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1、13.2畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形1軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)(1)由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l成軸對(duì)稱(chēng)的圖形,所得圖形與原圖形全等(2)新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(3)連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分理解:軸對(duì)稱(chēng)變換的過(guò)程是一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中,對(duì)稱(chēng)軸變化時(shí)得到的圖形的方向和位置也會(huì)發(fā)生變化,正是因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸的不斷變化,才形成了絢麗多姿的、美麗的軸對(duì)稱(chēng)圖案談重點(diǎn) 軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的理解軸對(duì)稱(chēng)和平移一樣,是圖形變換中的一種,它也可以看成一個(gè)圖形沿某條直線翻折180°得到的圖形;成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)都可以看作是另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換得到的;一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)
2、圖形也可以看作以其中一部分為基礎(chǔ),經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)擴(kuò)展變化而成的,隨著對(duì)稱(chēng)軸的變化,圖形也在變化,根據(jù)不同需要,不斷變換對(duì)稱(chēng)軸,就可以設(shè)計(jì)出精美的軸對(duì)稱(chēng)圖案【例1】 在由四個(gè)相同的小正方形組成的“7”字形圖中,請(qǐng)你添畫(huà)一個(gè)小正方形,使它成為軸對(duì)稱(chēng)圖形,并用虛線畫(huà)出所得軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸要求在圖中畫(huà)出三種不同的設(shè)計(jì)方案分析:本題是一道關(guān)于添圖補(bǔ)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的題目,根據(jù)圖形的特征,可以從上下對(duì)折、左右對(duì)折以及斜著對(duì)折三個(gè)方面思考補(bǔ)圖的方法解:如圖,下面給出三種不同方法2畫(huà)已知圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形(1)依據(jù):如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng),據(jù)此我們通過(guò)作出已知點(diǎn)
3、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的方法作出已知圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形(2)方法:選擇一些特殊的點(diǎn);過(guò)這些點(diǎn)分別作已知直線(對(duì)稱(chēng)軸)的垂線,并在垂線上找到一些點(diǎn)(截取),使得這些點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離分別相等,從而得到已知點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn);順次連接這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)得到的圖形,即為已知圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形解技巧 作幾何圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的圖形由于幾何圖形都可以看作由若干點(diǎn)組成的,所以只要作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn),再連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn),就可以得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形,如:三角形、平行四邊形、梯形等,只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段的端點(diǎn)、三角形的頂點(diǎn)等)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn),就可以得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形【例2
4、】 如圖所示,已知ABC和直線MN.求作:A1B1C1使A1B1C1和ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)分析:三點(diǎn)確定一個(gè)三角形,只要確定ABC的頂點(diǎn)A、B、C關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、B1、C1,即可作出A1B1C1,其中C點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是它本身解:如圖所示作法:(1)過(guò)A作MN的垂線,垂足為O,在垂線上截取A1OAO,點(diǎn)A1就是A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn);(2)同樣做出B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1,C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1是它本身;(3)連接A1、B1、C1,A1B1C1即為所求3關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),即橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的
5、坐標(biāo)為(x,y),即橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相同解技巧 關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)可以簡(jiǎn)單記為“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)誰(shuí)不變”,理解為關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),橫坐標(biāo)x的值不變,關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),縱坐標(biāo)y的值不變【例3】 (1)點(diǎn)(2,4)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是_,關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是_;(2)如果A(a1,3),A(4,b2)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則a_,b_.解析:(1)直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律,變換縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)的值得出(2)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),所以a14,b23,解得a5,b1.答案:(1)(2,4)(2,4
6、)(2)514平面直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(chēng)(1)意義:根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律,可以作出一個(gè)圖形關(guān)于x、y軸的對(duì)稱(chēng)圖形(2)方法:先求出已知圖形中一些特殊點(diǎn)關(guān)于x軸(或y軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo),描出這些點(diǎn),并順次連接,就可得到這個(gè)圖形關(guān)于x軸(或y軸)的對(duì)稱(chēng)圖形【例4】 如圖,寫(xiě)出ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo),并畫(huà)出ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的A1B1C1,寫(xiě)出A1B1C1各點(diǎn)坐標(biāo)分析:寫(xiě)出ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律,分別求出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo),描出這些點(diǎn),并順次連接,即可得到A1B1C1.解:(1)由圖可知,ABC各頂點(diǎn)的坐
7、標(biāo)為A(3,2),B(4,3),C(1,1);(2)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo)分別是(3,2),(4,3),(1,1)在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)A1,B1,C1,并順次連接,如圖所示,A1B1C1即為所求5軸對(duì)稱(chēng)圖形的畫(huà)法應(yīng)用已知一個(gè)圖形和一條直線,可以作出這個(gè)圖形關(guān)于這條直線的對(duì)稱(chēng)圖形,關(guān)鍵在于選擇特殊的點(diǎn),作出這些點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),順次連接即可得到已知圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形,由于幾何圖形是由點(diǎn)組成的,選擇的點(diǎn)越多,圖形越準(zhǔn)確隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的推廣,用幾何畫(huà)板、畫(huà)圖板、粘貼等手段能畫(huà)出更準(zhǔn)確的軸對(duì)稱(chēng)圖形6平面直角坐標(biāo)系中軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用平面直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)用主要有三種情況:由給定的點(diǎn)的坐標(biāo)求
8、這點(diǎn)關(guān)于x軸或y軸的點(diǎn)的坐標(biāo);已知兩點(diǎn)關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱(chēng),求坐標(biāo)或坐標(biāo)中未知數(shù)的值;已知坐標(biāo)系中的一個(gè)圖形,畫(huà)出此圖形關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱(chēng)的圖形析規(guī)律 作一個(gè)圖形關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的圖形關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律是解決這三類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵,根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相同”求出坐標(biāo)、描點(diǎn)、畫(huà)出圖形或列出相關(guān)式子解決問(wèn)題【例5】 如圖1是由一個(gè)圓、一個(gè)半圓和一個(gè)三角形組成的圖形,請(qǐng)你以直線AB為對(duì)稱(chēng)軸,把原圖補(bǔ)成軸對(duì)稱(chēng)圖形分析:半圓的對(duì)稱(chēng)圖形還是半圓,三角形的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)有兩點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上,只要找到P點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q即可解
9、:(1)以O(shè)為圓心,以O(shè)C的長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓;(2)過(guò)P作AB的垂線,垂足為D,在垂線上截取QDPD,連接CQ,如圖2所示即為所求【例61】 已知M(a2,b1)與N(b3,a2)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),求ab的值分析:由關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律,先列方程組求出a,b的值,再計(jì)算ab的值解:由題意,得解得所以ab3.點(diǎn)撥:也可由b1(a2)直接得ab3.【例62】 已知點(diǎn)P(2m3,3m)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在第二象限,試確定整數(shù)m的值分析:本例并非直接利用坐標(biāo)的變化規(guī)律來(lái)解題,而是考查對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的位置,根據(jù)點(diǎn)所在的象限列不等式組去求解解:由于點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第二象限,則點(diǎn)P在第一象限,所以解得m3,因?yàn)?/p>
10、m為整數(shù),所以m2.7軸對(duì)稱(chēng)圖形設(shè)計(jì)日常生活中有很多圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,這些圖形給我們以美的視覺(jué)享受,使我們的生活變得更加絢麗多彩,實(shí)際上這許許多多精美的圖案很多是由一些簡(jiǎn)單的圖形通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變化得到的,一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形,通過(guò)不斷的軸對(duì)稱(chēng)變換,就會(huì)變得豐富多彩,絢麗多姿,就像我們的民間剪紙藝術(shù),也是通過(guò)折疊、剪裁、展開(kāi)得到美麗圖案的對(duì)稱(chēng)軸不同,變化的方向和位置就不同,從而變化出各種圖案隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的推廣,我們可以通過(guò)復(fù)制、粘貼、翻折等方法制作出更復(fù)雜、美麗的軸對(duì)稱(chēng)圖形,甚至讓它們動(dòng)起來(lái)8軸對(duì)稱(chēng)中的剪紙問(wèn)題剪紙藝術(shù)是我國(guó)最美麗的民間藝術(shù)之一,而剪紙中的軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題也是近幾年中考的熱點(diǎn),它重點(diǎn)考查同學(xué)們
11、動(dòng)手操作能力、空間想象能力,同時(shí)也考查對(duì)軸對(duì)稱(chēng)圖形有關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)此類(lèi)題目大多是將長(zhǎng)方形或正方形紙片通過(guò)折疊、剪裁,觀察展開(kāi)后得到的圖形此類(lèi)題目往往經(jīng)過(guò)多次軸對(duì)稱(chēng)變換,展開(kāi)后變化較大,因而要注意觀察,抓住主要特點(diǎn)識(shí)別9點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線xm,直線yn對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)是關(guān)于某條直線的對(duì)稱(chēng),在平面直角坐標(biāo)系中,除了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)外,圖形還能關(guān)于平行于x軸、y軸的任意一條直線軸對(duì)稱(chēng),并且坐標(biāo)變化規(guī)律也不盡相同但不論關(guān)于任何一條直線軸對(duì)稱(chēng),它們都是軸對(duì)稱(chēng),都具備軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì),我們?nèi)匀荒芨鶕?jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì),發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律,畫(huà)出軸對(duì)稱(chēng)圖形,得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)析規(guī)律 關(guān)于直線xm的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系點(diǎn)(x,y
12、)關(guān)于直線xm對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系是:兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于2m,即所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)x12mx,縱坐標(biāo)不變;關(guān)于直線yn對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系是:橫坐標(biāo)不變,兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)縱坐標(biāo)之和等于2n,即所求點(diǎn)的縱坐標(biāo)y12ny.【例7】 (方案設(shè)計(jì)題)如圖,在網(wǎng)格中有兩個(gè)全等的圖形(陰影部分),你能用這兩個(gè)圖形拼成軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎,試分別在給出的圖(1)、圖(2)中畫(huà)出兩種不同的拼法分析:由于對(duì)稱(chēng)軸不同、圖形位置不同,得到的軸對(duì)稱(chēng)圖形也不同,我們可以用不同的網(wǎng)格線作為對(duì)稱(chēng)軸,來(lái)構(gòu)造不同的軸對(duì)稱(chēng)圖案這是一道開(kāi)放題,答案不唯一,同學(xué)們可以開(kāi)動(dòng)腦筋發(fā)揮你的想象力,繪制出不同的圖案解:下面提供部分答案,僅供參考,不同的畫(huà)法例舉如下(如圖所示):【例8】 (操作題)如圖,將正方形紙片按圖中(1)、(2)的方式依次對(duì)折后,再沿(3)中的虛線裁剪,最后將(4)中的紙片打開(kāi)鋪平,所得圖案應(yīng)該是下面圖案中的()解析:方法一:觀察圖形,是將正方形紙片折疊兩次,因此是兩次軸對(duì)稱(chēng),并且裁剪部位在折疊的最中間,展開(kāi)后中間應(yīng)是個(gè)小正方形,另一剪裁部位在最上邊沿,展開(kāi)后應(yīng)是原正方形上下邊沿的獨(dú)立缺口,所以只有B選項(xiàng)適合方法二:將所給四個(gè)選項(xiàng)分別先豎后橫依次折疊,再結(jié)合最后的剪裁綜合分析,A的剪裁既有上下,也有左右,也
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