概述三角函數(shù)的基礎(chǔ)是平面幾何中的相似形與圓

1、專題四概述：三角函數(shù)的基礎(chǔ)是平面幾何中的相似形與圓，但研究的方法是采用代數(shù)中函數(shù)的研究方法和代數(shù)運(yùn)算的方法，于是使三角函數(shù)成了聯(lián)系幾何和代數(shù)的橋梁，使它在幾何和代數(shù)中都能有所作為。這無(wú)疑使三角函數(shù)在復(fù)數(shù)、立體幾何和解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用?！究键c(diǎn)梳理】一、考試內(nèi)容1.角的概念的推廣，弧度制。2.任意角的三角函數(shù)、單位圓中的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。3.兩角和與差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。4.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、周期函數(shù)、函數(shù)y=Asin(x+)的圖像、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求角。5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正

2、弦定理解斜三角形。二、考試要求1.理解任意角的概念、弧度制的意義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算。2.掌握任意角的三角函數(shù)的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的意義。3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正確地運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明。5.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y= Asin(x+)的簡(jiǎn)圖，理解A、的物理意義。6.會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)表

3、示。7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形。（2005年考綱刪減知識(shí)點(diǎn)：“能利用計(jì)算器解決三角形的計(jì)算問(wèn)題”）三、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：【命題研究】分析近五年的全國(guó)高考試題，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容平均每年有25分，約占17%，浙江省2004年高考試題這部分內(nèi)容有17分，占總分11.3%。試題的內(nèi)容主要有兩方面；其一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換；尤其是三角函數(shù)的最大值、最小值和周期，題型多為選擇題和填空題；其二是考查三角函數(shù)式的恒等變形，如利用有關(guān)公式求植，解決簡(jiǎn)單的綜合問(wèn)題，除了在填空題和選擇題中出現(xiàn)外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現(xiàn)這方面的內(nèi)容，是高考命題的一個(gè)常考的基礎(chǔ)性的題型。其命題熱點(diǎn)是章

4、節(jié)內(nèi)部的三角函數(shù)求值問(wèn)題，命題新趨勢(shì)是跨章節(jié)的學(xué)科綜合問(wèn)題。數(shù)學(xué)試題的走勢(shì)，體現(xiàn)了新課標(biāo)的理念，突出了對(duì)創(chuàng)新能力的考查。如：福建卷的第17題設(shè)函數(shù)；（2）若函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，求實(shí)數(shù)的值。此題“重視知識(shí)拓寬，開(kāi)辟新領(lǐng)域”，將三角與向量知識(shí)交匯。高考試題聯(lián)系現(xiàn)行新教材，如全國(guó)（2）卷中的第17題：已知銳角三角形中，（1）求證：；（2）設(shè)，求邊上的高，就與下列課本習(xí)題相接近，課本第一冊(cè)（下）第四章三角函數(shù)的小節(jié)與復(fù)習(xí)例2：已知，求的值?！緩?fù)習(xí)策略】三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識(shí)內(nèi)容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內(nèi)容時(shí)有明顯的降調(diào)傾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函數(shù)的

5、主體地位，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。第一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在課本知識(shí)的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)、基本方法的再認(rèn)識(shí)和基本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡(luò)化，使之形成比較完整的知識(shí)體系；第二、三輪復(fù)習(xí)以基本綜合檢測(cè)題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當(dāng)然，這一部分知識(shí)最可能出現(xiàn)的是“結(jié)合實(shí)際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應(yīng)用）來(lái)考查三角函數(shù)性質(zhì)”的命題，難度以靈活掌握倍角的余弦公式的變式運(yùn)用為宜。由于三角解答題是基礎(chǔ)題、常規(guī)題，屬于容易題的范疇，因此，建議三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)控制在課本知識(shí)的范圍和

6、難度上，這樣就能夠適應(yīng)未來(lái)高考命題趨勢(shì)?？傊?，三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)、加強(qiáng)訓(xùn)練、綜合應(yīng)用、提高能力。解答三角高考題的一般策略：（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)三角公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)娜枪?，促使差異的轉(zhuǎn)化。三角函數(shù)恒等變形的基本策略：（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。（2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：=（+），=等。（3

7、）降次，即二倍角公式降次。（4）化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）。（5）引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。第一課時(shí)【典型例題分析與解答】例1、 分析：對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)是： （1）次數(shù)盡可能低； （2）角盡可能少； （3）三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一； （4）項(xiàng)數(shù)盡可能少。 觀察欲化簡(jiǎn)的式子發(fā)現(xiàn)： （1）次數(shù)為2（有降次的可能）； （2）涉及的角有、2、2，（需要把2化為，2化為）； （3）函數(shù)名稱為正弦、余弦（可以利用平方關(guān)系進(jìn)行名稱的統(tǒng)一）； （4）共有3項(xiàng)（需要減少），由于側(cè)重角度不同，出發(fā)

8、點(diǎn)不同，本題化簡(jiǎn)方法不止一種。 解法一： 解法二：（從“名”入手，異名化同名） 解法三：（從“冪”入手，利用降冪公式先降次） 解法四：（從“形”入手，利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方） 注在對(duì)三角式作變形時(shí)，以上四種方法，提供了四種變形的角度，這也是研究其他三角問(wèn)題時(shí)經(jīng)常要用的變形手法。例2、已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，且b>0，又的最大值為，(1)求函數(shù) 的解析式；(2)由函數(shù)y=圖像經(jīng)過(guò)平移是否能得到一個(gè)奇函數(shù)y=的圖像？若能，請(qǐng)寫出平移的過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)，由題意，可得，解得，所以；(2) ，將的圖像向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，再向右平移單位得到的圖像，故將的圖像先向上平移

9、1個(gè)單位，再向右平移單位就可以得到奇函數(shù)y=的圖像。注本題考查的是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，其是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)于以重視。例3、為使方程在內(nèi)有解，則的取值范圍是（） 分析一：由方程形式，可把該方程采取換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)：設(shè)sinx=t，則原方程化為，且，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：若關(guān)于的一元二次方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍，解法如下： 分析二： 解法如下： 注換元法或方程思想也是高考考查的重點(diǎn)，尤其是計(jì)算型試題。思維能力訓(xùn)練：1、函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（ ） A. B. C. D. 2、下列函數(shù)中，以為周期的函數(shù)是（ ） A. B. C. D. 3、已知是第三象限的角，若等于（

10、） A. B. C. D. 4、已知，則以下選項(xiàng)正確的是（）A.B. C. D. 5、函數(shù)以2為最小正周期，且能在x=2時(shí)取得最大值，則的一個(gè)值是（ ）A、 B、 C、 D、6、如圖，半徑為2的M切直線AB于O點(diǎn)，射線OC從OA出發(fā)繞著O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OB。旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，OC交M于P，記PMO為x，弓形PnO的面積為，那么的圖象是（ ）A、 B、 C、 D、7、。8、如圖，一個(gè)半徑為10米的水輪按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)4圈，記水輪上的點(diǎn)P到水面的距離為米（P在水面下則為負(fù)數(shù)），則（米）與時(shí)間（秒）之間滿足關(guān)系式：，且當(dāng)P點(diǎn)從水面上浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：；，則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

11、。9、已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的定義域、值域、最小正周期；(2)判斷函數(shù)奇偶性。10、（1）已知：，求證：；（2）已知：，求：的值。11、已知偶函數(shù)的最小值為0，求的最大值及此時(shí)x的集合。第二課時(shí)【典型例題分析與解答】例1、已知向量，(1)求的值；(2)若的值。解：(1)因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?，所以，即?2) ，又因?yàn)?，所?，所以，所以點(diǎn)評(píng)本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算，三角函數(shù)的恒等變換的基本技能，著重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力平面向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)之一例2、已知向量，向量與向量的夾角為，且，（1）求向量；（2）若向量與向量的夾角為，向量，其中為的內(nèi)角，且依次成等差數(shù)列，求的取值

12、范圍。分析：本題的特色是將向量與三角知識(shí)綜合，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯性，這是高考命題的一個(gè)創(chuàng)新，也是高考命題的新趨勢(shì)，關(guān)聯(lián)三角形的三角解答題是高考命題又一個(gè)熱點(diǎn)。解答本題應(yīng)先翻譯向量語(yǔ)言，脫去向量語(yǔ)言的外衣，這時(shí)問(wèn)題（1）就轉(zhuǎn)化為解方程組問(wèn)題了，而問(wèn)題（2）就化歸為三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題了。解：（1）設(shè)，由，有向量與向量的夾角為，有，則由、解得：（2）由與垂直知，由若，則，例3如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，ABC外的地方種草，ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若BC=a，ABC=，設(shè)ABC的面積為S1，正方形的面積為S2（）用a，表示S1和S2；（）當(dāng)a固定，

13、變化時(shí)，求取最小值時(shí)的角解：（1）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則（2）當(dāng)固定，變化時(shí)，令 ，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以證明：函數(shù)在是減函數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)。o注三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過(guò)引入角度，將圖形的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語(yǔ)言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)。三角函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題是歷年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn)，但在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的關(guān)注。思維能力訓(xùn)練：1、 （）A.2B.C.4D. 2、 給出下列的命題中，其中正確的個(gè)數(shù)是（）（1） 存在實(shí)數(shù)，使sincos=1；（2） 存在實(shí)數(shù)，使sin+cos=；（3） 是偶函數(shù)；（4） 若、是第象限角，且，則tgtg（5） 在ABC中AB是sjnAs

14、inB的充要條件。A.1B.2C.3D.43、函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. B. C. D. 4、函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（）A.B.C.D. 5、若點(diǎn)P在第一象限，則在，2內(nèi)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 6、定義在R上的函數(shù)即是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，則的值為（）A.B. C. D. 7、給出問(wèn)題：已知中，滿足，試判定的形狀，某學(xué)生的解答如下：由條件可得：，去分母整理可得，。故是直角三角形。該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題主要依據(jù)填在下面橫線上；若不正確，將正確的結(jié)果填在下面橫線上。8、已知_。9、在中，角所對(duì)的邊分別為，且，（1）求的值；（2）若

15、，求的最大值。10、已知向量，其中是常數(shù)，且，函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1。(1)求函數(shù)的解析式； (2)寫出的對(duì)稱軸，并證明之。11、例2、如圖，足球比賽場(chǎng)的寬度為a米，球門寬為b米，在足球比賽中，甲方邊鋒沿球場(chǎng)邊線，帶球過(guò)人沿直線向前推進(jìn)。試問(wèn)：該邊鋒在距乙方底線多遠(yuǎn)時(shí)起腳射門可命中角正切值最大？（注：圖中表示乙方所守球門，所在直線為乙方底線，只考慮在同一平面上的情形）。o答案：第一課時(shí)：1、A2、D3、A4、A5、A6、A7、8、（1）（2）（4）9、解：(1)，定義域：，值域?yàn)椋篟，最小正周期為；(2) ，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)。10、解：（1）（2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，11、解： ，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，對(duì)，有，即，亦即，所以，由，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，最大值為0，不合題意，當(dāng)時(shí)，最小值為0，當(dāng)時(shí)，由最大值，此時(shí)自變量