同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)-第四版1-節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)ppt課件

1、一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對(duì)于任一使得對(duì)于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)

2、一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意:1.:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), , 定理不一定定理不一定成立成立. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf

3、 則則有有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf二、介值定理二、介值定理定定理理 3 3( (零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理) ) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上連連續(xù)續(xù)，且且)(af與與)(bf異異號(hào)號(hào)( (即即0)()( bfaf) ), ,那那末末在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)至至少少有有函函數(shù)數(shù))(xf的的一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn), ,即即至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn) )(ba ，使使0)( f. .定義定義: :.)(, 0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 幾何解釋幾何解

4、釋:.,)(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，對(duì)于那末，對(duì)于A與與B之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間，在開(kāi)區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得Cf )( )(ba . .xyo)(xfy 幾何解釋幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)(

5、)(Cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在

6、則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xxMm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即三、小結(jié)三、小結(jié)四個(gè)定理四個(gè)定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定

7、理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.1.直接法直接法: :先利用最值定理先利用最值定理, ,再利用介值定理再利用介值定理; ;2.2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法: :先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),F(x),再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理; ;思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)必必有有零零點(diǎn)點(diǎn).思考題解答思考題解答不正確不正確.例函數(shù)例函數(shù) 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)零零點(diǎn)點(diǎn).一、一、 證明方程證明方程bxax sin，其中，其中0,0 ba，至，至少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)少有一個(gè)正根，并且它不超過(guò)ba . .二、二、 若若)(xf在在,ba上連續(xù)，上連續(xù)，bxxxan 21 則在則在,1nxx上必有上必有 ，使，使 nxfxfxfxf