2019中考數(shù)學專題復習二次函數(shù)與線段最值問題含解析

1、二次函數(shù)與線段最值問題.填空題.一 2 . 一,，,，_1 .如圖，P是拋物線y= - x+x+2在第一象限上的點，過點 P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A, B,則四邊形 OAPB周長的最大值為 .2 .已知函數(shù) y= (m+2) x2+ kx+ n.(1)若此函數(shù)為一次函數(shù)；m, k, n的取值范圍；當-2WxW 1時，0WyW3,求此函數(shù)關(guān)系式；當-2W xw 3時，求此函數(shù)的最大值和最小值(用含 k, n的代數(shù)式表示)；(2)若m=- 1, n = 2,當-2WxW 2時，此函數(shù)有最小值-4,求實數(shù)k的值.3 .如圖，二次函數(shù)y= -x2+2(m-2)x+3的圖象與x、y軸交于A、

2、B、C三點，其中 A(3,0),拋物線的頂點為D .(1)求m的值及頂點D的坐標；31-(2)當awxwb時，函數(shù)y的最小值為 4 最大值為4,求a, b應滿足的條件；(3)在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由.4.已知點A (t, 1)為函數(shù)y= ax2+bx+4 (a, b為常數(shù)，且aw 0)與y=x圖象的交點. (1)求 t；(2)若函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸只有一個交點，求 a, b;1<(3)若1waW2,設(shè)當2 xW2時，函數(shù)y= ax2+bx+4的最大值為 m,最小值為n,求m

3、- n的最 小值.5.已知y關(guān)于x的函數(shù)y=nx2-2 (m+1) x+m+3(1)若m=n= - 1時，當-1WxW3時，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)若n=1,當m取何值時，拋物線頂點最高？(3)若n=2m>0,對于任意m的值，當xvk時，y隨x的增大而減小，求 k的最大整數(shù)；(4)若m=2nw0,求拋物線與x軸兩個交點之間的最短距離.6.如圖，二次函數(shù)y= -x2+2(m-2) x+3的圖象與x,y軸交于A,B, C三點，其中 A (3,0),拋物線的頂點為D.(1)求m的值及頂點D的坐標.(2)連接AD, CD, CA,求 ACD外接圓圓心 E的坐標和半徑;13" &l

4、t;一(3)當 2 xwn時，函數(shù)y所取得的最大值為 4,最小值為 母,求n的取值范圍.7.如圖，拋物線 y=ax2+bx+2與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為(-1,0),拋物線的對稱軸為3X =一M作x軸的垂線交拋物線于P,交過點A的直線y= - x+n直線 2 .點M為線段AB上一點，過于點C.(1)求直線AC及拋物線的解析式；3PM = -(2)若2,求PC的長；(3)過P作PQ/ AB交拋物線于點 Q,過Q作QNx軸于N,若點P在Q左側(cè)，矩形PMNQ的周長記為d,求d的最大值.8.如圖，拋物線 y=ax2+bx+2與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為(-1,0),拋物線的對稱軸為直線x

5、= 1.5,點M為線段AB上一點，過M作x軸的垂線交拋物線于 P,交過點A的直線y= - x+n于點C.(1)求直線AC及拋物線的解析式;_2A A3Q A APHQ,使§,求點(2) M位于線段AB的什么位置時，PC最長，并求出此時 P點的坐標;(3)若在(2)的條件下，在 x軸上方的拋物線上是否存在點坐標.9 .如圖，拋物線 y= - x2- 2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.(1)求A、B、C的坐標；(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合)，過點M作x軸的垂線，與直線 AC交于點E,與拋物線交于點 P,過點P作

6、PQ/AB交拋物線于點 Q,過點 Q作QNx軸于點N.若點P 在點Q左邊，當矩形 PMNQ的周長最大時，求 AEM的面積；(3)在(2)的條件下，當矩形 PMNQ的周長最大時，連接 DQ.過拋物線上一點 F作y軸的平行 線，與直線 AC交于點G (點G在點F的上方).若FG = 2 DQ ,求點F的坐標.10 .如圖，拋物線 y= - x2+bx+c的圖象交*軸于人（2, 0）, B （1, 0）兩點.（1）求拋物線的解析式；（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A, B重合），過點M作x軸的垂線，與拋物線交于點 P, 過點P作PC/AB交拋物線于點 C,過點C作CD，x軸于點D.若點P在點C

7、的左邊，當矩形 PCDM的周長最大時，求點 M的坐標；（3）在（2）的條件下，當矩形 PCDM的周長最大時，連接 AC,我們把一條拋物線與直線 AC的 交點稱為該拋物線的“恒定點”，將（1）中的拋物線平移，使其平移后的頂點為（ n, 2n）,若平移 后的拋物線總有“恒定點”，請直接寫出n的取值范圍.11 .如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y，x2 3x+2與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)）,與y軸交于點A,拋物線的頂點為 D.（1）填空：點 A的坐標為（, ），點B的坐標為（, ），點C的坐 標為（, ）,點D的坐標為（, ）;（2）點P是線段BC上的動點（點P不與點B、C重合）過點P

8、作x軸的垂線交拋物線于點 E,若PE= PC,求點E的坐標；在的條件下，點F是坐標軸上的點，且點 F到EA和ED的距離相等，請直接寫出線段EF的長；若點Q是線段AB上的動點（點 Q不與點A、B重合），點R是線段AC上的動點（點 R不與點 A、C重合），請直接寫出 PQR周長的最小值.圖1備用圖12 .如圖，拋物線與直線相交于 A, B兩點，若點A在x軸上，點B的坐標是(2, 4),拋物線與x軸 另一交點為D,并且 ABD的面積為6,直線AB與y軸的交點的坐標為(0, 2).點P是線段AB(不與A, B重合)上的一個動點，過點 P作x軸的垂線，交拋物線與點 Q.(1)分別求出拋物線與直線的解析式

9、；(2)求線段PQ長度的最大值；(3)當PQ取得最大值時，在拋物線上是否存在M、N兩點(點M的橫坐標小于 N的橫坐標)，使得P、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出 MN的坐標；若不存在，請說明理由.13=-13 .如圖，拋物線y 4*2 2x - 4與x軸交于A, B兩點(點B在點A的右側(cè))，與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊，點。為對稱中心作菱形 BDEC,點P是x軸上的一個動點，設(shè)點 P的坐標為(m, 0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點 Q .(1)求點A, B, C的坐標.(2)當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD于點M,求線段MQ長度的最大值.(3)當點P

10、在線段EB上運動時，是否存在點 Q,使 BDQ為直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.(4)當點P在線段EB上運動時，直線l與菱形BDEC的某一邊交于點 S,是否存在 m值，使得點C、Q、S、D為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出m值，不存在，說明理由.14 .如圖，已知二次函數(shù) y= - x2- 2x+3的圖象交x軸于A、B兩點(A在B左邊)，交y軸于C點.(1)求A、B、C三點的坐標和直線 AC的解析式；(2)點P是直線AC上方拋物線上一動點(不與 A, C重合)，過點P作x軸平行線交直線 AC于15 . (1)如圖，已知二次函數(shù) y= - x2+2x

11、+3的圖象交x軸于A, B兩點(A在B左邊)，直線y=x+1 過點A,與拋物線交于點 C,點P是直線AC上方拋物線上一動點(不與 A, C重合)，過點P作y 軸平行線交直線 AC于Q點，求線段PQ的最大值.(2)在(1)條件下，過點 P作y軸垂線交直線 AC于Q點，求線段PQ的最大值.16 .如圖1,拋物線y= - x2-4x+5與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.(1)求直線AC的解析式及頂點 D的坐標；(2)連接CD,點P是直線AC上方拋物線上一動點(不與點A、C重合)，過P作PE/x軸交直 線AC于點E,作PF / CD交直線AC于點F,當線段PE+PF取最大值時

12、，在拋物線對稱軸上找一 點L,在y軸上找一點K,連接OL, LK, PK ,求線段OL+LK+PK的最小值，并求出此時點 L的坐 標.(3)如圖2,點M ( - 2, - 1)為拋物線對稱軸上一點，點 N (2, 7)為直線 AC上一點，點 G 為直線AC與拋物線對稱軸的交點，連接 MN, AM.點H是線段MN上的一個動點，連接 GH ,將 MGH沿GH翻折得到 M' GH (點M的對稱點為M '),問是否存在點 H,使得 M' GH與4 NGH重合部分的圖形為直角三角形，若存在，請求出NH的長，若不存在，請說明理由.17 .如圖，拋物線 y=x2+bx+c過點A (3

13、, 0), B (1, 0),交y軸于點C,點P是該拋物線上一動點， 點P從C點沿拋物線向 A點運動(點P不與A重合)，過點P作PD / y軸交直線AC于點D.(1)求拋物線的解析式；(2)當D在線段AC上運動時，求點 P在運動的過程中線段 PD長度的最大值；(3)在拋物線對稱軸上是否存在點M使MA - MC|最大？若存在請求出點 M的坐標，若不存在請說明理由.，一，一一 _ ，_42、 、 _ 18 .如圖，在平面直角坐標系 xOy中，直線y x 父x軸于點A,父y軸于點B,經(jīng)過點A的拋_3物線y 4x2+bx+c交直線AB另一點D,且點D到y(tǒng)軸的距離為8.(1)求拋物線解析式；(2)點P是

14、直線AD上方的拋物線上一動點，(不與點 A、D重合)，過點P作PELAD于巳過點P作PF / y軸交AD于F ,設(shè) PEF的周長為L,點P的橫坐標為m,求L與m的函數(shù)關(guān)系式， 并直接寫出自變量 m的取值范圍；(3)在圖(2)的條件下，當L最大時，連接PD.將 PED沿射線PE方向平移，點P、E、F的 對應點分別為 Q、M、N,當 QMN的頂點M在拋物線上時，求 M點的橫坐標，并判斷此時點 N 是否在直線PF上.b4ac - bl= ' 二(參考公式：二次函數(shù) y= ax2+bx+c (cw0).當x 2'時，y最大(小)值 4口 )，一 2,一，、一，19 .如圖，已知拋物線

15、y=ax+bx+c (aw0)過點A (3, 0), B (1, 0),且與y軸交于點 C (0, -3), 點P是拋物線AC間上一動點，從點C沿拋物線向點 A運動(點P與A、C不重合)，過點P作PD / y軸，交AC于點D.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)當 ADP是直角三角形時，直接寫出點P的坐標；(3)求線段PD的最大值，并求最大值時 P點的坐標；(4)在問題(3)的結(jié)論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點 F的坐標；若不存在，請說明理由.y*220 .已知二次函數(shù) y= ax+bx+c與x軸只有一個交點，且系數(shù) a、b滿足條

16、件:(1)求 y= ax2+bx+c 解析式;(2)將y= ax2+bx+c向右平移一個單位，再向下平移一個單位得到函數(shù)y=mx2+nx+k,該函數(shù)交y軸于點C,交x軸于A、B (點A在點B的右側(cè))，點P是該拋物線上一動點，從點 C沿拋物線向點A運動(點P與A不重合)，過點P作PD / y軸，交AC于點D.當4ADP是直角三角形時，求點P的坐標；(3)在問題(2)的結(jié)論下，若點 E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由.0) , B (1, 0),交y軸于點C,點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向 A點運動(點

17、P不與點A重合)，過點P作PD / y軸交直線AC于點D.(1)求拋物線的解析式；(2)求點P在運動的過程中線段 PD長度的最大值；(3) AAPD能否構(gòu)成直角三角形？若能請直接寫出點P坐標，若不能請說明理由；(4)在拋物線對稱軸上是否存在點M使MA - MC|最大？若存在請求出點 M的坐標，若不存在請說明理由.C.22.如圖1,拋物線y= - x2+bx+c經(jīng)過點A (2, 0), B (0, 2),與x軸交于另一點(1)求拋物線的解析式及點 C的坐標；(2)點P是拋物線y=-x2+bx+c在第一象限上的點，過點 P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為D, E,求四邊形 ODPE的周長的最大值

18、;2(3)如圖2,點P是拋物線y=-x2+bx+c在第一象限上的點，過點 P作PN，x軸，垂足為N,交AB于M,連接PB, PA.設(shè)點P223.如圖，拋物線 y=ax+bx+c (a,的橫坐標為t,當 ABP的面積等于 ABC面積的時，求t的b, c是常數(shù)，aw0)與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C,三個交點的坐標分別為 A ( - 1, 0) , B (3, 0) , C (0, 3).(1)求拋物線的解析式及頂點 D的坐標;(2)若P為線段BD上的一個動點，過點 P作PMx軸于點M,求四邊形PMAC面積的最大值 和此時P點的坐標；(3)若點P是拋物線在第一象限上的一個動點，過點 P作P

19、Q/AC交x軸于點Q.當點P的坐標 為 時，四邊形PQAC是平行四邊形；(直接寫出結(jié)果，不寫求解過程).24.如圖，拋物線 y = x2-2x-3與x軸交A、B兩點(A點在B點左側(cè))，直線1與拋物線交于 A、C 兩點，其中C點的橫坐標為2.(1)求A、B兩點的坐標及直線 AC的函數(shù)表達式；(2) P是線段AC上的一個動點，過 P點作y軸的平行線交拋物線于 E點，設(shè)P點的橫坐標為 m.求線段PE長度的最大值；- 1點P將線段AC分割成長、短兩條線段 PA、PC,如果較長線段與 AC之比等于 2 ，則稱p為線段AC的“黃金分割點”，請直接寫出使得 P為線段AC黃金分割點的m的值.x軸交A、B兩點(

20、A點在B點左側(cè))，直線l與拋物線交于 A、C兩點，其中C點的橫坐標為2.(1)求A、B兩點的坐標及直線 AC的函數(shù)表達式；(2) P是線段AC上的一個動點，過 P點作y軸的平行線交拋物線于 E點，求線段PE長度的最大值；(3)點G拋物線上的動點，在 x軸上是否存在點F,使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由.26.如圖，拋物線 y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點(A點在B點左側(cè))，直線l與拋物線交于 A、C 兩點，其中C點的橫坐標為2.(1)求A、B兩點的坐標及直線 AC的函數(shù)表達式；(2) P是線段AC上的一個動

21、點，過 P點作y軸的平行線交拋物線于 E點，求線段PE長度的最大 值.27.如圖，拋物線 y=x2-2x- 3與x軸交A、B兩點(A點在B點左側(cè))，直線l與拋物線交于 A、C兩點，其中C點的橫坐標為2.(1)求A、B兩點的坐標及直線 AC的函數(shù)表達式；(2) P是線段AC上的一個動點，(不與A、C重合)，過P點作y軸的平行線交拋物線于 E點，求線段PE長度的最大值，并直接寫出 ACE面積的最大值；(3)點G為拋物線上的動點，在 x軸上是否存在點 F,使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四F點坐標；如果不存在，請說明理由.邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的28.如圖，拋物線 y=

22、x2-2x- 3與x軸交A、B兩點(A點在B點左側(cè))，直線l與拋物線交于 A、C 兩點，其中C點的橫坐標為2.(1)求A、B兩點的坐標及直線 AC的函數(shù)表達式；(2) P是線段AC上的一個動點，過 P點作y軸的平行線交拋物線于 E點，當點P運動到什么位置時， ACE的面積最大？求出此時 P點的坐標和Sa ace的最大值；(3)點G是拋物線上的動點，在 x軸上是否存在點 F,使以A、C、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由.A、C29.如圖，拋物線 y=x2-2x- 3與x軸交A、B兩點(A點在B點左側(cè))，直線l與拋物線交于兩點，其中

23、C點的橫坐標為2.(1)求A、B兩點的坐標及直線 AC的函數(shù)表達式；(2) P是線段AC上的一個動點，過 P點作y軸的平行線交拋物線于 E點.求線段PE長度的最大值；(3)若點G是拋物線上的動點，點 F是x軸上的動點，判斷有幾個位置能使以點A、C、F、G為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點F的坐標.30.如圖，拋物線 y = - x2 - 2x+3與x軸交A、B兩點(A點在B點右側(cè))，直線l與拋物線交于 A、C 兩點，其中C點的橫坐標為-2.(1)求A、B兩點的坐標及直線 AC的函數(shù)表達式；(2)若點P是線段AC上的一個動點，過 P點作y軸的平行線交拋物線于 E點，求當點P坐標為多少時

24、，線段PE長度有最大值，最大值是多少？(3)點G是拋物線上的動點，在 x軸上是否存在點 F,使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由.二次函數(shù)與線段最值問題參考答案與試題解析一.填空題1 .如圖，P是拋物線y= - x2+x+2在第一象限上的點，過點 P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A, B,則四邊形 OAPB周長的最大值為 6 .【考點】H5:二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.【分析】設(shè)P (x, y) (2>x>0, y>0),根據(jù)矩形的周長公式得到 C=- 2(xT) 2+6,根據(jù)二次 函數(shù)的性質(zhì)

25、來求最值即可.【解答】解：: y = x2+x+2,，當 y= 0 時，x2+x+2=0 即(x- 2) (x+1) =0,解得x= 2或x= - 1故設(shè) P (x, y) (2>x>0, y>0),C= 2 (x+y) = 2 (x- x2+x+2) =- 2 (x- 1) 2+6.當x= 1時，C最大值= 6,.即四邊形OAPB周長的最大值為 6.故答案是：6.【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法.本題采用了配方法.二.解答題2.已知函數(shù) y= (m+2)

26、x2+ kx+ n.(1)若此函數(shù)為一次函數(shù)；m, k, n的取值范圍；當-2WxW 1時，0WyW3,求此函數(shù)關(guān)系式；當-2W xw 3時，求此函數(shù)的最大值和最小值(用含 k, n的代數(shù)式表示)；(2)若m=- 1, n = 2,當-2WxW 2時，此函數(shù)有最小值-4,求實數(shù)k的值.【考點】F5: 一次函數(shù)的性質(zhì)；H7:二次函數(shù)的最值.【分析】(1)根據(jù)二次項系數(shù)為 0, 一次項系數(shù)不為 0,常數(shù)項為任意實數(shù)解答即可；根據(jù)k>0, k<0時x、y的對應關(guān)系確定直線經(jīng)過的點的坐標，求出解析式；根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即增減性解答即可；(2)把m= - 1, n= 2代入關(guān)系式，得到二次函

27、數(shù)解析式，確定對稱軸，頂點坐標，分情況討論求出k的值.【解答】 解：(1)m=-2, kw0, n為任意實數(shù)；當k>0時，直線經(jīng)過(-2, 0) (1, 3),函數(shù)關(guān)系式為：y=x+2當kv0時，直線經(jīng)過(-2, 3) (1, 0),函數(shù)關(guān)系式為：y= - x+1當k>0時，x= - 2, y有最小值為-2k+nx = 3時，y有最大值為3k+n當k< 0時，x=-2, y有最大值為-2k+nx = 3時，y有最小值為 3k+n(2)若 m= - 1, n = 2 時，二次函數(shù)為 y= x2+kx+2k=.",對稱軸為x2 ,k - m-當 2 2,即k>4時

28、，把x= 2, y= - 4代入關(guān)系式得：k= 5kk< =-當-22 2,即-4vkv 4時，把x 2 , y= - 4代入關(guān)系式得：k= ± 2后(不合題意)k當 2 2,即kw 4時，把x= 2, y= 4代入關(guān)系式得：k= 5.所以實數(shù)k的值為土 5.【點評】本題考查了一次函數(shù)的概念、一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)最值的應用以及二次函數(shù)的性質(zhì)， 綜合性較強，需要學生靈活運用性質(zhì)，把握一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性，解答題目.3.如圖，二次函數(shù) y= - x2+2 (m-2) x+3的圖象與x、y軸交于A、B、C三點，其中A (3, 0),拋 物線的頂點為D .(1)求m的

29、值及頂點D的坐標；3i-(2)當awxwb時，函數(shù)y的最小值為 4,最大值為4,求a, b應滿足的條件；(3)在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由.卅 DfJ【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)先把A (3, 0)代入y = - x2+2 (m-2) x+3,得到關(guān)于 m的方程，解方程求出 m的 值，再利用配方法將二次函數(shù)寫成頂點式，即可求出頂點D的坐標；3315 - (2)先把y=14代入y = - x2+2x+3,得到方程e x2+2x+3,解方程求出xi, X2 2,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象

30、即可得出a, b應滿足的條件；(3)先求出二次函數(shù)與 y軸交點C的坐標，當三角形PDC是等腰三角形時，分三種情況進行討論： 當DC = DP時，易求點P坐標為(2, 3);當PC=PD時，過點D作x軸的平行線，交 y軸 于點H,過點P作PMy軸于點 M, PNXDH于點N .由HD = HC , PC=PD,根據(jù)線段垂直平分 線的判定與等腰三角形的性質(zhì)得出 HP平分/ MHN,再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出 PM=PN.設(shè) P (m, - m2+2m+3),則 m = 4- (- m2+2m+3),解方程求出 m的值，得出點 P的坐標為 3-/5 5 + J5)(3+押 5-電22 或 22；當

31、cd = cp時，不符合題意.【解答】解：(1)把 A (3, 0)代入 y= - x2+2 (m-2) x+3,得-9+6 (m-2) +3=0,解得m=3.則二次函數(shù)為y= - x2+2x+3,- y= _ x2+2x+3= - ( x- 1) 2+4 ,，頂點D的坐標為(1, 4);(2)把 y=14代入 y= - x2+2x+3,3二一得4x2+2x+3,151=-=-<解得xi2 , x2 2 ,結(jié)合圖象知 a a< 1.15=- < 一當 a2 時，i w b 21 5一<=當 2 a w 1 時，b 2 ；（3） x=0時，y= 3,所以點C坐標為（0,

32、3）.當三角形PDC是等腰三角形時，分三種情況：如圖1,當DC = DP時， ,點P與點C關(guān)于拋物線的對稱軸 x= 1對稱， 點P坐標為（2, 3）;如圖2,當PC=PD時，過點D作x軸的平行線，交y軸于點H,過點P作PMy軸于點M,PN ± DH 于點 N. . HD = HC = 1, PC=PD,HP是線段CD的垂直平分線. . HD = HC, HPXCD,HP 平分/ MHN , PMy軸于點 M, PNXDH于點N,PM= PN.2一設(shè) P ( m, - m +2m+3),則3±4,/2 c c、2m=4 一 ( m +2m+3),解得 m3 - S + J5

33、3 +、區(qū) 57sP的坐標為如圖3,當CD = CP時，點P在y軸左側(cè)，不符合題意.(3 - J5 5 + J5)(3 +、回 5-色綜上所述，所求點 P的坐標為(2, 3)或 22 或 22【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式, 拋物線頂點坐標的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，綜 合性較強，難度適中.利用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵.4.已知點A (t, 1)為函數(shù)y=ax2+bx+4 (a, b為常數(shù)，且aw 0)與y=x圖象的交點.(1)求 t；(2)若函數(shù)y=ax2+ bx+4的圖象與x軸

34、只有一個交點，求 a, b;1<(3)若1waW2,設(shè)當2 xW2時，函數(shù)y= ax2+bx+4的最大值為 m,最小值為n,求m - n的最小值.【考點】H7:二次函數(shù)的最值； HA:拋物線與x軸的交點.【分析】(1)把A (t, 1)代入y=x即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)題意得方程組，解方程組即可得到結(jié)論;(3)把 A (1, 1)代入 y= ax2+bx+4 得，b= - 3- a,得到 y=ax2- (a+3) x+4 的對稱軸為直線x 2a ,根據(jù)1Waw 2,得到對稱軸的取值范圍x< 2,當x 2時，得到m=2時，得到a 9 5= -= +n 4 M 2即可得到結(jié)論.【解答】

35、解:(1)把 A (t, 1)代入 y=x得 t=1；(2) y=ax2+bx+4的圖象與x軸只有一個交點,f 厘 + 6 + 4 = 1="- 16”0a = l j v = t.訪=4或訪=_ 12.、2(3)把 A (1, 1)代入 y=ax2+bx+4 得,b= - 3 a,- y= ax2 - (a+3) x+4 = a (xq 9 5十 2 4 4q 2對稱軸為直線x 2q ,1 < a< 2,5<4. x2a2,1< .2 x<2,當x 2時,a 5=-4-2 -y= ax +bx+4的最大值為 m,當x=2時，n1 < a<

36、2,，當a= 2時,m - n的值最小,即m- n的最小值8【點評】 本題考查了拋物線與 x軸的交點，二次函數(shù)的最值，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.5.已知y關(guān)于x的函數(shù)y=nx2-2 (m+1) x+m+3(1)若m=n= - 1時，當-1WxW3時，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)若n=1,當m取何值時，拋物線頂點最高？(3)若n=2m>0,對于任意m的值，當xvk時，y隨x的增大而減小，求 k的最大整數(shù)；(4)若m=2nw0,求拋物線與x軸兩個交點之間的最短距離.【考點】H3:二次函數(shù)的性質(zhì)；H7:二次函數(shù)的最值；HA :拋物線與x軸的交點.【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；(

37、2)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；m+l 11=二一+ (3)拋物線的解析式為 y= 2mx2-2 (m+1) x+ m+3,對稱軸x 2m 2 27YI因為對于任1< 一意m的值，當xv k時，y隨x的增大而減小，所以 k 2,由此即可解決問題；(4)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解決最值問題；【解答】解：(1)當m=n=- 1時，函數(shù)解析式為 y=-x2+2,頂點坐標為(0, 2),函數(shù)最大值為2,: 1 w xW 3, x= - 1 時，y= 1, x= 3 時，y= - 7.函數(shù)的最大值為 2和最小值為-7.(2) n= 1 時，函數(shù)解析式為 y=x2-2 (

38、m+1) x+m+3,_4(m+3)-4(m + l)2_,一頂點的縱坐標mm2- m+2,- 1< 0,-1 1.m 2( - 1)2時，拋物線頂點的縱坐標最大，頂點最高.，拋物線的解析式為 y=2mx2-2 (m+1) x+ m+3,12mm+1 1=+對稱軸x2m 2對于任意 m的值，當xvk時，y隨x的增大而減小,1V k 2,，k的最大整數(shù)為0.，拋物線的解析式為 y=nx2-2 (2n+1) x+2n+3,設(shè)拋物線與x軸的交點為(xi, 0)和(X2, 0),=1區(qū)+或=貝 U |xi - x2|12(2n + 1) £ $ 2n + 3nn1 1.=一當加2時，拋

39、物線與x軸兩個交點之間的距離最短，最小值為小.【點評】本題考查拋物線與 x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，所以中考?？碱}型.6.如圖，二次函數(shù) y= - x2+2 (m-2) x+3的圖象與x, y軸交于A, B, C三點，其中 A (3, 0),拋 物線的頂點為D .(1)求m的值及頂點D的坐標.(2)連接AD, CD, CA,求 ACD外接圓圓心 E的坐標和半徑；13 一 W(3)當 2 xwn時，函數(shù)y所取得的最大值為 4,最小值為14，求n的取值范圍.【分析】(1)把A點坐標代入可求得 m的值，可求得二次函數(shù)解析式，化

40、為頂點式可求得D的坐標；(2)利用兩點間的距離公式可求得 AC、CD、AD,可知 ACD為直角三角形，AD為斜邊，可知E為AC的中點，可求得 E的坐標及半徑;13= -.（3）當x 2時，可求得y=i4,且當x=1時y=4,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可求得n的范圍.【解答】解：（1） ;拋物線過A點，代入二次函數(shù)解析式可得-9+6 （ m - 2） +3=0,解得m=3,一二次函數(shù)為 y= - x2+2x+3= - （ x- 1） 2+4 , 頂點 D 為（1, 4）;（2）由（1）可求得C坐標為（0, 3）,AC =忖 + 3=3盤,CD =+ （4 _ 刃之=0,AD = &1-3）*

41、+ = 2居， AC2+CD2=AD2, .ACD為直角三角形， . E為AD的中點，E點坐標為（2,2）,外接圓的半徑r 2人口 =鄧；13="-（3）當 x 2時，y=14,當 x= 1 時，y=4,13 一 M- V. .當 2 x< 1 時，# y< 4,53< 一一 <根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知當1Wx 2時，14 yW4,5< ,2.K n 二.【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的頂點坐標、增減性、及直角三角形的判定等知識的綜合應用.在（1）中掌握點的坐標滿足函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）中判定出4ACD為直角三角形是解題

42、的關(guān)鍵，在（3）中利用二次函數(shù)的對稱性，結(jié)合二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的增減性可確定出n的范圍.本題難度不大，注重基礎(chǔ)知識的綜合，較易得分.7.如圖，拋物線 y=ax2+bx+2與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為（-1,0）,拋物線的對稱軸為3X =一直線 2.點M為線段AB上一點，過M作x軸的垂線交拋物線于 P,交過點A的直線y=-x+n于點C.(1)求直線AC及拋物線的解析式；3PM 二一(2)若 2 ,求PC的長；(3)過P作PQ/ AB交拋物線于點 Q,過Q作QN，x軸于N,若點P在Q左側(cè)，矩形PMNQ的 周長記為d,求d的最大值.評【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)將A ( -

43、1, 0)代入y=-x+n,運用待定系數(shù)法求出直線 AC的解析式；根據(jù)拋物線b 3的對稱軸為x2,把點A的坐標代入y=ax2+bx+2,組成關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解即可得到拋物線的解析式；1313M - =+(2)設(shè) M 點橫坐標為 m,則 P (m, m2 2m+2), C (m, - m- 1),得出 PM m2m+2 ,1531333 ± ；13= + 一 + =PC2m2 2m+3 由 PM 2 得到 2巾2 2m+？ 2 即 m2 = 3m+1 ? m 2,進而_8±13 求出pc 2.133= -f (3)設(shè)M點橫坐標為 m,則PM2巾2 2m+？，mn

44、 = 2 (2 m) =3-2m,矩形PMNQ的周長d= - m2 - m+10,將-m2-m+10配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)， 即可得出矩形 PMNQ的周長的最 大值.【解答】解：(1)二直線y=-x+n過點A (T, 0),0= 1+n,解得 n= - 1,直線AC的解析式為y= - x - 1 ；拋物線y=ax2+bx+2的對稱軸為直線 x 2 經(jīng)過點a（ 1,。），b 3 - =2a 21a =-23 b = 解得工.3卜一 2 八 占x+2;13" + 一則P點坐標為（m,2m2 2m+2）, c點坐標為（m, _ m，1）.1=-，拋物線的解析式是：y-'x2(2)

45、如圖，設(shè)M點橫坐標為m,點M為線段AB上一點，一 1< mv4.13=-十 -PM2m2 2m+2, pc=(_32. PM ，133 +=2m2 2 m+2 2,整理，得 m2-3m-1 = 0,_3 ±,/131. m2= 3m+1, m 2,1 51= -=-I-= 一 一1315 ,= + = - 十 2 m2 2 m+2)( mi) m m 2 m+355+ + .PCm m2 m m+32 (3m+1)2 m+3= m ?_3±J13_8土聲時，PC133= = + (3)設(shè) M 點橫坐標為 m,則 PM2 m2 2 m+2, mn=2(2 m)=3-2m

46、,13 十 一,.矩形 PMNQ 的周長 d = 2 (PM + MN) = 2 ( 2 m2 2巾+2+3- 2m)= m2 - m+10.141+ +'- - m2 - m+10 = - (m 2)241 41當m 2時，d有最大值4【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函 數(shù)的解析式，平行于坐標軸上的兩點之間的距離，矩形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，二次函數(shù)最 值的求法，綜合性較強，難度適中.運用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵.8.如圖，拋物線 y=ax2+bx+2與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為(-1,0),拋物線的對稱軸為 直線x

47、= 1.5,點M為線段AB上一點，過M作x軸的垂線交拋物線于 P,交過點A的直線y= - x+n 于點C.(1)求直線AC及拋物線的解析式;(2) M位于線段AB的什么位置時，PC最長，并求出此時 P點的坐標；_2'A APH(3)若在(2)的條件下，在 x軸上方的拋物線上是否存在點Q,使3,求點Q的坐標.【考點】HF:二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)將A ( - 1, 0)代入y=-x+n,運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；根據(jù)拋物線b 3 的對稱軸為x 2a 2 ,把點A的坐標代入y=ax2+bx+2,組成關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解即可得到拋物線的解析式；1313M - =+

48、(2)設(shè) M 點橫坐標為 m,則 P (m, 2m2 2m+2),C (m, - m- 1),得出 PM m2 2 m+2 ,化成頂點式即可；(3)根據(jù)拋物線的對稱軸和 A的坐標，求得 B的坐標，求得 AB,從而求得三角形 APB的面積，進而求得三角形 ABQ的面積，得出 Q的縱坐標，把縱坐標代入拋物線的解析式即可求得橫坐標，從而求得Q的坐標.【解答】解：(1)二直線y=-x+n過點A (T, 0),0= 1+n,解得 n= - 1,，直線AC的解析式為y= - x - 1;_3拋物線y=ax2+bx+2的對稱軸為直線 x 2 ,經(jīng)過點A ( - 1, 0),b 3 2a 21a =-23b

49、=一解得213=-十 ，拋物線的解析式是：y2x2 2*+2；13-+ 一(2)如圖，設(shè)M點橫坐標為 m,則P點坐標為(m, 2巾2 2巾+2), C點坐標為(m, - m- 1).點M為線段AB上一點，一 1< m<4.1 315+ 三 + PC= ( 2m2 2 m+2)_(_ m) m m 2 m+3151549=. = + +. PC 2m2 2m+32 (m 2)2 8_55 21_7所以，當m 2時，PC最長，此時P(2, 8), AM 2.(3)存在；_3拋物線y=ax2+bx+2的對稱軸為直線 x 2,經(jīng)過點a( - 1, 0),B (4, 0)AB=5,_12Sa

50、pbAB?PM121 105X X =2ABi652二S A APB35Sabq *設(shè)Q點縱坐標為n,1.Sabq AB?n,352S f.ABQ472217= = = = 一 x =一.n AB54,(或n 384這樣計算比較方便)，7 133 十力I3 - JU _ _|_ ，42x2 2*+2,解得：x 2 或 x 23+<11 73-國 7 .Q (2, 4)或(2,4)【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，平行于坐標軸上的兩點之間的距離，一元二次方程的解法，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強，難度適中.運用數(shù)形結(jié)合、方程思

51、想是解題的關(guān)鍵.9.如圖，拋物線 y=-x2-2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.(1)求A、B、C的坐標；(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合)，過點M作x軸的垂線，與直線 AC交于點E,與拋物線交于點 P,過點P作PQ/AB交拋物線于點 Q,過點 Q作QNx軸于點N.若點P在點Q左邊，當矩形 PMNQ的周長最大時，求 AEM的面積；(3)在(2)的條件下，當矩形 PMNQ的周長最大時，連接 DQ.過拋物線上一點 F作y軸的平行線，與直線 AC交于點G (點G在點F的上方).若FG = 2%DQ,求點F的坐標.【考點】HF:

52、二次函數(shù)綜合題.【專題】153:代數(shù)幾何綜合題；16:壓軸題.【分析】方法一：(1)通過解析式即可得出 C點坐標，令y=0,解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標.(2)設(shè) M 點橫坐標為 m,貝 U PM = - m22m+3, MN = (- m 1) X2= 2m- 2,矩形 PMNQ 的周長d= - 2m2- 8m+2,將-2m2- 8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x= m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積.(3)設(shè)F (n, - n2-2n+3),根據(jù)已知若FG = 2/DQ,即可求得.方法二：(1)略.(2)求出P, Q的

53、參數(shù)坐標，并得出周長的函數(shù)表達式，求出 P點，進而求出E點坐標，并求出 AEM的面積.(3)求出D點坐標，并求出 DQ長度；再求出F, G的參數(shù)坐標，并得到 FG的函數(shù)表達式，禾U 用FG = DQ,求點F的坐標.(4)利用點P, B求出直線PB的斜率及中點坐標，進而 GH的直線方程，再與拋物線聯(lián)立，進而 求出G, H坐標.【解答】方法一：解：(1)由拋物線 y=- x2-2x+3 可知，C (0, 3),令 y= 0,貝U 0 = - x2 - 2x+3,解得 x= - 3 或 x= 1, .A (- 3, 0), B (1, 0).(2)由拋物線 y= - x2-2x+3可知，對稱軸為 x= - 1,設(shè) M 點的橫坐標為 m,則 PM = - m2 2m+3, MN = ( m 1) x 2= - 2m 2, .矩形 PMNQ 的周長=2 (PM + MN) = ( m2 - 2m+3 - 2m- 2) x 2= - 2m2-8m+2= - 2 (m+2)2+10,當m=-2時矩形的周長最大. A (-3, 0), C (0, 3),設(shè)直線 AC 解析式為 y=kx+b,解得 k= 1, b=3,解析式 y = x+3 ,當 x= - 2 時，貝 U E (-2, 1), .E