極限連續(xù)與間斷

1、第一章 極限、連續(xù)與間斷本章主要知識(shí)點(diǎn)l 求極限的幾類主要題型及方法l 連續(xù)性分析l 間斷判別與分類l 連續(xù)函數(shù)的介值定理及應(yīng)用一、求極限的七類題型求極限問題歸納為七類主要題型，這里介紹前五類，后兩類在相應(yīng)的章節(jié)（洛必達(dá)法則，變限積分）再作相應(yīng)介紹。（1）題型I 方法：上下同除以的最高次冪例1.1解：原式例1.2解：原式=12例1.3解：原式=例1.4解：原式= =例1.5 解：原式=1（2）題型II 原式=例1.6解：原式=1/2例1.7解：原式=例1.8解：原式=例1.9解：令，原式=例1.10. 解：a+2+b=0,原式= a=2,b=-4 答案錯(cuò)誤（3）題型III若，有界例1.11.

2、解：因?yàn)?，而有界所?原式。例1.12解：因?yàn)椋ǎ薪?，所以原式?.13解因?yàn)?，有界?所以 原式。（4）題型IV 識(shí)別此類題型尤為重要，主要特征為未定式步驟如下：例1.14解：原式例1.15解：原式例1.16解：原式=（5）題型V 等價(jià)無窮小替換替換公式：替換原則：乘除可換，加減忌換。例1.17錯(cuò)解：=0例1.18解：原式=-20例1.19解：原式=例1.20 （題目可能有誤 分子部分的9可能應(yīng)替換為19）解：令，則原式答案錯(cuò)誤例1.21 解：原式=例1.22. 解：原式=例1.23. 解：原式=例1.24. 解：原式= =（6）題型VI 洛必達(dá)法則（見導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容）；（7）題型VII

3、變上限積分有關(guān)積分（見積分相關(guān)內(nèi)容）； 、極限應(yīng)用連續(xù)性分析定義：變形：,其中分別表示左、右極限。例1.25，若在處連續(xù)，求。解：，故 例1.26，若在處連續(xù)，求解：由得：故為任意實(shí)數(shù)例1.27，其中為有界函數(shù)，問在是否連續(xù)？解：因?yàn)?所以，在處連續(xù)。例1.28在可能連續(xù)嗎？解：， 不論取何值，均不能連續(xù)。三、極限應(yīng)用間斷識(shí)別及分類識(shí)別方法：可能間斷點(diǎn)應(yīng)是其定義域中不能取值的端點(diǎn)或分段點(diǎn)。2分類方法： （a），為可去間斷；（b），為第一類間斷，或稱跳躍型間斷；（c）、至少有一個(gè)不存在，為第二類間斷；特別地，若左右極限中至少有一為，則為第二類無窮間斷。例1.29解：間斷點(diǎn)為，,對(duì)于， ,因?yàn)椋?/p>

4、以為可去間斷。對(duì)于，當(dāng)，即，可去間斷；對(duì)于，當(dāng)，即，,可去間斷； 當(dāng)，為第類無窮間斷。例1.30解：間斷點(diǎn)，0 ， 。 在為類無窮間斷。 ，x=0為可去間斷點(diǎn)。例1.31解： 定義域?yàn)?。 間斷點(diǎn)為 。 因?yàn)椋?所以均為的類無窮間斷。例1.32解： 定義域?yàn)椋g斷點(diǎn)為 對(duì)于，為第類無窮間斷； 對(duì)于， ，為第類間斷。注：對(duì)僅考慮了其一個(gè)單側(cè)極限。例1.33解：間斷點(diǎn)是：，x=0是可能間斷點(diǎn)。對(duì)于x=0，f(0+0)=,f(0-0)=,x=0為第類間斷；對(duì)于為第類間斷；對(duì)于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，為第類間斷。注：分段函數(shù)左右支分別識(shí)別，分段點(diǎn)單獨(dú)考慮。四、連續(xù)函數(shù)介值定理定理：在

5、閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，則在至少有一零點(diǎn)，即存在，使得。應(yīng)用此定理需要注意以下幾點(diǎn)：(0) 如何定義。 區(qū)間的選擇，在證明題過程中，有明確的線索。 驗(yàn)證在閉區(qū)間上的連續(xù)性， 驗(yàn)證在兩端的符號(hào)。 此定理不能確定是否具有唯一零點(diǎn)，但有唯一性的要求時(shí)，應(yīng)驗(yàn)證 在內(nèi)的單調(diào)性（參見導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分）例1.34證明：在內(nèi)有一實(shí)根證：構(gòu)造，易知在上連續(xù)，且，故 ，由連續(xù)函數(shù)介值定理知，在有實(shí)根，即命題得證。例1.35證明至少有一正根證明：令， 在內(nèi)連續(xù)，且， 由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)介值定理得，在至少有一根，即命題得證。五、數(shù)列極限定理：對(duì)充分大的n成立，如果，那么 。例1.36 解：因?yàn)?，所以，原?1/2。單元練習(xí)題11

6、，則 。2如果，在處連續(xù)，則 。3與等價(jià)無窮小， ，。4與是等價(jià)無窮小， ，。5的間斷點(diǎn)為 。6，則，。7在下列極限中，正確的是（ ）A BC D 8若那么（ ） A B C D以上都不正確在下列極限中，不正確的是（ ）A BC D10計(jì)算下列極限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12） 題目錯(cuò)誤 分子根號(hào)外部分應(yīng)為-號(hào)而不是+號(hào)11分析函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指明其類型。12分析的間斷點(diǎn)，并指明其類型。13分析的間斷點(diǎn)，并指明其類型。14分析函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指明其類型。15證明方程至少有一正根，有一負(fù)根。16證明：方程至少有一正根。17。18歷年真考題1、（20

7、01）1、下列極限正確的是（ C ）A. B. C. D. 2、（2001）求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型。3、（2002）下列極限中，正確的是（ A ）A. B. C. D. 4、(2003)在下列極限中，正確的是（ D ）A. B. C. D. 5、（2003）6、（2003）已知，求其間斷點(diǎn)并判斷類型。7、（2003）證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。8、（2004） 當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的 （B）A.高階無窮小 B.同階但不是等價(jià)無窮小C.低階無窮小 D.等價(jià)無窮小9、（2004）設(shè)則_10、（2004）求函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷類型。11、（2005）x=0是函數(shù)的 （ ）A.可去間斷點(diǎn) B.跳躍間斷點(diǎn)

8、C.第二類間斷點(diǎn) D.連續(xù)點(diǎn)本章測(cè)試題1的定義域是 。 2 的定義域是 ， 。3 ， ， ， ， 。4. 的連續(xù)區(qū)間是 ，間斷點(diǎn)是 。5. 。6若，則（ ）A B C D7設(shè)，則的定義域是（ ）A(-2,+ ) B-2, + C(-,2) D(-,2)8設(shè)，則當(dāng)且時(shí)（ ）A B C D9當(dāng)時(shí) 與為同階無窮小量是（ ）Ax B C D10當(dāng) 時(shí)，下列變量中不是無窮小量的是（ ）A BC D11設(shè)，則（ ）A3/2 B3/2 C-3/2 D-2/312函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是在點(diǎn)有極限的（ ）A充要條件 B充分條件 C必要條件 D無關(guān)條件13函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ ） A B C D無間斷點(diǎn)14當(dāng)時(shí)， 的等價(jià)無

9、窮小量是（ ） A B C D 15（ ），A3 B1 C D16函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是（ ）A B C D17. 分析的間斷點(diǎn)并分類。 18. ，求。 19. 20. 21. 22. 23. 24.設(shè)，求使在處連續(xù)。25. 設(shè)，若 在 內(nèi)連續(xù)，求的值。26. 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別類型。（1） （2）（3）27 設(shè)在上連續(xù)且,。試證：在內(nèi)至少存在一個(gè)使。28. 設(shè)在上連續(xù)，且。證明：在上至少存在一個(gè)使。29 證明在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。30 設(shè)在上連續(xù)，且，證明：存在一個(gè)使得本章練習(xí)解答1、，； 2、； 3、，4、，； 5、6、，； 7、 8、 9、B10、（1）解：原式= （2）解：原式= （3）

10、解：原式= （4）解：原式=（5）解：原式 （6）解：原式（7）解：令，得原式（8）令，得原式（9）令，得原式（10）原式（11）原式（12）解：原式11、解：間斷點(diǎn)為，。 當(dāng)，即時(shí)，為可去間斷； 當(dāng)，為II類無窮間斷12、解：，間斷點(diǎn)為， ，I類跳躍間斷；， ， ，I類跳躍間斷。13、解：的定義域，間斷點(diǎn)為。， 為可去間斷；， 為II類無窮間斷；， 為II類無窮間斷。14、解：為間斷點(diǎn)。， ，為I類跳躍間斷。15、 證明:構(gòu)造 ，對(duì)于 ，在上連續(xù),且，據(jù)連續(xù)函數(shù)介質(zhì)定理知,在方程至少有一正根；同理，對(duì)于,，故在方程 至少有一負(fù)根,命題得證。16、證明:構(gòu)造，在連續(xù),且，據(jù)閉區(qū)間連續(xù)介值定理得知,在內(nèi)至少有一正根，即命題得證。17、118、1/3。測(cè)試答案1 2. , 3. , ，4. ，56、 7、 8、9、10、11、12、 13、14、15、 16、17定義域 x,間斷點(diǎn)為且為第二類無窮斷點(diǎn)。18則，即。19原式=20原式21.原式=222324，由得，25 由連續(xù)性可知 ，26（1）間斷點(diǎn)為， 為第類跳躍型間斷。 （2） 間斷點(diǎn)為均為第一類跳躍型間斷點(diǎn)。（3）間斷點(diǎn)為；。不存在，為第二類間斷；對(duì)于即時(shí)， 為可去間斷； 當(dāng)時(shí)，,第二類間斷點(diǎn)； ，為第一類跳躍型間斷。27令則在上連續(xù),且,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,在至少存在一點(diǎn) 使,即28令則在上連續(xù),