講課 第四章 靜定結構位移計算

1、1第四章 靜定結構的位移計算4.1 位移的概念及位移計算的目的位移的概念及位移計算的目的4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理4.3 變形體體系的虛功原理和結構位移計算的一般公式變形體體系的虛功原理和結構位移計算的一般公式4.5 圖乘法圖乘法4.6 支座移動和溫度改變引起的位移計算支座移動和溫度改變引起的位移計算4.7 互等定理互等定理 4.4 結構在荷載作用下的位移計算結構在荷載作用下的位移計算21.結構位移產生的原因4.1 位移的概念及位移計算的目的位移的概念及位移計算的目的引起結構位移的原因引起結構位移的原因（1 1）荷載；）荷載；（2 2）溫度改變；）溫度改變；（3 3）支座位移

2、；）支座位移；（4 4）制造誤差；）制造誤差； （5 5）材料收縮）材料收縮結構位移結構位移:建筑結構在荷載或其他因素的作用下，會發(fā)生變形建筑結構在荷載或其他因素的作用下，會發(fā)生變形 . 由于變形，結構上各點的位置將會由于變形，結構上各點的位置將會移動移動，桿件的截面，桿件的截面 會會轉動轉動，這些移動和轉動稱為結構位移。，這些移動和轉動稱為結構位移。2. 結構位移的種類結構位移的種類（1 1）某點的線位移某點的線位移（2）某截面的角位移某截面的角位移（3）兩點間的相對線位移兩點間的相對線位移（4）兩截面間的相對角移兩截面間的相對角移線位移：線位移：角位移：角位移：絕對位移絕對位移相對位移相對

3、位移4.1 位移的概念及位移計算的目的位移的概念及位移計算的目的線位移：線位移：角位移：角位移： 一般來說，結果的位移與結構一般來說，結果的位移與結構的幾何尺寸相比都是極其微小的。的幾何尺寸相比都是極其微小的。AAxAy44.1 位移的概念及位移計算的目的位移的概念及位移計算的目的53. 計算位移的目的 （1）為了校核結構的剛度。為了校核結構的剛度。工程上，吊車梁允許的撓度工程上，吊車梁允許的撓度1/6001/600的跨度的跨度 （2）結構制造和施工的需要。結構制造和施工的需要。 （3）為分析超靜定結構打下基礎。為分析超靜定結構打下基礎。另外，結構的穩(wěn)定和動力計算也以位移為基礎。另外，結構的穩(wěn)

4、定和動力計算也以位移為基礎。 結構力學中計算位移的一般方法是以虛功原理為基礎的。本章先介紹結構力學中計算位移的一般方法是以虛功原理為基礎的。本章先介紹剛體及變形體系的虛功原理，然后討論靜定結構的位移計算。剛體及變形體系的虛功原理，然后討論靜定結構的位移計算。起拱高度起拱高度4.1 位移的概念及位移計算的目的位移的概念及位移計算的目的施工完畢后：施工完畢后：施工前：施工前：6復習功的概念4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理PABP常力作的功COSPT 力偶作的功PPdMPdTPP7力在自身所產生的位移上所作的功力在自身所產生的位移上所作的功PPW21力在非自身所產生的位移上所作的功力在非

5、自身所產生的位移上所作的功tPWPCtt1. 實功和虛功實功和虛功4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理84.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理（1）位移的雙腳標符號位移的雙腳標符號ABP11211P22212k j位移發(fā)生的位置位移發(fā)生的位置產生位移的原因產生位移的原因位移的大小位移的大小AB122P2122AB112P11211.實功和虛功實功和虛功94.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理1. 實功和虛功實功和虛功（2）外力的虛功外力的虛功ABP11211P22212AB122P2122AB112P1121實功實功：力在本身引起的位移上作的功。：力在本身引起的位移上作的功

6、。 實功恒為正實功恒為正虛功虛功：力在其它因素引起的位移上作：力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是彼此無關的量，分的功。力與位移是彼此無關的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無關的狀別屬于同一體系的兩種彼此無關的狀態(tài)。態(tài)。Tkj=Pkkj考察力作功的過程 靜力加載：0P虛功是代數量，有正有負。虛功是代數量，有正有負。注意：作功的力必須和位移在一條作用線上，否則，二者的乘積就不是功。注意：作功的力必須和位移在一條作用線上，否則，二者的乘積就不是功。4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理2. 廣義力及廣義位移廣義力及廣義位移作作功功的的兩兩因因素素力：力： 集中力、力偶、一對集中力、一對力

7、偶、一個力系集中力、力偶、一對集中力、一對力偶、一個力系 統稱為統稱為廣義力廣義力位移：線位移位移：線位移、角位移、相對線位移、相對角位移、一組位移角位移、相對線位移、相對角位移、一組位移 統稱為統稱為廣義位移廣義位移 在在虛功表達式虛功表達式中涉及兩方面因素：一個是與力有關的因素，它中涉及兩方面因素：一個是與力有關的因素，它可以是一個力、一個力偶、一對力、一對力偶，甚至是一個力系，可以是一個力、一個力偶、一對力、一對力偶，甚至是一個力系，這些與力有關的因素稱為這些與力有關的因素稱為廣義力廣義力；另一個與廣義力相應的位移因素；另一個與廣義力相應的位移因素。把這些與位移有關的因素稱為。把這些與位

8、移有關的因素稱為廣義位移廣義位移。111P11122P21221P2P12（1）屬同一體系；）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移）均為可能狀態(tài)。即位移 應滿足變形協調條件應滿足變形協調條件； 力狀態(tài)應滿足平衡條件。力狀態(tài)應滿足平衡條件。 （3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關；）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關；3.虛功的兩種狀態(tài)虛功的兩種狀態(tài) 力狀態(tài)力狀態(tài) 位移狀態(tài)位移狀態(tài)AB122P2122AB112P11214.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理1212 虛功并不是不存在的功，只是強調作功過程中位移與力無關的特點虛功并不是不存在的功，只是強調作功過程中位移與力無關的特點（位移狀態(tài)中的位移并非由

9、于第一種狀態(tài)上的力所引起的），則第一種（位移狀態(tài)中的位移并非由于第一種狀態(tài)上的力所引起的），則第一種狀態(tài)上的力在第二種狀態(tài)的相應位移上所作的功，即為虛功。狀態(tài)上的力在第二種狀態(tài)的相應位移上所作的功，即為虛功。上式中，上式中，Pk(k=1,2n)為廣義力，為廣義力， ki (k,i=1,2n)為與廣義力為與廣義力Pk相相應的廣義位移。應的廣義位移。 Tkj=Pk（廣義力）（廣義力） kj（廣義位移）（廣義位移）當廣義位移與廣義力方向一致時，虛功為正，相反時為負。當廣義位移與廣義力方向一致時，虛功為正，相反時為負。4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理 應該指出應該指出，在虛功方程中，力狀態(tài)

10、與位移狀態(tài)是彼此獨立的，因，在虛功方程中，力狀態(tài)與位移狀態(tài)是彼此獨立的，因此，不僅可把位移狀態(tài)視為虛設的，也可把力狀態(tài)視為虛設的。此，不僅可把位移狀態(tài)視為虛設的，也可把力狀態(tài)視為虛設的。它們各有不同的應用。它們各有不同的應用。 4. 虛功原理的兩種應用虛功原理的兩種應用 對于對于剛體體系剛體體系，虛功原理敘述為：，虛功原理敘述為：計算靜定結構內力的另一個普遍方法計算靜定結構內力的另一個普遍方法 虛功原理虛功原理，它等價于平衡方程。，它等價于平衡方程。4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理 所謂剛體體系是指體系只發(fā)生所謂剛體體系是指體系只發(fā)生剛體位移，而不產生變形。剛體位移，而不產生變形。

11、W外外=0兩種應用兩種應用: :虛設位移虛設位移 虛位移原理求虛位移原理求靜定結構的反力和內力靜定結構的反力和內力。虛設力系虛設力系 虛力原理求虛力原理求剛體體系的位移剛體體系的位移。0XXPPFF PPX10XPpFF XPbFFa解：解：扛桿是一個可變體系，可繞扛桿是一個可變體系，可繞 C 點自由點自由轉動，如圖轉動，如圖(b)示。把這個剛體位移取作示。把這個剛體位移取作虛虛位移，可得出虛功方程為：位移，可得出虛功方程為： XPACB ab(a)例：圖例：圖(a)示扛桿，其中示扛桿，其中B端作用巳知荷載端作用巳知荷載FP ，求扛桿平衡時在，求扛桿平衡時在A端需加的未知力。端需加的未知力。X

12、P 設設 表示位移表示位移 和和 之間的之間的比例系數：比例系數： XPPba ACB(b)ACB(c)通常取通常取 (數值為1)1X單位位移法單位位移法(1)虛設位移狀態(tài)虛設位移狀態(tài)求未知力求未知力（虛功的應用之一（虛功的應用之一虛位移原理虛位移原理） FPFX4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理15 這里用的是剛體體系這里用的是剛體體系虛位移原理虛位移原理，實質上是實際受力狀態(tài)的平衡，實質上是實際受力狀態(tài)的平衡方程。方程。幾點說明：幾點說明： 求解時關鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的求解時關鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關系位移關系。 虛位移與實際力狀態(tài)無關，故可虛設。虛位移與實際力狀態(tài)無關

13、，故可虛設。小結：小結： 求解問題直接，不涉及約束力。求解問題直接，不涉及約束力。 虛功原理（這里用虛位移原理）的特點是用幾何方法解決平衡問題。虛功原理（這里用虛位移原理）的特點是用幾何方法解決平衡問題。例：如圖例：如圖(a)所示簡支梁，現欲求所示簡支梁，現欲求B支座反力支座反力X。步驟如下步驟如下 FpBAal圖圖(a)首先解除首先解除B支座的約束，以相應的未知支座的約束，以相應的未知力力X代替，于是原結構變成了具有一個自代替，于是原結構變成了具有一個自由度的體系，它在荷載與未知力由度的體系，它在荷載與未知力X的共同的共同作用下處于平衡狀態(tài)。作用下處于平衡狀態(tài)。使該體系產生符合約束條件的無限

14、小使該體系產生符合約束條件的無限小虛位移，如圖虛位移，如圖(c)所示。所示。 FpX圖圖(b) X p圖圖(c) 在圖在圖(b)所示的所示的力狀態(tài)力狀態(tài)與圖與圖(c)所示的所示的位移位移狀態(tài)狀態(tài)之間建立虛功方程：之間建立虛功方程： 012ppxFXT(a) 這就是虛功方程的應用之一這就是虛功方程的應用之一虛位移原理虛位移原理，其特點是將一個靜力問，其特點是將一個靜力問題轉化為幾何問題。題轉化為幾何問題。 4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理012ppxFXT(a) 由由(a)易得易得 pxpFX (b) lx，appFlaX (c)若在位移狀態(tài)中令若在位移狀態(tài)中令 x=1，則，則(a)

15、式變?yōu)槭阶優(yōu)?0112ppFXTFpBAal圖圖(a)FpX圖圖(b) X p圖圖(c) lappFlaX 像這樣，沿未知力方向虛設單位位移的方法稱為像這樣，沿未知力方向虛設單位位移的方法稱為單位位移法。單位位移法。該方法該方法在用機動法做梁的影響線時將會用到。在用機動法做梁的影響線時將會用到。 4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理(2)虛設力狀態(tài)虛設力狀態(tài)求位移求位移（虛功方程的應用之二（虛功方程的應用之二虛力原理）虛力原理） 如圖如圖(a)所示的靜定梁，支座所示的靜定梁，支座B處向下移動距離處向下移動距離 ，現欲求，現欲求D點的垂直位移點的垂直位移 DV l/2Bll/2A圖圖(a

16、)DCl/2 DV解：求解：求 DV，可設受力狀態(tài)如圖，可設受力狀態(tài)如圖(b)所示所示DFp圖圖(b)BACVBVAVC021BDVpVFT由虛功原理得由虛功原理得 這就是虛功方程的應用之二這就是虛功方程的應用之二虛力原理虛力原理，其特點是將一個，其特點是將一個幾何問題轉化為靜力問題。幾何問題轉化為靜力問題。 若令：若令：Fp=1，則，則pBFV4343DV43BV此時，稱為此時，稱為單位荷載法。單位荷載法。在求結構的位移時將會用到。在求結構的位移時將會用到。 同樣可得同樣可得43DV195.總結總結單位位移法：單位位移法：（1）撤除與未知力對應的約束，使原來的約束力變成主動力）撤除與未知力對

17、應的約束，使原來的約束力變成主動力X。（2）把體系可能發(fā)生的位移當作虛位移，設與未知力和荷載）把體系可能發(fā)生的位移當作虛位移，設與未知力和荷載P相應相應的虛位移分別為的虛位移分別為X 和和P，根據虛功原理根據虛功原理 ，列出虛功方程。，列出虛功方程。 若符合剛體體系的虛功原理，則根據若符合剛體體系的虛功原理，則根據W外外=0，虛功方程為：，虛功方程為： X X + P P =0（3）求出）求出X與與P的關系，代入上式，即可求出未知力。的關系，代入上式，即可求出未知力。 該法的關鍵步驟是找出該法的關鍵步驟是找出X與與P的關系。的關系。4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理20單位荷載法：單

18、位荷載法：（1）在某點沿擬求位移的方向虛設相應的單位荷載。）在某點沿擬求位移的方向虛設相應的單位荷載。（2）在單位荷載作用下，根據平衡條件，求出支座反力）在單位荷載作用下，根據平衡條件，求出支座反力R，根據虛，根據虛功原理功原理 ，列出虛功方程。，列出虛功方程。 若符合剛體體系的虛功原理，則根據若符合剛體體系的虛功原理，則根據W外外=0，虛功方程為：，虛功方程為： 1 + RC=0（3）求解方程即可求出位移）求解方程即可求出位移 。 4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理214.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理6.應用虛功原理時應注意的幾個問題應用虛功原理時應注意的幾個問題（1）

19、力和位移都是廣義的，廣義力包括力和力偶，）力和位移都是廣義的，廣義力包括力和力偶， 廣義位移包括線位移，角位移，相對線位移，相對角位移。廣義位移包括線位移，角位移，相對線位移，相對角位移。（2）線荷載對應的位移是線位移，力偶對應的是角位移。）線荷載對應的位移是線位移，力偶對應的是角位移。（3）無論實位移還是虛位移都十分微小，因此虛位移等于）無論實位移還是虛位移都十分微小，因此虛位移等于一的說法僅表示虛位移是一個單位的微小位移，不能說位移大一的說法僅表示虛位移是一個單位的微小位移，不能說位移大小是一弧度。小是一弧度。（4）虛功原理所說的外力包括外荷載也包括支座反力。）虛功原理所說的外力包括外荷載

20、也包括支座反力。（5）必須能正確地判斷體系的位移圖。）必須能正確地判斷體系的位移圖。22變形體的虛功原理變形體的虛功原理： 設設變形體在力系作用下處于變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)，又設又設變形體由于其它變形體由于其它原因產生原因產生符合約束條件的微小的連續(xù)變形符合約束條件的微小的連續(xù)變形，則外力在相應位，則外力在相應位移上所做的移上所做的外力虛功外力虛功T T 恒等于整個變形體各個微段內力在變恒等于整個變形體各個微段內力在變形上所做的形上所做的內力虛功內力虛功WW。WW外外= =WW內內 剛體體系的虛功原理與變形體體系的虛功原理唯一不同剛體體系的虛功原理與變形體體系的虛功原理唯一不同

21、之處就是之處就是是否需要考慮內力所作的功是否需要考慮內力所作的功。4.3 變形體體系的虛功原理變形體體系的虛功原理23AB力狀態(tài)力狀態(tài)PqMds2.內力虛功的計算內力虛功的計算RARB位移狀態(tài)位移狀態(tài)qN NN N+d+dN NQ QQ Q+d+dQQMMMM+d+dMMdsdsdsduds dvd dsAB4.3 變形體的虛功原理變形體的虛功原理微段微段ds上的內力虛功為上的內力虛功為dW=Ndu+Qdv+Md整個結構的內力虛功為整個結構的內力虛功為sMsQsNWddds, sv, suddddddsMsQsNddd244.3 變形體的虛功原理變形體的虛功原理3. 虛功原理的兩種應用虛功原理

22、的兩種應用平面桿件結構的虛功方程為平面桿件結構的虛功方程為ddd (12-2)TWNsQ sMs 虛位移原理虛位移原理虛力原理虛力原理sMsQsNWdddX X + P P =sMsQsNWddd 1 + RC= P + RC=式中：式中：位移狀態(tài)中沿力位移狀態(tài)中沿力P方向的位移方向的位移 C位移狀態(tài)中沿支座反力位移狀態(tài)中沿支座反力R方向的支座位移方向的支座位移 在虛功方程中有兩組獨立的物理量，即平衡力系在虛功方程中有兩組獨立的物理量，即平衡力系P、R、Q、N、M和滿足約束條件的微小連續(xù)位移及變形、和滿足約束條件的微小連續(xù)位移及變形、 c、du、dv、d ，式中每一項都是虛功。式中每一項都是虛

23、功。254. 位移計算的一般公式位移計算的一般公式 設平面桿系結構由于設平面桿系結構由于荷載、溫度變化及支座移荷載、溫度變化及支座移動等因素引起位移如圖。動等因素引起位移如圖。P2P1KkkKKjKj利用虛功原理利用虛功原理c1c2c3kkPK=1實際狀態(tài)位移狀態(tài)實際狀態(tài)位移狀態(tài)ds虛擬狀態(tài)力狀態(tài)虛擬狀態(tài)力狀態(tài)dsKkkkM、Q、Njjj、v、uddd外力虛功外力虛功332211jCRCRCRPKKW外外=CRKj內力虛功內力虛功W內內=jkjkjkdMdvQduN可得可得jkjjkKjdMdvQduNCR 求任一指定截面求任一指定截面K K沿沿任一指定方向任一指定方向 k kk k上的上的位

24、移位移KjKj 。t1t24.3 結構位移計算的一般公式結構位移計算的一般公式 （4-1）26cRdMdvQduNjkjkjkKj 這便是平面桿系結構位移計算的一般公式，計算時虛設單這便是平面桿系結構位移計算的一般公式，計算時虛設單位荷載的指向可以任意假定，若計算結果為正，所求位移位荷載的指向可以任意假定，若計算結果為正，所求位移KjKj P PK K=1=1同向，反之反向。這種方法又稱為同向，反之反向。這種方法又稱為單位荷載法單位荷載法。P2P1KkkKKjKjc1c2c3kkPK=1實際狀態(tài)實際狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)ds虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)力狀態(tài)力狀態(tài)dsKkkkM、Q、Njjj、v、udddt

25、1t24.3 結構位移計算的一般公式結構位移計算的一般公式 274.3 結構位移計算的一般公式結構位移計算的一般公式適用范圍與特點：適用范圍與特點：2） 形式上是虛功方程，實質是幾何方程。形式上是虛功方程，實質是幾何方程。關于公式普遍性的討論：關于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：各種廣義荷載。）變形原因：各種廣義荷載。（3）結構類型：各種桿件結構。）結構類型：各種桿件結構。（4）材料種類：各種變形固體材料。）材料種類：各種變形固體材料。1） 適于小變形，可用疊加原理。適于小變形，可用疊加原理。5. 位移計

26、算公式的普遍性表現位移計算公式的普遍性表現6. 虛擬狀態(tài)的設置虛擬狀態(tài)的設置 虛單位荷載法不僅可用來計算結構的線位移，而且可用來虛單位荷載法不僅可用來計算結構的線位移，而且可用來計算其他性質的位移，只要虛擬狀態(tài)中的單位荷載是與所求位計算其他性質的位移，只要虛擬狀態(tài)中的單位荷載是與所求位移相應的廣義力即可。移相應的廣義力即可。在應用單位荷載法計算時，應據所求位在應用單位荷載法計算時，應據所求位移不同，設置相應的虛擬力狀態(tài)移不同，設置相應的虛擬力狀態(tài)。例如例如:A求求AHAH實際狀態(tài)實際狀態(tài)虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)A1A求求 A A1虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)4.3 結構位移計算的一般公式結構位移計算的一般公式當求

27、結構的某點當求結構的某點A的線位移時的線位移時可在該點沿其位移方向加一個可在該點沿其位移方向加一個單位荷載。單位荷載。當求結構某截面當求結構某截面A的的角位移時，可在該截面角位移時，可在該截面處加一個單位力偶。處加一個單位力偶。296. 虛擬狀態(tài)的設置虛擬狀態(tài)的設置A實際狀態(tài)實際狀態(tài)AA虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)B求求ABAB11B求求 ABAB114.3 結構位移計算的一般公式結構位移計算的一般公式當求結構的某兩點當求結構的某兩點A、B沿沿其連線方向的相對線位移時，其連線方向的相對線位移時，可在該兩點沿其連線加上兩個可在該兩點沿其連線加上兩個方向相反的虛單位荷載。方向相反的虛單位荷載。

28、當求結構兩個截面的相對當求結構兩個截面的相對角位移時，可在這兩個截面角位移時，可在這兩個截面上加兩個方向相反的單位上加兩個方向相反的單位力偶。力偶。30單位荷載法單位荷載法 我們知道，按照我們知道，按照虛力原理虛力原理建立的虛功方程（建立的虛功方程（4-1）式中，外力虛）式中，外力虛功一項是功一項是虛設力系的外力虛設力系的外力與與相應位移相應位移的乘積。因此，可以通過適當地的乘積。因此，可以通過適當地選擇虛擬荷載，把需求的位移選擇虛擬荷載，把需求的位移 包括在外力虛功中，同時為了能直接包括在外力虛功中，同時為了能直接得到所求位移，在虛功方程中不再包含其它未知位移。為此，在選擇得到所求位移，在虛

29、功方程中不再包含其它未知位移。為此，在選擇虛力系時，就應當虛力系時，就應當在擬求位移在擬求位移 方向上設置虛擬荷載方向上設置虛擬荷載，而在其它地方，而在其它地方不再設置荷載，并且為了計算方便，該虛擬荷載可取為無量綱的一個不再設置荷載，并且為了計算方便，該虛擬荷載可取為無量綱的一個單位值。單位值。 例如：如圖示桁架，假設由于例如：如圖示桁架，假設由于溫 度 變 化 使 桿溫 度 變 化 使 桿 A C 、 B C 各 伸 長各 伸 長 l=1.2mm，使桁架發(fā)生了變形，求，使桁架發(fā)生了變形，求由此而引起的由此而引起的C點點 豎向位移豎向位移 CV。 ABCD CV4m4m3m圖圖(a)位移狀態(tài)位

30、移狀態(tài)31AFp=1BCD1/ 21/20-5/ 6-5/ 612/ 32/ 3圖圖(b)虛擬受力狀態(tài)虛擬受力狀態(tài)對于本題對于本題 iiNCVlF注意：正號表示所得位移注意：正號表示所得位移 CV的方的方向與虛擬單位荷載的方向一致。向與虛擬單位荷載的方向一致。應用虛力原理，建立虛功方程如下應用虛力原理，建立虛功方程如下 011212dxFUTiNCV由此得由此得 iiNiNiNCVlFdxFdxFmm6 . 1BCNBCACNAClFlFABCD CV4m4m3m圖圖(a)位移狀態(tài)位移狀態(tài)321.靜定結構在荷載作用下的位移計算靜定結構在荷載作用下的位移計算 當結構只受到荷載作用時當結構只受到荷

31、載作用時，求，求K K點沿指定方向的位移點沿指定方向的位移KPKP，此時此時沒有支座位移沒有支座位移，故式，故式（4-1）為為PkpkPkkpdMdvQduN式中：kkkM、Q、N 為虛擬狀態(tài)中微段上的內力；為虛擬狀態(tài)中微段上的內力；d P、duP、dvP為為實際實際狀態(tài)中微段上的變形。由材料力學知狀態(tài)中微段上的變形。由材料力學知 （a）dP=EIdsMPduP=EAdsNPdvP =GAdskQP將以上諸式代入式（將以上諸式代入式（a a）得）得GAdsQQkEAdsNNEIdsMMpkPkpkkp（ 4-2 ）4.4 結構在荷載作用下的位移計算結構在荷載作用下的位移計算334.4 結構在荷

32、載作用下的位移計算結構在荷載作用下的位移計算GAdsQQkEAdsNNEIdsMMpkPkpkkp注：注： （1）符號說明）符號說明 （2）正負號）正負號k-為截面形狀系數為截面形狀系數1.29101AA（4-3）342. 2. 討討 論論 (1) (1) 梁和剛架梁和剛架(2) 桁架桁架EAlNNdsEANNEAdsNNPKPkPkkp(3)組合結構組合結構KP=EIdsMMPkEAlNNPk在實際計算時，根據結構的具體情況在實際計算時，根據結構的具體情況, ,式式（4-3）可以簡化：可以簡化：4.4 結構在荷載作用下的位移計算結構在荷載作用下的位移計算EIdsMMpkkp(4) 拱結構拱結

33、構KP=EAdsNNEIdsMMPkpk（4-4）（4-5）35例例 求圖示剛架求圖示剛架A點點 的的 豎豎 向位向位移移Ay。EA、EI為常數為常數。ABCqL LLAABC1解：解：1. 選擇虛擬狀態(tài)選擇虛擬狀態(tài)xx選取坐標如圖選取坐標如圖。則各桿彎矩方程為則各桿彎矩方程為: :ABAB段：段：xMBCBC段：段：LM2. 實際狀態(tài)中各桿彎矩方程為實際狀態(tài)中各桿彎矩方程為ABAB段：段：BCBC段：段：MP=MP=xx22qx22qL3. 代入公式代入公式（4-4）得得Ay=EIqL854，( )EIdsMMP=l0(-x)(-2qx2)EIdx+l0(-L)(-2qL2)EIdx4.4

34、結構在荷載作用下的位移計算結構在荷載作用下的位移計算36例例 ：求圖示桁架求圖示桁架C點的豎向位移點的豎向位移CP。圖中桿旁數值為桿件的截。圖中桿旁數值為桿件的截面積，并設各桿面積，并設各桿E=2.1104kN/cm2。10kN5kN10kN2m1m2m1m8cm28cm28cm28cm24cm24cm24cm2ACBDEPk=1ACBDE桿件l(cm)A(cm2)Nk(kN)NP(kN)NkNPl(kN.cm)NkNPl/A(kN.cm-1)CDCEADBEABDEAE 2002242002242001002248888444-2.002.24-2.002.24-1.000.000.00-3

35、0.0022.36-30.0027.95-12.500.00-5.5912000112191200014024 2500 0.00 0.001500140215001735 625 0.00 0.0010.32cm()KKPPCPN N lN N ldsEAEA4.4 結構在荷載作用下的位移計算結構在荷載作用下的位移計算37當結構符合下述條件時：當結構符合下述條件時：（1 1）桿軸為直線；）桿軸為直線；（2 2）EIEI= =常數；常數；（3 3）兩個彎矩圖中至少有一）兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形。個是直線圖形。 上述上述 積分可以得到簡化。積分可以得到簡化。MP圖圖xy面積面積 設兩個彎

36、矩圖中，設兩個彎矩圖中，M圖為一段直線，圖為一段直線，MP圖為任意形狀：圖為任意形狀：ABOABMPxMtgdxEIsMMPdd =MPdxx圖M1. 圖乘公式: 計算梁和剛架在荷載作用下的位移時，要計算積分EIsMMpkkpdEIxMxPdtgxxMEIPdtgdtgxEIxEIctgEIyc形心形心CxCyCyC=xCtg 如果結構上各桿段均可圖乘，則：如果結構上各桿段均可圖乘，則：EIycEIsMMpkkpd4.5 圖乘法圖乘法圖乘法的注意事項 （1）必須符合上述三個前提條件； （2）豎標yC只能取自直線圖形； （3）與yC在桿件同側乘積取正號，異側取負號。2. 簡單圖形的面積公式和形心

37、位置Lh2L/3L/32hLLhab（L+a)/3(L+b)/32hL形心形心4.5 圖乘法圖乘法39Lh二次拋物線頂點L/232hL二次拋物線Lh3L/4L/43L/85L/8 1 21=2/3(hL)2=1/3(hL)頂點4.5 圖乘法圖乘法403 .把復雜圖形化為簡單圖形把復雜圖形化為簡單圖形 當圖形的面積和形心位置不便確定當圖形的面積和形心位置不便確定時，將它分解成簡單圖形，之后分別與時，將它分解成簡單圖形，之后分別與另一圖形相乘，然后把所得結果疊加。另一圖形相乘，然后把所得結果疊加。例如：例如：圖MMMP P圖圖abcd dLdxMMP )22(1baybLyaLEIya=2/3c+

38、1/3dyb=1/3c+2/3d圖MMP圖圖abcdyayb此時此時ya=2/3c1/3dyb=2/3d1/3cybyadxMMMPbPa)(bbaayyabdxMMEIP1 dxMMdxMMPbPa4.5 圖乘法圖乘法41 當當yC C所屬圖形是由若干段直線組成時，或各桿段的所屬圖形是由若干段直線組成時，或各桿段的截面不相等時，均應截面不相等時，均應分段相乘分段相乘，然后疊加。，然后疊加。123y1y2y3123y1y2y3=EI1( 1y1+ 2y2+ 3y3)EI1EI2EI3=333222111EIyEIyEIy4.5 圖乘法圖乘法42 例例 4-3 求下圖所示剛架求下圖所示剛架C、D

39、兩點間距離的改變。設兩點間距離的改變。設EIEI= =常數。常數。ABCDLhq解：解：1. 作實際狀態(tài)的作實際狀態(tài)的MMP P圖。圖。MP圖圖M2. 設置虛擬狀態(tài)并作設置虛擬狀態(tài)并作圖M。11hhyC=h3. 圖乘計算圖乘計算（）CD=EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL3形心8qL24.5 圖乘法圖乘法43例例 4-4 求圖示剛架求圖示剛架A A點的豎向位移點的豎向位移Ay Ay 。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：解： 1. 作作MP圖、圖、圖MP2PL2PLPLMP圖圖M1L；2. 圖乘計算。圖乘計算。Ay=（）2PL4PLEIyC=EI1(2L L2PL(L 4=

40、16EIPL3)-2EI123L)PL4.5 圖乘法圖乘法44 例4-5 求圖示外伸梁C點的豎向位移Cy。 EI=常數。qABCL2L8qL2M圖11y2y3解：1. 作MP圖2. 作M圖3. 圖乘計算y1=8L3y2=3Ly3=4LCy=)(EI128qLEIy4Cy18qL2MP圖232L4.5 圖乘法圖乘法45ABCDMP（kN.m）例4-6求圖示剛架C截面的角位移 c ；點B的水平線位移BH ;點D 的豎向線位移DV 。ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI305560解：解：1、作、作MP圖圖2、求、求 c ;圖作1MABC圖1MM1=119EI140)43412

41、)(532()214)(6021()314)(3021(3EI1c（ ）4.5 圖乘法圖乘法46EIEIEI3190 )323)(33021(1 )413432)(3532()234)(6021(4)(2)3021(-31HBABCDMP（kN.m）3055603、求、求BH;圖作2MABC圖2MP2=133（ ）ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI4.5 圖乘法圖乘法47ABCDMP（kN.m）3055604、求、求DV;圖作3MABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EIABC圖3MP2=11EIEI9170 2)212)(532(2)322)(6021

42、()2304)(121(-31VD（ ）4.5 圖乘法圖乘法48 對于靜定結構，支座移動并不引起內力，結構材料也不產生應變。此時，靜定結構支座移動時的位移是剛體位移。計算公式化簡：Kc=cR 例4-7：圖示三鉸剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m,水平位移Bx=0.04m,已知 L=12m，h=8m。求A 。hL/2L/2BxBxByBy實ABC解： 虛擬狀態(tài)如圖。ABC1BVLVB1BHhHB21 由式得AhLBxBy2h.204012060=0.0075rad （）虛4.6 支座移動和溫度改變引起的位移計算支座移動和溫度改變引起的位移計算1.支座移動引起的位移計算49（1）靜定結構發(fā)生溫

43、度變化時的反應特點靜定結構發(fā)生溫度變化時的反應特點 靜定結構沒有多余約束，在溫度變化時不產生反力和內力；靜定結構沒有多余約束，在溫度變化時不產生反力和內力； 由于材料熱脹冷縮，結構將產生變形和位移。由于材料熱脹冷縮，結構將產生變形和位移。（2）溫度變化作用下靜定結構位移計算公式溫度變化作用下靜定結構位移計算公式 設圖示結構外側溫度升高設圖示結構外側溫度升高 t1，內側溫度升高，內側溫度升高 t2 ,求求K點的豎向位移點的豎向位移Kt 。t t1 1t t2 2KKKtKPK=1實虛1）溫度變化規(guī)律的假定溫度變化規(guī)律的假定沿截面高度線性變化；沿截面高度線性變化； 材料的線脹系數為材料的線脹系數為

44、 單位長度在溫單位長度在溫度改變度改變11時伸長（或縮短）值。時伸長（或縮短）值。4.6 支座移動和溫度改變引起的位移計算支座移動和溫度改變引起的位移計算2.支座移動引起的位移計算支座移動引起的位移計算50dxt1t2t2dxt1dxdtt t1 1t t2 2KKKtKPK=1實虛2）微段的變形微段的變形dxdx 溫度改變只引起材料纖維的伸溫度改變只引起材料纖維的伸長或者縮短，因此：長或者縮短，因此：微段桿軸線處的伸長，微段桿軸線處的伸長，桿件截面無剪應變桿件截面無剪應變,0;dd0 xtut22;21021211212210ttthhhthhthhhhthhtt時，微段兩端截面的相對角位移，微段兩端截面的相對角位移，;ddddd1212xhtxhtthxtxtthh1h2dxkMkNkMkNkQkQt04.6 支座移動和溫度改變引起的位移計算支座移動和溫度改變引起的位移計算51Kt此時由式（4-6）可得：t t1 1t t2 2KKKtdsdxht1t2t2dxt1dxdtKdsPK=1dx實虛MMNNKtdxhtMdxtNk0k)()(3）位移計算公式位移計算公式0;, xtutdd00 dd