橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程獲獎

1、2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）教學(xué)目標(biāo):重點: 橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,用待定系數(shù)法和定義法求曲線方程.難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)知識點：橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.能力點：通過對橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法,提高學(xué)生運用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡潔美”，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.教育點：通過橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.自主探究點：1.通過教學(xué)情境中具體的學(xué)習(xí)活動（如動手實驗、

2、自主探究、合作交流等），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，并在作出合理推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，形成橢圓的定義；2.探討橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的最簡形式，并通過對解決問題過程的反思，獲得求曲線方程的一般方法.考試點：橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，利用其解決有關(guān)的橢圓問題易錯易混點：在用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時， 學(xué)生一般在“焦點的位置”上容易出錯.拓展點：如何利用坐標(biāo)法探討其它圓錐曲線的方程.教具準(zhǔn)備 多媒體課件和三角板課堂模式 學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、 引入新課【創(chuàng)設(shè)情景】材料1：對橢圓的感性認(rèn)識.通過演示課前準(zhǔn)備的生活中有關(guān)橢圓的實物和圖片，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識橢圓.材料2：2012年6月16日下午18時，“神州九號”載人飛船順利升空，實現(xiàn)多人多天飛

3、行，標(biāo)志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階，請問：“神州九號”飛船的運行軌道是什么？多媒體展示“神州九號”運行軌道圖片【設(shè)計意圖】利用多媒體，展示學(xué)生常見的橢圓形狀的物品，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識橢圓.通過“神州九號”的軌道錄像，讓學(xué)生感受現(xiàn)實，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)愛國思想.思考1:自然界處處存在著橢圓,我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫出橢圓呢?思考2:在圓的學(xué)習(xí)中我們知道,平面內(nèi)到一定點的距離為定長的點的軌跡是圓.那么，到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡又是什么呢？【設(shè)計意圖】對于生活中、數(shù)學(xué)中的圓，學(xué)生已經(jīng)有一定的認(rèn)識和研究，但對橢圓，學(xué)生只停留在直觀感受，基于它倆的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用上一章所學(xué)，來研究橢圓

4、學(xué)生分組做試驗,教師同時做好指導(dǎo): 按照課本上介紹的方法，學(xué)生用一塊紙板；兩個圖釘，一根無彈性的細(xì)繩試畫橢圓，讓學(xué)生自己動手畫，同桌相互切磋，探討研究.（提醒學(xué)生：作圖過程中注意觀察橢圓的幾何特征，即橢圓上的點要滿足怎樣的幾何條件）思考:點運動時，移動了嗎？點按照什么條件運動形成的軌跡是橢圓？1.在作圖時，視筆尖為動點，兩個圖釘為定點，動點到兩定點距離之和符合什么條件？其軌跡如何？2.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？3.當(dāng)繩長小于兩圖釘之間的距離時，還能畫出圖形嗎？學(xué)生經(jīng)過動手操作獨立思考小組討論共同交流的探究過程，師生共同總結(jié)規(guī)律：當(dāng) 時, 點的軌跡為橢圓； 當(dāng)時

5、, 點的軌跡為線段 ；當(dāng)時, 點的軌跡不存在【設(shè)計意圖】在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義，而是設(shè)計一個實驗，一是為了給學(xué)生一個動手實驗的機(jī)會，讓學(xué)生體會橢圓上點的運動規(guī)律；二是通過實踐思考，為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備二、探究新知（一）歸納定義通過師生共同總結(jié)歸納，形成橢圓概念橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點、叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.注意：“和”，“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍（常數(shù)大于）思考：焦點為的橢圓上任一點，有什么性質(zhì)？設(shè)橢圓上任一點為，則有【設(shè)計意圖】通過學(xué)生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學(xué)生全程參與概念

6、的探究過程，加深理解，提高概括能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力.（二）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 復(fù)習(xí)提問求曲線方程的一般步驟：（教師提問，針對對于學(xué)生回答情況做一總結(jié)）（1）建系、設(shè)點;（2）寫出點的集合;（3）列式;（4）化簡;（5）證明.思考：如何建系，才能使求出的方程最簡呢？由學(xué)生自主提出建立坐標(biāo)系的不同方法，教師根據(jù)學(xué)生提出的“建系”方式，把學(xué)生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導(dǎo)方程，進(jìn)行比較。常遇到的建系方法如下：（供教師參考）方案一：把、建在軸上，以、的中點為原點；方案二：把、建在軸上，以為原點；方案三：把、建在軸上，以、與軸的左交點為原點；方案四：把、建在軸上，以、的中點為原點；xyMO【

7、設(shè)計意圖】積極鼓勵學(xué)生用不同建系方法，讓他們充分暴露自然思維，通過比較，得出最簡潔的方案，而不是被動地接受教材或老師強(qiáng)加給的方法通過師生分析對比，選擇方案一比較簡潔：（師生共同求解橢圓方程）（1）建系：以所在直線為x軸，以線段的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點：設(shè)是橢圓上任意一點，為了使的坐標(biāo)簡單及化簡過程不那么繁雜，設(shè)，則設(shè)與兩定點的距離的和等于（2）寫點的集合：由橢圓的定義，橢圓就是集合（3）列式： （4）化簡：教師引導(dǎo)學(xué)生思考:我們怎么化簡兩個帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是移項后再平方好呢？（通過分析對比，最后選擇移項平方）兩邊平方，得：即兩邊平方，得：整理，得： 兩邊同除

8、以，得 xyO由橢圓的定義知， 所以注:教師板書化簡過程,讓學(xué)生進(jìn)一步明確標(biāo)準(zhǔn)方程的由來,體會化簡的技巧.思考1:請同學(xué)觀察右圖，你能從中找出表示的線段嗎？由圖可知，令即，則方程可簡化為：整理成： 【設(shè)計意圖】通過思考可以讓學(xué)生進(jìn)一步明確的幾何意義，加深對橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.(5)證明：從上述過程可以看到，橢圓上任意一點的坐標(biāo)都滿足方程，以方程的解為坐標(biāo)的點到橢圓的兩個焦點的距離之和為，即以方程的解為坐標(biāo)的點都在橢圓上，由曲線與方程的關(guān)系知，方程是橢圓的方程，我們把它叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.xyMO方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點在軸上，焦點是思考2：如果以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建

9、立直角坐標(biāo)系，焦點是，橢圓的方程又如何呢？如果不想重復(fù)上述繁瑣的化簡過程，我們將如何做呢？分析:由 且變?yōu)? 即變量與互換位置;所以變?yōu)榧矗簷E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在軸： 焦點是 焦點在軸： 焦點是 注：橢圓焦點的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定?！驹O(shè)計意圖】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的導(dǎo)出，先放手給學(xué)生嘗試，教師跟蹤指導(dǎo)再展示學(xué)生結(jié)果；教師對照圖形，加以引導(dǎo)，讓學(xué)生明白方程中字母的幾何意義，對方程的理解有很大的作用；利用類比對稱，化歸的思想得出焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，避免重復(fù)的繁雜計算三、理解新知1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 焦點在軸上，焦點是（2） 焦點在軸上，焦點是2.歸納概括，橢圓方程特征（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形

10、式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1;（2）不可少,體會的幾何意義;（3）橢圓焦點的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定;（4）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)關(guān)系： ，最大，大小不定.【設(shè)計意圖】通過將兩個標(biāo)準(zhǔn)方程的總結(jié)加深學(xué)生對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解掌握，特別是焦點位置，三個參數(shù)的關(guān)系，為求解橢圓的相關(guān)問題打下基礎(chǔ).四、運用新知題型一:求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程例1. 已知橢圓的兩個兩焦點坐標(biāo)分別是，并且橢圓經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程分析:要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵先確定參數(shù),本題已知,結(jié)合及標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)一步確定.教師板書例題求解過程:法1:因為橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓定義知： 所以： 又因為 所以因此，

11、所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 思考與探究:是否還有其他方法解決此類型問題 法2:因為橢圓的焦點在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 因為橢圓經(jīng)過點 且 所以： 所以解方程得： 因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為注:本題多以方法二為主,如:已知橢圓的左、右焦點分別為、,橢圓上一點到兩焦點、的距離的和等于,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點坐標(biāo).本題再用方法一解決顯著比較麻煩了.方法小結(jié):求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟（1）“定位”即確定橢圓的焦點在哪條坐標(biāo)軸上;（2）“定量”即確定的具體數(shù)值;（3）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法及定義法.變式訓(xùn)練1:已知橢圓經(jīng)過兩點,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析:通過條件看不出焦點的位置,因此在解決問題前應(yīng)

12、先考慮焦點位置的兩種情況,然后帶入兩點的坐標(biāo)求參數(shù)即可.方法1:(1)若焦點在軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知條件可得,解得,即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2) 若焦點在軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知條件可得,解得,即,且,與題設(shè)矛盾,舍去綜上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.方法2:分析:結(jié)合方法1的兩種情況,影響最后結(jié)果的只是,所以我們可以設(shè),求出來具體值后在比較大小,進(jìn)一步確定表達(dá)式,這樣可以減少討論的復(fù)雜性.設(shè)橢圓的一般方程為.將兩點帶入,得,解得即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.小結(jié):在對橢圓定義充分理解的基礎(chǔ)上,顯然方法2解決問題要比方法1要簡單.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力及良好的解題習(xí)慣, 同

13、一個題目有不同的解法,我們可以從中選擇簡捷、自然的的解題思路本題突出橢圓定義的應(yīng)用和待定系數(shù)法的解題方法.題型二:橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的識別例2當(dāng)時,指出方程表示的曲線.分析:要想確定表示的曲線,首先應(yīng)確定的取值范圍.教師板書例題求解過程:由,則.（1）當(dāng),即時,方程表示焦點在軸上的橢圓;（2）當(dāng),即時,方程表示圓;（3）當(dāng),即時,方程表示焦點在軸上的橢圓.方法小結(jié):根據(jù)橢圓方程的兩種基本形式可知,焦點在哪一個軸上,那一個變量就對應(yīng)的分母大,即:對應(yīng)的分母大,焦點就在軸上; 對應(yīng)的分母大,焦點就在軸上.當(dāng)兩變量的分母相同時就變成圓了.變式訓(xùn)練2:已知曲線:,則“”是“曲線表示焦點在軸上的橢圓”的什么條

14、件?分析:將曲線的方程化為: ,若曲線是焦點在軸的橢圓,則,即;故“”是“曲線表示焦點在軸上的橢圓”的必要不充分條件.注:在解決此類問題前應(yīng)將先化成標(biāo)準(zhǔn)式.【設(shè)計意圖】通過此類型問題進(jìn)一步加深學(xué)生對橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的理解,強(qiáng)調(diào)橢圓焦點位置的決定因素,對于含參問題一直是學(xué)生的難點,通過此題可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會參數(shù)問題的解決方法.題型三:橢圓定義及其應(yīng)用例3:已知為橢圓上一點, 、為橢圓的兩焦點, ,求的面積.分析:本題解決關(guān)于橢圓和三角形問題,通常利用橢圓的定義,結(jié)合正余弦定理等知識求解.教師板書例題求解過程:設(shè),由,所以,則,又由,則所以,即.則xyAOB變式訓(xùn)練3:已知橢圓,、為橢圓的兩焦

15、點,過的直線與橢圓交于兩點,求的周長.分析:因為則的周長為即的周長為.思考:當(dāng)直線過焦點時,隨著位置的該變,是否的周長也在跟著改變呢?分析:由橢圓的定義可得的周長是個定值,即為.【設(shè)計意圖】通過題型三,一是加強(qiáng)學(xué)生對橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解,二是加強(qiáng)了橢圓與三角函數(shù)的聯(lián)系.并且通過思考進(jìn)一步明確三角形一邊過焦點時周長為定值的情況.五、課堂小結(jié) 1知識：本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程, 應(yīng)注意以下幾點:(1)橢圓的定義中皆為正值,其中是橢圓焦距；(2)要注意特征量的幾何意義,它們確定橢圓的形狀.(3)焦點的位置由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的分母大小或焦點坐標(biāo)來決定;求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之前應(yīng)先判斷焦點位置以

16、便確定代入哪個方程解題.2思想：曲線與方程的軌跡思想，方程的思想、分類討論的思想、待定系數(shù)法在歸納總結(jié)的基礎(chǔ)上，學(xué)生完成下表標(biāo)準(zhǔn)方程圖形xyMOxyMO關(guān)系焦點坐標(biāo)焦點位置在軸上在軸上【設(shè)計意圖】通過橢圓的教學(xué)，加強(qiáng)對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識,與前面的學(xué)習(xí)目標(biāo)呼應(yīng),同時應(yīng)加強(qiáng)對學(xué)生在數(shù)學(xué)知識與思想方法的指導(dǎo).六、布置作業(yè) 必做題:1.寫出適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（1），焦點在軸上；（2）,焦點在軸上，；（3）2. 若方程表示焦點在軸上的橢圓，求的范圍.3.已知橢圓與橢圓的焦點、相同,且橢圓過點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若,求的面積.選做題：1. 已知，是兩個定點，周

17、長為，求頂點的軌跡方程.2.已知為橢圓上一點,橢圓焦點為、,且,若、的等差中項為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(注意焦點的位置)3已知橢圓的焦點為、,為橢圓上一點,若的面積的最大值為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【設(shè)計意圖】通過設(shè)計不同層次的作業(yè)一是為了讓學(xué)生能夠運用橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，解決簡單的橢圓問題；二是讓學(xué)有余力的學(xué)生有所提高,從而達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和“減負(fù)”的目的.七、教后反思 1.本教案的亮點是在教學(xué)過程中始終是教師作為引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生借助于生活中的實際問題及動手實驗歸納出橢圓的定義,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,理解的幾何意義及焦點位置的決定因素.在教學(xué)中通過例題的講述,變式訓(xùn)練的加強(qiáng),作業(yè)的鞏固大部分同學(xué)基本上掌握橢圓的定義及求解標(biāo)準(zhǔn)方程等相關(guān)問題. 2. 本節(jié)課在設(shè)計和