

2、的集合P_；(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0為_；(5)說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在_自我檢測(cè)1(2011·湛江月考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線2x2y0上移動(dòng)，則點(diǎn)A(0，1)與點(diǎn)P連線中點(diǎn)的軌跡方程是()Ay2x2 By8x2C2y8x21 D2y8x212一動(dòng)圓與圓O：x2y21外切，而與圓C：x2y26x80內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是()A雙曲線的一支 B橢圓C拋物線 D圓3(2011·佛山模擬)已知直線l的方程是f(x，y)0，點(diǎn)M(x0，y0)不在l上，則方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲線是()A直線l

3、 B與l垂直的一條直線C與l平行的一條直線 D與l平行的兩條直線4若M、N為兩個(gè)定點(diǎn)且|MN|6，動(dòng)點(diǎn)P滿足·0，則P點(diǎn)的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線5(2011·江西)若曲線C1：x2y22x0與曲線C2：y(ymxm)0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，) B(，0)(0，)C， D(，)(，)探究點(diǎn)一直接法求軌跡方程例1動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(a,0)，B(a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點(diǎn)P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線變式遷移1已知兩點(diǎn)M(2,0)、N(2,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|·0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為

4、_探究點(diǎn)二定義法求軌跡方程例2(2011·包頭模擬)已知兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|4.動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線變式遷移2在ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B，C，且滿足條件sin Csin Bsin A，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是()A.1 (y0)B.1 (x0)C.1 (y0)的左支D.1 (y0)的右支探究點(diǎn)三相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程例3如圖所示，從雙曲線x2y21上一點(diǎn)Q引直線xy2的垂線，垂足為N.求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程變式遷移3已知長為1的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、

5、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P是AB上一點(diǎn)，且.求點(diǎn)P的軌跡C的方程分類討論思想的應(yīng)用例(12分)過定點(diǎn)A(a，b)任作互相垂直的兩直線l1與l2，且l1與x軸交于點(diǎn)M，l2與y軸交于點(diǎn)N，如圖所示，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程多角度審題要求點(diǎn)P坐標(biāo)，必須先求M、N兩點(diǎn)，這樣就要求直線l1、l2，又l1、l2過定點(diǎn)且垂直，只要l1的斜率存在，設(shè)一參數(shù)k1即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再消去k1即得點(diǎn)P軌跡方程【答題模板】解(1)當(dāng)l1不平行于y軸時(shí)，設(shè)l1的斜率為k1，則k10.因?yàn)閘1l2，所以l2的斜率為，l1的方程為ybk1(xa)，l2的方程為yb(xa)，在中令y0，得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1a，4分在

6、中令x0，得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1b，6分設(shè)MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則有消去k1，得2ax2bya2b20 (x)8分(2)當(dāng)l1平行于y軸時(shí)，MN中點(diǎn)為，其坐標(biāo)滿足方程.綜合(1)(2)知所求MN中點(diǎn)P的軌跡方程為2ax2bya2b20.12分【突破思維障礙】引進(jìn)l1的斜率k1作參數(shù)，寫出l1、l2的直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，本題還要注意直線l1的斜率是否存在【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】當(dāng)AMx軸時(shí)，AM的斜率不存在，此時(shí)MN中點(diǎn)為，易錯(cuò)點(diǎn)是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點(diǎn).1求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系

7、，這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表達(dá)成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程一般有建系設(shè)點(diǎn)，列式，代換，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略(2)定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程(3)代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表達(dá)或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x，y表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法(4)參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接

8、找出動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程2本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)容易忽略直線斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線方程時(shí)，應(yīng)考慮是否符合曲線的定義(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果M是線段F1P的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線的一支 D拋物線2(2011·唐山模擬)已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|3，|CB|CA|2，則點(diǎn)C的軌跡為()A雙曲線 B雙曲線的一支C橢圓 D線段3長為3的線段AB的端點(diǎn)A、B分別在x軸

9、、y軸上移動(dòng)，2，則點(diǎn)C的軌跡是()A線段 B圓 C橢圓 D雙曲線4(2011·銀川模擬)如圖，圓O：x2y216，A(2，0)，B(2,0)為兩個(gè)定點(diǎn)直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線以直線l為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)所在的軌跡是()A雙曲線 B橢圓C拋物線 D圓5已知F1、F2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|MF2|2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線的一個(gè)分支C兩條射線 D一條射線二、填空題(每小題4分，共12分)6已知兩定點(diǎn)A(2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于_7(2011·

10、泰安月考)已知ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_8平面上有三點(diǎn)A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_三、解答題(共38分)9(12分)已知拋物線y24px (p>0)，O為頂點(diǎn)，A，B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OAOB，如果OMAB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程10(12分)(2009·寧夏，海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.(1)求橢圓C的方程；(2)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的一點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌

11、跡是什么曲線11(14分)(2011·石家莊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以F1(0，)和F2(0，)為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且.求：(1)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)|的最小值55曲線與方程自主梳理1(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)解(2)曲線上的點(diǎn)3.(1)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(2)M|p(M)(4)最簡(jiǎn)形式(5)曲線上自我檢測(cè)1C2.A3.C4.A5BC1：(x1)2y21，C2：y0或ymxmm(x1)當(dāng)m0時(shí)，C2：y0，此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，要滿足題意，需圓(x1)

12、2y21與直線ym(x1)有兩交點(diǎn)，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，m±，即直線處于兩切線之間時(shí)滿足題意，則<m<0或0<m<.綜上知<m<0或0<m<.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引在判斷含參數(shù)的方程所表示的曲線類型時(shí)，不能僅僅根據(jù)方程的外表草率地作出判斷；由于已知條件中，直線PA、PB的斜率存在，因此軌跡曲線應(yīng)除去A、B兩點(diǎn)；一般地，方程1所表示的曲線有以下幾種情況：1°A>B>0，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；2°AB>0，表示圓；3°0<A<B，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；4°A>0&

13、gt;B，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；5°A<0<B，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；6°A，B<0，無軌跡解設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則kAP，kBP.由題意得·k，即kx2y2ka2.點(diǎn)P的軌跡方程為kx2y2ka2 (x±a)(*)(1)當(dāng)k0時(shí)，(*)式即y0，點(diǎn)P的軌跡是直線AB(除去A、B兩點(diǎn))(2)當(dāng)k0時(shí)，(*)式即1，若k>0，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去A、B兩點(diǎn))若k<0，(*)式可化為1.1°當(dāng)1<k<0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去A、B兩點(diǎn))；2°當(dāng)k1時(shí)，(*

14、)式即x2y2a2，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，|a|為半徑的圓(除去A、B兩點(diǎn))；3°當(dāng)k<1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去A、B兩點(diǎn))變式遷移1y28x解析由題意：(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|·0，·(x2)·4y·00，移項(xiàng)兩邊平方，化簡(jiǎn)得y28x.例2解題導(dǎo)引(1)由于動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)O1、O2的距離的差為常數(shù)，故應(yīng)考慮是否符合雙曲線的定義，是雙曲線的一支還是兩支，能否確定實(shí)軸長和虛軸長等，以便直接寫出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標(biāo)轉(zhuǎn)化；(2)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡或軌跡方程時(shí)需注意：“軌跡”和“軌跡方程”是兩個(gè)不同

15、的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)解如圖所示，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由|O1O2|4，得O1(2,0)、O2(2,0)設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|r1；由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3<4.點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點(diǎn)M的軌跡方程為1 (x<0)變式遷移2Dsin Csin Bsin A，由正弦定理得到|AB|AC|BC|a(定值)A點(diǎn)軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線右支，其中實(shí)半軸長為，焦距為|B

16、C|a.虛半軸長為 a，由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得為1 (y0)的右支例3解題導(dǎo)引相關(guān)點(diǎn)法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移(代入)法，是求軌跡方程常用的方法其題目特征是：點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)相關(guān)，且點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律(有方程)，只需將A的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到B的坐標(biāo)中，整理即可得點(diǎn)A的軌跡方程解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x1，y1)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2xx1,2yy1)N在直線xy2上，2xx12yy12.又PQ垂直于直線xy2，1，即xyy1x10.聯(lián)立解得又點(diǎn)Q在雙曲線x2y21上，xy1.代入，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是2x22y22x2y10.變式遷移3解設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，又(xx0

17、，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)得x0x，y0(1)y.因?yàn)閨AB|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化簡(jiǎn)得y21.點(diǎn)P的軌跡方程為y21.課后練習(xí)區(qū)1B如圖所示，由題知|PF1|PF2|2a(設(shè)橢圓方程為1，其中a>b>0)連接MO，由三角形的中位線可得|F1M|MO|a (a>|F1O|)，則M的軌跡為以F1、O為焦點(diǎn)的橢圓2BA、B是兩個(gè)定點(diǎn)，|CB|CA|2<|AB|，所以點(diǎn)C軌跡為雙曲線的一支3C設(shè)C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.4B設(shè)拋物線的焦

18、點(diǎn)為F，因?yàn)锳、B在拋物線上，所以由拋物線的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準(zhǔn)線l的距離AM、BN(如圖所示)，于是|AF|BF|AM|BN|.過O作ORl，由于l是圓O的一條切線，所以四邊形AMNB是直角梯形，OR是中位線，故有|AF|BF|AM|BN|2|OR|8>4|AB|.根據(jù)橢圓的定義知，焦點(diǎn)F的軌跡是一個(gè)橢圓5D因?yàn)閨F1F2|2，|MF1|MF2|2，所以軌跡為一條射線64解析設(shè)P(x，y)，由題知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24，可知圓的面積為4.7(x10)2y236 (y0)解析方法一直接法設(shè)A(x，y

19、)，y0，則D，|CD| 3.化簡(jiǎn)得(x10)2y236，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，A不能落在x軸上，即y0.方法二定義法如圖所示，設(shè)A(x，y)，D為AB的中點(diǎn)，過A作AECD交x軸于E，則E(10,0)|CD|3，|AE|6，A到E的距離為常數(shù)6.A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓，即(x10)2y236.又A、B、C不共線，故A點(diǎn)縱坐標(biāo)y0.故A點(diǎn)軌跡方程為(x10)2y236 (y0)8y28x解析，.，·0，得2·x·0，得y28x.9解設(shè)M(x，y)，直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxb.由OMAB得k.設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，由y24px及ykxb消去y，得k2x2x(2kb4p)b20，所以x1x2.消去x，得ky24py4pb0，所以y1y2.(4分)由OAOB，得y1y2x1x2，所以，b4kp.故ykxbk(x4p)(8分)用k代入，得x2y24px0 (x