函數(shù)的周期性大講堂

1、函數(shù)的周期性大講堂一、正弦函數(shù)的周期三角函數(shù)，以正弦函數(shù) y = sin x為代表，是典型的周期函數(shù).冪函數(shù) y = x 無(wú)周期性，指數(shù)函數(shù) y = ax 無(wú)周期性，對(duì)數(shù)函數(shù) y =logax無(wú)周期，一次函數(shù) y = kx+b、二次函數(shù) y = ax2+bx+c、三次函數(shù) y = ax3+bx2 + cx+d無(wú)周期性.周期性是三角函數(shù)獨(dú)有的特性. 1、正弦函數(shù) y=sin x 的最小正周期在單位圓中，設(shè)任意角的正弦線為有向線段MP.正弦函數(shù)的周期性動(dòng)點(diǎn)P每旋轉(zhuǎn)一周，正弦線MP的即時(shí)位置和變化方向重現(xiàn)一次.同時(shí)還看到，當(dāng)P的旋轉(zhuǎn)量不到一周時(shí)，正弦線的即時(shí)位置包括變化方向不會(huì)重現(xiàn).因此，

2、正弦函數(shù)y=sinx的最小正周期2. 2、y=sin（x）的最小正周期設(shè)>0，y =sin（x）的最小正周期設(shè)為L(zhǎng) .按定義 y = sin （x+L） = sin（x+ L） = sinx .令x = x    則有 sin （x + L） = sin x因?yàn)閟inx最小正周期是2，所以有例如 sin2x的最小正周期為sin的最小正周期為 3、正弦函數(shù) y=sin（x+） 的周期性對(duì)正弦函數(shù)sinx的自變量作“一次替代”后，成形式y(tǒng) = sin （x+）.它的最小正周期與y = sinx的最小正周期相同，都是.如的最小周期與 y = s

3、in（3x）相同，都是.于是，余弦函數(shù)的最小正周期與sinx的最小正周期相同，都是2.  二、復(fù)合函數(shù)的周期性將正弦函數(shù) y = sin x 進(jìn)行周期變換xx，sinx sinx后者周期變?yōu)槎谝韵碌母鞣N變換中，如（1）初相變換sinx sin（ x+）；（2）振幅變換sin（x +） Asin（ x+）；（3）縱移變換  Asin（ x +） Asin（ x+）+m；后者周期都不變，亦即 Asin（ x +） +m與sin（x）的周期相同，都是.而對(duì)復(fù)合函數(shù) f （sinx）的周期性，由具體問(wèn)題確定. 1、復(fù)合函數(shù) f（sinx） 的周期性【例題】 研

4、究以下函數(shù)的周期性：（1）2 sinx；       （2）（2）的定義域?yàn)?k，2k+，值域?yàn)?，1，作圖可知，它是最小正周期為2的周期函數(shù).【解答】 （1）2sinx 的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，作圖可知，它是最小正周期為2的周期函數(shù).【說(shuō)明】 從基本函數(shù)的定義域，值域和單調(diào)性出發(fā)，通過(guò)作圖，還可確定，loga x，sinx，sin（sinx）都是最小正周期2的周期函數(shù). 2、y= sin3 x 的周期性對(duì)于y = sin3x =(sinx)3，L=2肯定是它的周期，但它是否還有更小的周期呢？我們可以通過(guò)作圖判斷，分別列表作圖

5、如下.   圖上看到，y = sin3x 沒(méi)有比2更小的周期，故最小正周期為2. 3、y= sin2 x 的周期性對(duì)于y = sin2x = (sinx)2，L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否為2？可以通過(guò)作圖判定，分別列表作圖如下.  圖上看到，y = sin2x 的最小正周期為，不是2. 4、sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期為，還可通過(guò)另外一種復(fù)合方式得到.因?yàn)?cos2x 的周期是，故 sin2x的周期也是.sin2x的周期，由cosx的2變?yōu)閟in2x的. 就是因

6、為符號(hào)法“負(fù)負(fù)得正”所致.因此，正弦函數(shù)sinx的冪符合函數(shù)sinmx，當(dāng)m=2n時(shí)，sinm x的最小正周期為；m = 2n1時(shí)，sinmx的最小正周期是2.  5、冪復(fù)合函數(shù)舉例【例1】 求 y =|sinx|的最小正周期. 【解答】 最小正周期為. 【例2】 求的最小正周期.【解答】 最小正周期為2. 【例3】 求的最小正周期.【解答】 最小正周期為.【說(shuō)明】 正弦函數(shù)sinx的冪復(fù)合函數(shù).當(dāng)q為奇數(shù)時(shí)，周期為2；q為偶數(shù)時(shí)，周期為.三、周期函數(shù)的和函數(shù)兩個(gè)周期函數(shù)，如 sin x 和 cosx ，它們最小正周期相同，都是 2. 那么它們

7、的和函數(shù)，即 sinx + cos x的最小正周期如何？和函數(shù)的周期與原有函數(shù)的周期保持不變. 這個(gè)結(jié)論符合一般情況.對(duì)于另一種情況，當(dāng)相加的兩個(gè)函數(shù)的最小正周期不相同，情況將會(huì)如何？ 1、函數(shù) sinx + sin2 x 的周期性sin x的最小正周期為2，sin2x的最小正周期是，它們之間誰(shuí)依賴(lài)誰(shuí)，或依賴(lài)一個(gè)第三者？列表如下. 表上看到函數(shù)sinx+sin2x的最小正周期是2. 2、函數(shù) sinx + sin2x 的周期性依據(jù)上表，作sinx+sin2x 的圖像如右.從圖上看到，函數(shù)的最小正周期為2. 由sinx，sin2x的最小正周期中的大者決定，因?yàn)榍罢呤呛笳叩?倍.從圖上看到，sinx+sin2x仍然是個(gè)“振動(dòng)函數(shù)”，但振幅已經(jīng)不是常數(shù)了. 3、函數(shù)sinx+sinx的周期性sinx的最小正周期為2，sinx的最小正周期是3.們之間的和sinx + sinx的最小正周期也由“較大的”決定嗎？即“和函數(shù)”的周期為3嗎？不妨