自行車輪飾物的運動軌跡問題

1、理工大學暑期數(shù)學建模強化訓練專題四自行車輪飾物的運動軌跡問題學員： 曹陽 許佳利 倪迪杭學院：通信工程學院時間：2010.08.19自行車輪飾物的運動軌跡問題摘要本文就自行車輪飾物的運動軌跡問題，采用解析幾何的方法建立數(shù)學模型，求出了自行車在各種不同形狀的道路上行駛時飾物和橢圓板中心的運動軌跡方程，并且利用Matlab軟件模擬仿真出了兩者的運動軌跡。對于問題1和問題2,先運用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方程，而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運動建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。求出的曲線軌跡分別見圖2、圖4和圖5。對于問題4,將“圓板”換為“橢圓板”，通過設定參數(shù)，結(jié)合坐標轉(zhuǎn)換的知識，將

2、轉(zhuǎn)動過程中橢圓板中心的坐標用該參數(shù)表示，求出了其運動軌跡的參數(shù)方程。其軌跡圖像見圖8。關鍵詞：運動軌跡，解析幾何，拋物線，橢圓，坐標轉(zhuǎn)換word完美格式一、問題的提出為了改變平淡的自行車外表，給自行車添加一分美妙的動感，同時，也為了 增加騎車人的“安全系數(shù)”，一些騎車人及自行車廠家在自行車的輻條上安裝一 塊亮麗的飾物。當有這種飾物的自行車在馬路上駛過時，這種飾物就如游龍一樣， 對街邊的行人閃過一道波浪形的軌跡。這一波一閃的光亮游龍，也默默地維護著 騎車人的安全。建立數(shù)學模型解決以下問題：1、這軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。2、當這自行車又在一個拋物線形的拱橋上通過時，或是在一拱一拱的正弦 曲

3、線（例如山地摩托車賽場）上通過時，這飾物又畫出一條曲中有曲的軌跡，這 軌跡是什么曲線？試畫出它的圖形。3、這種滾動中圓盤中心的運動軌跡是什么？4、將問題中“圓板”換為“凸形板”（例如橢圓板）時，其滾動軌跡會有什么結(jié) 果？二、問題的分析對于問題1、2,裝有飾物的自行車在馬路上行駛過程中，飾物會形成一道 道曲線軌跡。而隨著路況的不同，如平坦的公路、拋物線形的拱橋、正弦曲線形 的山地摩托車賽場等，飾物會形成不同的曲線軌跡。不管形狀的道路怎么樣，不 管曲線軌跡有多復雜，都可以先運用解析幾何方法求出自行車輪軸心的軌跡方 程，而后利用飾物始終繞車輪軸心作圓周運動建立參數(shù)方程，求出飾物的軌跡方程。飾物繞車輪

4、軸心的參數(shù)方程是較易得到的， 故問題的關鍵在于求出不同形狀 的道路上自行車輪軸心的軌跡方程。求出飾物的軌跡方程后，設定合理的參數(shù)， 利用Matlab軟件就可以模擬仿真出飾物的曲線軌跡。對于問題4,研究凸形板（橢圓板）中心的運動軌跡時，可以通過設定參數(shù)， 將轉(zhuǎn)動過程中橢圓板中心的坐標通過坐標轉(zhuǎn)換用參數(shù)表示，求出其運動軌跡方 程，設定合理的參數(shù)，利用Matlab軟件就可以模擬仿真出橢圓板中心的曲線軌三、模型假設1、自行車在行駛過程中車輪不打滑；2、自行車在行駛過程中速度保持不變；3、自行車在行駛過程中車輪始終與地面接觸。四、模型的建立及求解1、符號說明R自行車輪的半徑r飾物距車輪軸心的距離B自行車

5、車輪上的飾物0自行車輪的轉(zhuǎn)動速度a,b定常量2、模型建立2.1 模型1 （問題1）2.1.1 模型的分析自行車在馬路上行駛時，可以認為馬路是平坦的，因此自行車輪軸心的運動 軌跡就是一條直線。求出這條直線方程后聯(lián)立飾物繞車輪軸心的參數(shù)方程，就可以容易的得到飾物的運動軌跡。在檢驗模型的正確性時，可以利用圖像求出幾個 特殊點的坐標，與利用軌跡方程求出的坐標一一比較， 若兩者求出的坐標都是相 同的，則驗證了模型的正確性。2.1.2 模型的建立與求解設自行車輪的半徑為R,車輪上的飾物B距離車輪軸心為r o以自行車輪上 某一點為坐標原點建立坐標系，假設?物B的初始位置在y軸上，其示意圖如圖1所示，則飾物B

6、的初始坐標B0為（0,R-r）。t后，飾Matlab設自行車輪的轉(zhuǎn)動速度為缶，則自行車的速度為v = 6R。經(jīng)過時間 物B的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程:J_x - -rsin t,y - -rcos to而自行車輪軸心的運動軌跡需滿足參數(shù)方程:x =，Rt, y = Ro所以，飾物B的坐標應滿足參數(shù)方程:x - -r sin t Rt, y - -rcos t Ro根據(jù)一般自行車的規(guī)格，取R = 0.5m, r =0.4m, ® =20rad/s,使用 軟件畫出其圖像如圖2所示:圖2飾物在平坦道路上的軌跡2.1.3 模型的驗證用飾物B在特殊點的坐標來驗證模型。假設自行車沿正 x

7、軸方向行駛，則自3行車輪順時針轉(zhuǎn)動。飾物B轉(zhuǎn)動一、冗和3n時的坐標分別為B1、B2和B3。22飾物B轉(zhuǎn)動工時的圖像如圖3所示。2由圖像我們可以得到Bi的縱坐標為Ro飾物B轉(zhuǎn)動土時，車輪中心經(jīng)過的2距離為；R，故B的橫坐標為；R - r。因此飾物B轉(zhuǎn)動時的坐標為B 的坐標 B1' 1 R,R-r I,這,2Bi 'R,-R-r Io而把t = T=二帶入方程式求得的 24 2與B1的坐標是相同的。用同樣的方法，我們可以把飾物B轉(zhuǎn)動冗和立時的圖像作出，然后利用圖2像求得飾物B轉(zhuǎn)動n和3兀時的坐標，這與由方程式計算出飾物 B轉(zhuǎn)動冗和3n22時的坐標都是相同的。從而驗證了我們的模型的正

8、確性。2.2 模型2 (問題2)2.2.1 模型的分析當這自行車在一個拋物線形的拱橋上通過時，自行車輪軸心的軌跡是一個類拋物線。在求飾物的軌跡時，先利用拱橋的拋物線方程求出自行車輪軸心的軌跡， 然后聯(lián)立飾物的坐標的參數(shù)方程，就可以得到飾物的軌跡。當這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時，使用類似的方法，先求出自行車輪軸心的軌跡，然后確定飾物的軌跡。2.2.2 模型的建立與求解(1)當這自行車在一個拋物線形的拱橋上通過時，設拱橋的拋物線方程為：Xi =x0,2y1 = ax0 bx0(a :二 0, b - 0)。拋物線上任意一點的切線斜率ki為： ' K =y1 L = 2ax0+b,則

9、該點的法向量的斜率k2為：k2 = 一 o ki假設自行車輪白軸心坐標為（X2,y2）,則自行車輪的軸心的軌跡方程為:2 2(y2 y) (X？ -xi)y2 - y1.X2 - x1二 k2。解之得:這就是自行車輪軸心的軌跡方程。拋物線上從原點到任意一點的距離為則有:=：1 (y；)2dx4akf ,1 k12 In k1. 1k12-bJi +b2 +ln(b +Jl + b2 )4a 又根據(jù)行駛路程與行駛時間之間的關系，有s = vt = Rt,令U =赳，貝U：su =一 oR而經(jīng)過時間t后，飾物B的繞自行車輪軸心旋轉(zhuǎn)需滿足參數(shù)方程:,Lx = -r sin u,y 二-r cosuo

10、而自行車輪軸心的運動軌跡需滿足參數(shù)方程：-Lx = X2,y 二 丫2。所以，飾物B的坐標應滿足參數(shù)方程:x = -r sinu x2,y 二-rcosu y2。這就是當這自行車在一個拋物線形的拱橋上通過時飾物B的運動軌跡方程。取a = -0.05, b = 2, R = 0.5m, r=0.4m,使用Matlab 軟件畫出其圖像如圖4所示:圖4飾物在拋物線拱橋上的軌跡(2)當這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時，設正弦曲線的方程為:X =%,y1 = asinbx0(a 0,b 0)。正弦曲線上任意一點的切線斜率ki為:ki =y11工= abcosxo,則該點的法向量的斜率k2為:k2-0

11、ki假設自行車輪白軸心坐標為(X2,y2),則自行車輪的軸心的軌跡方程為:./、2/、2(y2 - y1( X2 -X1)R2y2» =k2x2 '為解之得:這就是自行車輪軸心的軌跡方程。設自行車在正弦曲線上行駛的距離為 s,則有：xo2-Ds= ( Jl+(yi) dx。這個定積分較為復雜，故在求解s的時候，運用微積分的思想，將圖形等步長微分成n份，對每一部分求出面積后累加即可得到 s的解。n越大，求出的s就卻精確。故有：s = ： .1 (yi')2dx x0立 xlSx, "(abcos。0-)2。id n 11-n同樣令u =8t ,根據(jù)s = vt

12、 =6Rt,得到飾物B的坐標應滿足參數(shù)方程：_Lx - -r sinu x2,y - - r cosu y2。這就是當這自行車在一拱一拱的正弦曲線上通過時飾物B的運動軌跡方程。取a=1, b = 0.6, n=100, R=0.5m, r=0.4m,使用 Matlab 軟件畫出其圖像如圖5所示：圖5飾物在正弦曲線上的軌跡2.3模型3 (問題4)2.3.1 模型的建立與求解將問題中的“圓板”換為“橢圓板”之后，考慮在水平道路上運動。設初始狀態(tài)時橢圓的方程為:29y -ax22 + =1 (a>b>0),ab其參數(shù)形式為:lx = bsinB,y = a - acos則橢圓中心的坐標為

13、O(0,a),坐標原點為01(0,0),如圖6所示。word完美格式 thword完美格式設橢圓轉(zhuǎn)動任意角度X后，橢圓中心為O（x2, y2）,橢圓與x軸的切點為A（xo,y。）。嘗試通過坐標轉(zhuǎn)換，找出橢圓轉(zhuǎn)動角度 N后X2和y2關于卜的參數(shù)表 達式，即：I X2 = X2 I, L .1,y2= y2 ( N)P則過切點A（Xo，yo ）的切線方程為:yo -a y-axoLx.2, 21ab所以，該切線的斜率k2為:2k2 = _ 2 a x0_ =tan Lb yo -a從而可以推得:2(D(2)ay。-a = -2x)°b k2點A（x0,y。）在橢圓上，故又滿足:. 22(

14、y。-a)+x。_12,21 0a b聯(lián)立（1）、（2）可以得到:b2k2,a2k22b22 a這樣就得到了 x。和y。關于N的參數(shù)表達式。由于點A（%,y。）在橢圓上，亦滿足橢圓的參數(shù)方程:Xo =bsin 入，y0 = a - a cosu0。故得到：90 = arc cos 'l -y0 10a令直線OA與橢圓長軸的夾角為口，則有：,X0tana =。a -y0故，x0« = arc tan。a y0令坐標原點Q和切點A之間的弧長01A為s,則有：s= f°Ja2sin2 8 +b2cos2HdH 。-0運用微積分的思想求解s,將圖形等步長微分成n份，對每一部

15、分求出面積后累加即可得到s的解。n越大，求出的s就卻精確。故有：s= 0 , a2 sin2b2cos2 d 二00'U 二一=Z 一1a sin +b cos。t n nn切點A(x0,y0 )到橢圓中心O(0,a)的距離d = Jx。2 +(y0 -a )2。觀察圖7,容易得到橢圓中心O'在坐標軸中滿足：| x2 = 01A + O A sin (N u ),y2 = O A cos( N - a )。所以，橢圓中心O'在橢圓轉(zhuǎn)動過程當中的軌跡方程為：x2 = s d sin P :工)，y2 = d cos( N a '圖7取a =4.5, b=2.5,使

16、用Matlab 軟件畫出其圖像如圖8所示:圖8橢圓中心在水平道路上運動軌跡五、模型的評價本文通過對自行車運動過程中飾物以及圓板（凸形板）的運動進行了詳細的分析，并通過一定的物理和數(shù)學思想及方法，借助于 MATLAB軟件模擬了問題中所需的各點的軌跡。在解決問題二時，我們巧妙地運用了數(shù)值積分的方法，自行車在拋物線軌道上通過時飾物的軌跡方程求解出來，從而模擬出了其軌跡。對于問題四，我們設定了橢圓參數(shù)方程，通過對其運動過程物理狀態(tài)的分析，完 成了對其中心軌跡的求解。本文的缺點在于由于時間有限，對于問題 4的求解，只考慮橢圓板在水平直 線上的運動。七、模型的推廣可以將問題4拓展為較為簡單的凸形板在常見平

17、滑曲線上的運動， 通過設定 參數(shù)，結(jié)合坐標轉(zhuǎn)換的知識，將轉(zhuǎn)動過程中簡單的凸形板中心的坐標用該參數(shù)表 示，從而求出其運動軌跡的參數(shù)方程。參考文獻1.同濟大學數(shù)學系高等數(shù)學第六版上冊高等教育出版社2007年4月出版word完美格式附錄一圖2的程序：t=0:0.01:3;r=0.4;R=0.5;a=3;v=a*tw=v./Rx =-r*sin(w.*t)+w.*R.*t ;y =R-r*cos(w.*t);piot(x,y)axis(0 7 0 1.2)附錄二圖4的程序：x0=-1:0.01:40;a=-0.05;b=2;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*x0.A2+b*x0k1=2*a

18、*x0+b;plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率；x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).A2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1%plot(x2,y2)hold onu=1/R*(1/(4*a)*(k1.*sqrt(1+k1.A2)+log(k1+sqrt(k1.A2+1)-1/(4*a)*(b*sqrt(1+bA2)+lo g(b+sqrt(1+bA2);x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);axis(-2 45 0 30)圖5程序:x0=-2:0.01:18;a=1;b=0.6

19、;R=0.5;r=0.4;x1=x0;y1=a*sin(b*x0);k1=a*b*cos(b*x0)；plot(x1,y1)hold onk2=-1./k1;%法線的斜率；x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).A2)+x1;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1;%plot(x2,y2)hold onfor x3=-2:0.01:18s=0;fo門=1:100s=s+sqrt(1+(a*b*cos(b*i*(x3+2)/100-2)A2)*(x3+2)/100 endu=s/Ry1=a*sin(b*x3);k1=a*b*cos(b*x3);k2=-1./k1;x2=R./(k2.*sqrt(1+(1./k2).A2)+x3;y2=R./sqrt(1+(1./k2).A2)+y1;x=-r*sin(u)+x2;y=y2-r*cos(u);plot(x,y);hold onendaxis(-3 14 -2.5 2.5)附錄三 圖8的程序:clcfor u=0:0.001:1/2*pia=4.5;b=2.5;k2=tan(u