橢圓雙曲線復(fù)習(xí)(含答案)

1、圓錐曲線復(fù)習(xí)班級(jí)姓名一、知識(shí)梳理1.橢圓的圖象和性質(zhì): 雙曲線的圖象與性質(zhì) 二.例題分析類型一:概念與基本性質(zhì)例1:(1過(guò)點(diǎn)(2,3-且與橢圓229436x y +=有共同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi) 2211510y x +=(2橢圓兩焦點(diǎn)為 1(4,0F -,2(4,0F ,P 在橢圓上,若 12PF F 的面積的最大值為12,則橢圓方程為( B A. 221169x y += B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 221254x y +=(3.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的2倍,且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( A A.y

2、24-x 24=1B.x 24-y 24=1C.y 24-x 29=1D.x 28-y 24=1 (4橢圓x 2+my 2=1的焦點(diǎn)在y 軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則m 等于( D A.12B .2C .4 D.14(5.雙曲線x 24-y212=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為( A A .2 3B .2 C. 3 D .1 (6如圖:從橢圓上一點(diǎn)M 向x 軸作垂線,恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)1F ,且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸的端點(diǎn)B 的連線AB OM , 則該橢圓的離心率等于 _ 2(7若雙曲線x 24-y 2m =1的漸近線方程為y =±32x ,則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_(±7,0(8

3、.若點(diǎn)O 和點(diǎn)F 分別為橢圓x 24+y 23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P 為橢圓上的任意一點(diǎn),則OP ·FP 的最大值為( A .2B .3C .6D .8解析:選 C.由題意,F (-1,0,設(shè)點(diǎn)P (x 0,y 0,則有x 204+y 203=1,所以y 20=3(1-x 204(-2x 02,因?yàn)镕P =(x 0+1,y 0,OP =(x 0,y 0,所以O(shè)P ·FP =x 0(x 0+1+y 20=x 204+x 0+3=14(x 0+22+2.因?yàn)?2x 02,所以當(dāng)x 0=2時(shí),OP ·FP 取得最大值為6.例2:4.設(shè)P 是橢圓x 2a 2+y 2b2

4、=1(a >b >0上的一點(diǎn),F 1,F 2是其左、右焦點(diǎn).已知F 1PF 2=60°,求橢圓離心率的取值范圍.解: 法一:根據(jù)橢圓的定義, 有|PF 1|+|PF 2|=2a ,在F 1PF 2中,由余弦定理得 cos 60°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|PF 2|=12,即|PF 1|2+|PF 2|2-4c 2=|PF 1|PF 2|.式平方得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|PF 2|=4a 2.由得|PF 1|PF 2|=4b 23.由和運(yùn)用基本不等式,得|PF 1|PF 2|(|PF 1|+|PF 2|

5、22,即4b 23a 2.由b 2=a 2-c 2,故43(a 2-c 2a 2,解得e =c a 12.又因e <1,所以該橢圓離心率的取值范圍為12,1.類型二:直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例3.(1直線y =x +1被橢圓x 24+y 22=1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是( A .(23,53B .(43,73C .(-23,13D .(-132,-172解析:選C.由y =x +1x 2+2y 2=4,消去y , 得3x 2+4x -2=0,設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為(x 1,y 1,(x 2,y 2, 中點(diǎn)坐標(biāo)為(x 中,y 中,則x 1+x 2=-43,x 中 =-23.從而y 中=x 中+1

6、=-23+1=13,中點(diǎn)坐標(biāo)為(-23,13.(2橢圓x23+y 2=1被直線x -y +1=0 所截得的弦長(zhǎng)|AB |=_.解析:由x -y +1=0x 23+y 2=1得交點(diǎn)為(0,1,-32,-12, 則|AB |= 322+1+122=322. 答案:322(3F 1,F 2是橢圓x 22+y 2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F 2作傾斜角為4的弦AB ,則F 1AB 的面積為_(kāi).解析:不妨設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F 2(1,0,A (x 1,y 1,B (x 2,y 2,則直線AB 的方程為y =x -1.由y =x -1x 22+y 2=1,得3x 2-4x =0, x 1=0,x 2=43.根據(jù)弦長(zhǎng)

7、公式得|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=423.橢圓的左焦點(diǎn)為F 1(-1,0到直線AB 的距離 d =|-1-0-1|1+1=2,S F 1AB =12d |AB |=12×2×423=43.答案:43(4橢圓x 23+y 2=1上的點(diǎn)到直線x -y +6=0的距離的最小值為d =|6-2|2=2 2.例4.已知雙曲線C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0的離心率為3,且a 2c =33.(1求雙曲線C 的方程;(2已知直線x -y +m =0與雙曲線C 交于不同的兩點(diǎn)A ,B ,且線段AB 的中點(diǎn)在圓x 2+y 2=5上,求m 的值

8、.解:(1由題意得a 2c =33ca =3,解得a =1c =3.所以b 2=c 2-a 2=2.所以雙曲線C 的方程為x 2-y 22=1.(2設(shè)A ,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x 1,y 1,(x 2,y 2,線段AB 的中點(diǎn)為M (x 0,y 0.由x -y +m =0x 2-y 22=1,x 2-2mx -m 2-2=0(判別式>0.所以x 0=x 1+x 22=m ,y 0=x 0+m =2m .因?yàn)辄c(diǎn)M (x 0,y 0在圓x 2+y 2=5上, 所以m 2+(2m 2=5. 故m =±1.例5. 已知橢圓x 28+y 22=1過(guò)點(diǎn)M (2,1,O 為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于

9、OM 的直線l 在y 軸上的截距為m (m 0.(1當(dāng)m =3時(shí),判斷直線l 與橢圓的位置關(guān)系;(2當(dāng)m =3時(shí),P 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P 到直線l 距離的最小值.解:(1由題可知k l =k OM =12,當(dāng)m =3時(shí),直線l 的方程為y =12x +3.由y =12x +3x 28+y22=1,得x 2+6x +14=0.=36-4×14=-20<0,原方程組無(wú)解,即直線l 和橢圓無(wú)交點(diǎn), 此時(shí)直線l 和橢圓相離.(2設(shè)直線a 與直線l 平行,且直線a 與橢圓相切,設(shè)直線a 的方程為y =12x +b ,聯(lián)立y =12x +b x 28+y22=1,得x 2+2bx +2

10、b 2-4=0,=(2b 2-4(2b 2-4=0, 解得b =±2,直線a 的方程為y =12x ±2.所求P 到直線l 的最小距離等于直線l 到直線y =12x +2的距離d =3-212+(122=255.例6.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,點(diǎn)P 到兩點(diǎn)(0,3、(0,-3的距離之和等于4.設(shè)點(diǎn)P 的軌跡為C .(1寫(xiě)出C 的方程;(2設(shè)直線y =kx +1與C 交于A 、B 兩點(diǎn),k 為何值時(shí)OA OB ?此時(shí)|AB |的值是多少? 解:(1設(shè)P (x ,y ,由橢圓定義可知,點(diǎn)P 的軌跡C 是以(0,-3,(0,3為焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸為a =2的橢圓,它的短半軸b =22

11、-(32=1,故曲線C 的方程為x 2+y 24=1.y ì ïx2 4 1 (2由í ï îykx1， 消去 y 并整理得(k24x22kx30， (2k24×(k24×(316(k23>0， 設(shè) A(x1，y1，B(x2，y2， 2k 3 則 x1x2 2 ，x1x2 2 . k 4 k 4 由OAOB，得 x1x2y1y20. 而 y1y2(kx11(kx21k2x1x2k(x1x21， 4k21 3 3k2 2k2 于是 x1x2y1y2 2 2 2 1 2 . k 4 k 4 k 4 k 4 4k21 1 由 2 0，得 k± ，此時(shí)OAOB. 2 k 4 1 4 12 當(dāng) k± 時(shí)，x1x2 ，x1x2 . 2 17 17 |AB| (x2x1)2(y2y1)2