結(jié)構(gòu)力學(xué)(虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算)

1、第四章第四章 虛功原理和結(jié)構(gòu)位移計算虛功原理和結(jié)構(gòu)位移計算Computation of displacement of structure主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容42 剛體體系虛功原理及其應(yīng)用剛體體系虛功原理及其應(yīng)用43 變形體結(jié)構(gòu)位移計算一般公式變形體結(jié)構(gòu)位移計算一般公式44 荷載作用下的位移計算及舉例荷載作用下的位移計算及舉例45 圖圖 乘乘 法法46 溫度作用時的位移計算溫度作用時的位移計算 47 互等定理互等定理48 小小 結(jié)結(jié)41 結(jié)構(gòu)位移概念結(jié)構(gòu)位移概念 1 1、工程結(jié)構(gòu)在荷載作用、溫度變化、材料收縮和支座移、工程結(jié)構(gòu)在荷載作用、溫度變化、材料收縮和支座移動等因素下：動等因素下： 結(jié)

2、構(gòu)的形狀一般會發(fā)生變化結(jié)構(gòu)的形狀一般會發(fā)生變化-變形變形( (或形變或形變) ) 結(jié)構(gòu)的截面位置會發(fā)生變化結(jié)構(gòu)的截面位置會發(fā)生變化- -位移位移( (線位移或角位移線位移或角位移) ) ( () )為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打下基礎(chǔ)為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打下基礎(chǔ)（）為研究結(jié)構(gòu)動力計算和穩(wěn)定分析的打基礎(chǔ)）為研究結(jié)構(gòu)動力計算和穩(wěn)定分析的打基礎(chǔ) 在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護等過程中，往在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護等過程中，往往需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取往需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取相應(yīng)的措施（如圖），以消除位移的影響相應(yīng)的措施（如圖），以消除位移的影響 2、結(jié)構(gòu)位移計算的目的、結(jié)構(gòu)位移計算的目的

3、(1)驗證結(jié)構(gòu)的剛度驗證結(jié)構(gòu)的剛度3 3、位移產(chǎn)生的原因、位移產(chǎn)生的原因（1）、結(jié)構(gòu)）、結(jié)構(gòu)內(nèi)力內(nèi)力應(yīng)變應(yīng)變結(jié)構(gòu)上各點位置發(fā)生變化結(jié)構(gòu)上各點位置發(fā)生變化荷載作用荷載作用變形變形（2）、結(jié)構(gòu)）、結(jié)構(gòu)非荷載作用非荷載作用溫度改變、支座移動、溫度改變、支座移動、材料漲縮、制造誤差材料漲縮、制造誤差位移位移雖不一定產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，但卻使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。雖不一定產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，但卻使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。變形變形(deformation)結(jié)構(gòu)在外部因素作用下，產(chǎn)生尺寸形狀的改變；結(jié)構(gòu)在外部因素作用下，產(chǎn)生尺寸形狀的改變；由于變形將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各結(jié)點位置的移動，于是產(chǎn)生由于變形將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各結(jié)點位置的移動，于是產(chǎn)生位移位

4、移。1）、）、線位移線位移 4 4、結(jié)構(gòu)位移結(jié)構(gòu)位移2）、）、角位移角位移： 3）、位移有）、位移有“相對位移相對位移”與與“絕對位移絕對位移”之分。之分。 上述各種位移統(tǒng)稱為上述各種位移統(tǒng)稱為“廣義位移廣義位移”。與廣義位移相對應(yīng)的力稱為與廣義位移相對應(yīng)的力稱為“廣義力廣義力”。水平線位移：水平線位移： H鉛直線位移：鉛直線位移： V 在梁和桁架中，垂直方向位移稱為在梁和桁架中，垂直方向位移稱為撓度撓度(deflection)(deflection)在剛架中，結(jié)點水平方向位移在剛架中，結(jié)點水平方向位移稱為稱為側(cè)移側(cè)移在超靜定剛架中，荷載作用下，在超靜定剛架中，荷載作用下，結(jié)點不僅有角位移，同

5、時有側(cè)結(jié)點不僅有角位移，同時有側(cè)移現(xiàn)象。如圖示移現(xiàn)象。如圖示4）、各種位移舉例、各種位移舉例相對位移相對位移Relative displacementCD= C+ D絕對位移絕對位移( (Absolute displacement) )一般而言，位移有其產(chǎn)生的一般而言，位移有其產(chǎn)生的原因原因和所在結(jié)構(gòu)和所在結(jié)構(gòu)部位和方向部位和方向。位移用位移用表示表示.雙角標(biāo)雙角標(biāo)表示表示第二角標(biāo)：第二角標(biāo)：產(chǎn)生該位移的原因產(chǎn)生該位移的原因第一角標(biāo)：第一角標(biāo)：位移的地點和方向位移的地點和方向ijPjABijij由于作用于由于作用于j點確定方向的力點確定方向的力Pj所引起的所引起的i點在某點在某 確定方向的位移

6、確定方向的位移ijPj=1ABijjj柔度柔度( (Flexibility ) )單位力所引起的位移單位力所引起的位移ij 間接柔度間接柔度jj 直接柔度直接柔度jj 0ij00=05 5、計算位移的有關(guān)假定、計算位移的有關(guān)假定 1)、結(jié)構(gòu)材料服從、結(jié)構(gòu)材料服從“虎克定律虎克定律”，即應(yīng)力、應(yīng)變成線形關(guān)系。，即應(yīng)力、應(yīng)變成線形關(guān)系。 2)、小變形假設(shè)。變形前后荷載作用位置不變。、小變形假設(shè)。變形前后荷載作用位置不變。 3)、結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不計摩擦阻力。、結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不計摩擦阻力。 4)、當(dāng)桿件同時承受軸力與橫向力作用時，、當(dāng)桿件同時承受軸力與橫向力作用時， 不考慮由于

7、桿彎曲不考慮由于桿彎曲 所引起的桿端軸力對彎矩及彎曲變形的影響。所引起的桿端軸力對彎矩及彎曲變形的影響。 滿足以上要求的體系為滿足以上要求的體系為“線變形體系線變形體系”。因位移與荷載因位移與荷載為線形關(guān)系，故求位移時可用為線形關(guān)系，故求位移時可用疊加原理。疊加原理。PPBA6 6、計算結(jié)構(gòu)位移的方法、計算結(jié)構(gòu)位移的方法幾何法幾何法單位荷載法單位荷載法一、基本概念一、基本概念 1、功、功 (Work)： 2、實功：力由于自身所引起的位移而作功。、實功：力由于自身所引起的位移而作功。P當(dāng)靜力加載時，即：當(dāng)靜力加載時，即： P由由0增加至增加至P 由由0增加至增加至 PT21 實功的計算式為：實功

8、的計算式為： 3、虛功：當(dāng)位移與作功的力無關(guān)時，這樣的功稱為虛功。、虛功：當(dāng)位移與作功的力無關(guān)時，這樣的功稱為虛功。 PT PAA D虛功的計算式為：虛功的計算式為： 4、虛功對應(yīng)的兩種狀態(tài)及應(yīng)滿足的條件：、虛功對應(yīng)的兩種狀態(tài)及應(yīng)滿足的條件：虛功的兩因素虛功的兩因素:力力相應(yīng)的位移相應(yīng)的位移（1）虛力狀態(tài)：虛力狀態(tài)：為求真實位移而為求真實位移而虛設(shè)的力虛設(shè)的力狀態(tài)，應(yīng)滿足狀態(tài)，應(yīng)滿足靜力平衡靜力平衡條件條件（2）虛位移狀態(tài)：虛位移狀態(tài)：為求真實力而為求真實力而虛設(shè)的位移虛設(shè)的位移狀態(tài)，應(yīng)滿足狀態(tài)，應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條變形協(xié)調(diào)條。 剛體虛功原理：剛體平衡的剛體虛功原理：剛體平衡的充要條件充要條件是作

9、用于剛體上是作用于剛體上的的外力外力在剛體的在剛體的任何虛位移任何虛位移上所作的虛功總和為上所作的虛功總和為零零。即：。即： (3)、虛力原理虛力原理：研究虛設(shè)的平衡力系在實際位移上的：研究虛設(shè)的平衡力系在實際位移上的 功，以計算結(jié)構(gòu)的未知位移功，以計算結(jié)構(gòu)的未知位移(如撓度、轉(zhuǎn)角等如撓度、轉(zhuǎn)角等). (4)、虛位移原理虛位移原理：研究實際的平衡力系在虛設(shè)位移上的功，：研究實際的平衡力系在虛設(shè)位移上的功， 以計算結(jié)構(gòu)的未知力以計算結(jié)構(gòu)的未知力(如支座反力等如支座反力等).二、剛體虛功原理二、剛體虛功原理理論力學(xué)理論力學(xué)質(zhì)點、質(zhì)點系虛功原理質(zhì)點、質(zhì)點系虛功原理W外外01、虛力原理、虛力原理 (

10、Virtual force theory )以圖以圖(a)示靜定梁為例說明虛力原理示靜定梁為例說明虛力原理已知：支座已知：支座A移動位移動位 移移c1，求求 解：解：因位移狀態(tài)給定因位移狀態(tài)給定故用虛力原理故用虛力原理虛設(shè)一單位力，如圖虛設(shè)一單位力，如圖(b)示示ABCP=1R1圖（圖（b）由平衡條件知：由平衡條件知：R1ab由虛功方程：由虛功方程：011abc即即abc1未知力與已知力未知力與已知力之間的幾何方程之間的幾何方程ABC圖（圖（a）abc1 AB應(yīng)用虛力原理求未知位移的應(yīng)用虛力原理求未知位移的關(guān)鍵關(guān)鍵是沿擬求位移是沿擬求位移方向虛設(shè)單方向虛設(shè)單位荷載，并利用平衡條件求與已知位移位

11、荷載，并利用平衡條件求與已知位移c1對應(yīng)的支反力對應(yīng)的支反力R1這種解法稱為這種解法稱為單位荷載法。單位荷載法。特點特點：利用靜力平衡，通過虛功方程來解幾何問題。：利用靜力平衡，通過虛功方程來解幾何問題。適用范圍：適用范圍：剛體體系的位移計算，剛體體系的位移計算，變形體體系的位移計算問題。變形體體系的位移計算問題。2、支座位移時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算、支座位移時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算虛設(shè)單位荷載的虛設(shè)單位荷載的目的目的 使虛功方程中正好包含擬求位移對應(yīng)的力使虛功方程中正好包含擬求位移對應(yīng)的力即：單位荷載所作的虛功在數(shù)值上正好等于擬求的位移。即：單位荷載所作的虛功在數(shù)值上正好等于擬求的位移。例例1 :

12、如圖示梁在支座如圖示梁在支座A有豎向位移有豎向位移cA，擬求，擬求C點的豎向位移點的豎向位移C;C;(1) 桿桿CD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角.解解: (1)在點加一豎向在點加一豎向 ，圖，圖(b)示示:(a)(b)(c)列虛功方程：列虛功方程：0311ACc()在桿上一力偶在桿上一力偶 ，圖，圖()示示:021lcA解得：解得：ACc31Acl 21 所得位移為正，表明所得位移為正，表明與單位荷載方向一致與單位荷載方向一致小結(jié)：小結(jié)：支座支座K有給定位移有給定位移cK時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算步驟時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算步驟2.令虛設(shè)力在令虛設(shè)力在 實際位移上作虛功，寫出虛功方程實際位移上作虛功，寫出虛功方程01K

13、RKcF沿擬求位移沿擬求位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載，求出單位方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載，求出單位 荷載下的支座反力荷載下的支座反力FRK.得到虛設(shè)的平衡力系。得到虛設(shè)的平衡力系。3. 求擬求位移為：求擬求位移為：KRKcF圖（c）例例2：已知已知B截面處有相對轉(zhuǎn)角截面處有相對轉(zhuǎn)角，擬求，擬求A點的豎向位移點的豎向位移。分析：分析：圖（b）圖（a）Ma . 12) 虛設(shè)虛設(shè)P=13) 虛功方程虛功方程01MaM所以所以1）等效圖（）等效圖（b）例題例題3 三鉸剛架，支座三鉸剛架，支座B發(fā)生如圖所示的位移發(fā)生如圖所示的位移,a=5cm, b=3cm, l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座處桿端截面

14、的轉(zhuǎn)角。求由此而引起的左支座處桿端截面的轉(zhuǎn)角 A。-5解：思路解：思路:沿擬求位移方向上沿擬求位移方向上加單位力加單位力（圖（圖2），求出支座），求出支座反力后依求位移公式計算位移：反力后依求位移公式計算位移：（圖（圖1）（圖（圖2） aKACR )05. 0101()03. 061( ).(01. 0 rad3. 局部變形時剛體體系的位移計算公式圖示懸臂梁圖示懸臂梁B點附近的微段點附近的微段ds有局部變形有局部變形微段局部變形包括微段局部變形包括平均剪切應(yīng)變平均剪切應(yīng)變軸線曲率為軸線曲率為k軸向伸長應(yīng)變軸向伸長應(yīng)變求求A點沿點沿 方向的位移分量方向的位移分量 dBCAsdsC1A1d思思 路

15、：路：相對剪切位移相對剪切位移 d= ds相對轉(zhuǎn)角相對轉(zhuǎn)角 d= k ds = ds/R相對軸向位移相對軸向位移 dds首先首先dl l g gdsd 其次：將微段變形集中化，即其次：將微段變形集中化，即ds 0B截面發(fā)生集中的相對位移截面發(fā)生集中的相對位移d、 d 、 d最后：應(yīng)用剛體虛功原理，得最后：應(yīng)用剛體虛功原理，得dNdQdMddsNQkMd)(或或虛設(shè)單位力在截面虛設(shè)單位力在截面B處引處引起的彎矩、剪力、軸力起的彎矩、剪力、軸力BAP=1 局部變形的位局部變形的位移計算公式移計算公式 kcddudRKQNFFFM kcdsRKQNFFFM0gRKQNFFFM、 其中其中 -虛擬單位

16、力下的彎距、軸力、虛擬單位力下的彎距、軸力、 剪力和反力剪力和反力 kc、0g-實際變形狀態(tài)軸線曲率、軸線伸長應(yīng)實際變形狀態(tài)軸線曲率、軸線伸長應(yīng) 變、平均剪切應(yīng)變和支座位移變、平均剪切應(yīng)變和支座位移 一、公式一、公式dsNQkMd)(dsFFkMdQN)(0支座支座位移位移分析，見圖分析，見圖 (a)求結(jié)構(gòu)上任一點求結(jié)構(gòu)上任一點C沿指定方向沿指定方向K-K上上的分位移的分位移KP(1)可按常規(guī)計算方法，可按常規(guī)計算方法， 但計算工作麻煩。但計算工作麻煩。(2)利用虛功原理，利用虛功原理， 結(jié)構(gòu)有變形又要有力系。結(jié)構(gòu)有變形又要有力系。求結(jié)構(gòu)變形，須有平衡力系求結(jié)構(gòu)變形，須有平衡力系虛功原理中，虛

17、功原理中，作功力系與位移可以彼此無關(guān)，作功力系與位移可以彼此無關(guān)，二者之一可以虛設(shè)二者之一可以虛設(shè)。見圖見圖(b) 狀態(tài)狀態(tài)II表示虛擬狀態(tài)，沿表示虛擬狀態(tài)，沿K-K方向作用方向作用1KP 虛擬力引起的內(nèi)力為虛擬力引起的內(nèi)力為,KKKNMQ求求KP(1)先設(shè)剛架處于先設(shè)剛架處于II： 內(nèi)力，外力滿足平衡條件內(nèi)力，外力滿足平衡條件(2)再設(shè)其產(chǎn)生再設(shè)其產(chǎn)生I 的位移：的位移： 即，將結(jié)構(gòu)的實際位移作為即，將結(jié)構(gòu)的實際位移作為 狀態(tài)狀態(tài)II的虛位移的虛位移根據(jù)虛功原理和根據(jù)虛功原理和 得：得：1KP 1KPMdNdQ dsRclg1KPMdNdQ dsRclgPKPKPKKPM MN NkQ Qd

18、sdsdsRcEIEAGA，NddsEAlMddsEIkQdsdsGAgPKPKPKKPM MN NkQ QdsdsdsRcEIEAGA此即為由虛功原理得到的此即為由虛功原理得到的計算結(jié)構(gòu)位移的一般公式計算結(jié)構(gòu)位移的一般公式 (稱單位載荷法稱單位載荷法)它可以計算結(jié)構(gòu)的：線位移、角位移、結(jié)構(gòu)絕對、相對位移。它可以計算結(jié)構(gòu)的：線位移、角位移、結(jié)構(gòu)絕對、相對位移。虛擬狀態(tài)中的虛擬狀態(tài)中的單位力單位力為所計算為所計算位移相應(yīng)的廣義力位移相應(yīng)的廣義力。二、變形體位移計算的步驟：二、變形體位移計算的步驟：1、沿擬求位移、沿擬求位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載3、利用公式計算擬求位移、利用

19、公式計算擬求位移注：注：1、是廣義位移是廣義位移2、應(yīng)用單位荷載法每次只能求得一個位移、應(yīng)用單位荷載法每次只能求得一個位移3、虛擬單位力的指向可任意假定，求出結(jié)果為正表明、虛擬單位力的指向可任意假定，求出結(jié)果為正表明 實際位移方向與虛擬單位力的方向一致，否則相反實際位移方向與虛擬單位力的方向一致，否則相反2、確定單位荷載下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力、確定單位荷載下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力 M、 N、 Q 和支反力和支反力R三、幾種類型的虛擬狀態(tài)三、幾種類型的虛擬狀態(tài) 求線位移：求線位移： 沿擬求位移方向上施加相應(yīng)的單位力。沿擬求位移方向上施加相應(yīng)的單位力。求轉(zhuǎn)角、相對轉(zhuǎn)角：求轉(zhuǎn)角、相對轉(zhuǎn)角： 沿擬求位移方向上施加相應(yīng)的單位

20、力矩。沿擬求位移方向上施加相應(yīng)的單位力矩。若求結(jié)構(gòu)上若求結(jié)構(gòu)上C點的豎向位移，可在該點沿所求位移方點的豎向位移，可在該點沿所求位移方向加一單位力，如圖示向加一單位力，如圖示2) 若求結(jié)構(gòu)上截面若求結(jié)構(gòu)上截面A的角位移，可在截面處加一單位力偶。的角位移，可在截面處加一單位力偶。若求桁架中若求桁架中AB桿的角位移，應(yīng)加桿的角位移，應(yīng)加一單位力偶，構(gòu)成這一力偶的兩個一單位力偶，構(gòu)成這一力偶的兩個集中力的值取集中力的值取 1/d。作用于桿端。作用于桿端且垂直于桿且垂直于桿(d 為桿長為桿長)。3) 若要求結(jié)構(gòu)上兩點若要求結(jié)構(gòu)上兩點(A、B)沿其連線的相對位移，可在沿其連線的相對位移，可在該兩點沿其連線

21、加上兩個方向相反的單位力。該兩點沿其連線加上兩個方向相反的單位力。4) 若求梁或剛架上兩個截面的相對角位移，可在兩個若求梁或剛架上兩個截面的相對角位移，可在兩個截面上加兩個方向相反的單位力偶。截面上加兩個方向相反的單位力偶。PFQPNPPF,F,MEIMPEAFNPGAFQPk0dsMdsFdsF0QNgdsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNP一、荷載作用下內(nèi)力和變形的關(guān)系一、荷載作用下內(nèi)力和變形的關(guān)系dsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNP以拉力 為拉FFNPN,QPQF,F拉時時其乘積取正兩者使桿件同側(cè)纖維受 PM,M式式 中中M, FN , FQ是實際荷載引起的內(nèi)

22、力是實際荷載引起的內(nèi)力以使微段順時針轉(zhuǎn)動為正以使微段順時針轉(zhuǎn)動為正1 1）梁和剛架）梁和剛架dsEIMMP2 2）桁架）桁架dsEAFFNPN3 3）桁梁混合結(jié)構(gòu)）桁梁混合結(jié)構(gòu)dsEAFFdsEIMMNPNP4 4）拱）拱dsEAFFdsEIMMNPNP二、各類結(jié)構(gòu)的位移公式二、各類結(jié)構(gòu)的位移公式 三、位移計算舉例三、位移計算舉例 例題例題1 試求圖示剛架試求圖示剛架A點的豎向位移點的豎向位移AV。各桿材。各桿材料相同，截面抗彎模量為料相同，截面抗彎模量為EI。解：（解：（1）在）在A點加一單位力，建立坐標(biāo)系如（圖點加一單位力，建立坐標(biāo)系如（圖2）示，寫出）示，寫出彎矩表達式彎矩表達式AB段：

23、段：BC段：段： （2）荷載作用下（圖）荷載作用下（圖1）的彎矩表達式）的彎矩表達式AB段：段：BC段：段：1xMK lMK 221qxMP 22qlMP （3）將以上彎矩表達式代入求位移公式）將以上彎矩表達式代入求位移公式)(85)2)(1)2)(1402210211 EIqldxqllEIdxqxxEIdsEIMMllPKAV例例2，計算圖示剛架，計算圖示剛架C端的水平位移和角位移端的水平位移和角位移已知已知EI為常數(shù)。為常數(shù)。解：在載荷作用下，解：在載荷作用下，剛架的剛架的 圖如圖所示，圖如圖所示，PM狀態(tài)狀態(tài)IAB柱212PMqa 212PMqx BC梁求求C點的水平位移，可在點的水平

24、位移，可在C點加一單位力點加一單位力得狀態(tài)得狀態(tài)II，KM圖圖BC梁0KMAB柱KMx狀態(tài)狀態(tài)II代入位移公式，得：代入位移公式，得：201()20aPKcxqaM MdsdxEIEI 44qaEI求求C點的角位移，點的角位移， 可在可在C點加一單位彎矩點加一單位彎矩, 如圖示如圖示.其計算方法與其計算方法與(1)相同相同例例2. 計算桁架結(jié)點計算桁架結(jié)點C 的豎向位移，設(shè)各桿的豎向位移，設(shè)各桿EA都相同。都相同。解解 1)、分析內(nèi)力：、分析內(nèi)力：本問題因為桁架與載荷均對稱，本問題因為桁架與載荷均對稱，所有只需計算所有只需計算一半桁架的內(nèi)力一半桁架的內(nèi)力。ABDE利用體系利用體系整體平衡整體平

25、衡關(guān)系，得：關(guān)系，得：支座反力支座反力ABVVP利用利用結(jié)點法結(jié)點法，取，取A點分析點分析由由A點的點的Y方向平衡得：方向平衡得：0AADVYADAYVP ABDE利用三角形關(guān)系利用三角形關(guān)系A(chǔ)點點X方向平衡方向平衡得：得：0ACADNXACNP(拉力拉力)ABDE(壓力壓力)2ADADdYNd22ADADNYP 同理同理2ADADdXNdADXP ABDE取取D點分析點分析D點點X方向平衡方向平衡DEADNXP (壓力壓力)顯然顯然DC桿的桿力為桿的桿力為零零。2)、計算位移、計算位移C點加一單位力點加一單位力 P1由位移公式：由位移公式：2(22)6.83( )PdPdEAEA1212 (

26、2 ) ()222() ( 1) 2 22PdPdPdEA 1cPKN N lEA 為正值表示，為正值表示，C處的位移與虛擬力的方向相同。處的位移與虛擬力的方向相同。c例題例題3 試求圖示桁架試求圖示桁架C點的豎向位移點的豎向位移CV。各桿材料相。各桿材料相 同，截面抗拉壓模量為同，截面抗拉壓模量為26/102mKNEA (kN)NP圖圖( a)KN圖圖( b)解（解（1）在）在C點加一單位力，作桁架內(nèi)力圖點加一單位力，作桁架內(nèi)力圖.如圖如圖(b)示示. （2）作出荷載作用下的桁架內(nèi)力圖）作出荷載作用下的桁架內(nèi)力圖,如圖如圖(a)示示. （3）將）將NK、NP代入求位移公式代入求位移公式dsE

27、ANNPKCV)2()20() 1()5()36.22()12. 1 ()5()36.22()49. 1 ()3()10()67. 0(1EA)(03. 0m 例題例題3 試求圖示半徑為試求圖示半徑為R的圓弧形曲梁的圓弧形曲梁B點的豎向點的豎向位移位移BV。梁的抗彎剛度。梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。解（解（1）在）在B點加一單位力，寫出單位力作用下的彎矩表達式點加一單位力，寫出單位力作用下的彎矩表達式 （2）寫出單位力作用下的彎矩表達式）寫出單位力作用下的彎矩表達式 （3）將）將MK、MP代入求位移公式代入求位移公式dsEIMMPKBP)(EI4PRdsinEIPR3202320)Rd)(

28、sinPR)(sinR(EI1sinPRMPsinRMK 練習(xí)題：練習(xí)題： 試求圖示連續(xù)梁試求圖示連續(xù)梁C點的豎向位移點的豎向位移CV和和A截截面的轉(zhuǎn)角面的轉(zhuǎn)角A , 截面抗彎模量為截面抗彎模量為EI。PCBAl/2l/2答案：答案：)(483EIplcv)(162EIplACBAl/2l/2M答案：答案：)(162EIMlcv)(3EIMlA(1)(2)PM實際荷載實際荷載2qx21虛設(shè)單位荷載虛設(shè)單位荷載Mx3 3）求位移）求位移dsEIMMPAVdsEIx)(qx21(L028EIqL4(3) (3) 試求所示懸臂梁在試求所示懸臂梁在A A端的豎向位移端的豎向位移 解：解： 1 1）虛設(shè)

29、單位荷載如圖）虛設(shè)單位荷載如圖( (b) b) 2 2）求內(nèi)力表達式求內(nèi)力表達式 討論討論:解：解：NF0.50.5001.5-1.581.5-1.58(4) (4) 求所示桁架頂點求所示桁架頂點C C的豎向位移的豎向位移。 2 2）求）求NPF1.51.54.50-4.743.00-4.42-0.951.503 3）求）求CEALFFNPNC1.66cm2Pqx21MxMNPFQPFqxsin FNPqxqxcos FQPsinFNcosFQdsEIMMABPMdsx2EIqAB3Rsin x )cosR(1yRdds 3EIqR4M3EA2qR2N3GAkqR2G(5) (5) 求求B B

30、點的豎向位移。點的豎向位移。一、圖乘法得引入一、圖乘法得引入二、圖乘法適用條件及公式推導(dǎo)二、圖乘法適用條件及公式推導(dǎo)1、適用條件、適用條件lPdxEIMM積分積分可通過可通過M 、MP兩圖相乘兩圖相乘的方法求得的方法求得. 1）、桿件為）、桿件為等截面直桿等截面直桿。 2）、）、EI為常數(shù)為常數(shù)。 3）、）、M、MP 圖形中圖形中至少有一個為直線圖形至少有一個為直線圖形。2、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo)lPdsEIMM結(jié)論：結(jié)論：在滿足前述條件下，積分式在滿足前述條件下，積分式 之值之值等于某一圖形等于某一圖形 面積面積乘以該面積形心所對應(yīng)的另一直線圖乘以該面積形心所對應(yīng)的另一直線圖形的縱形的縱距距y0

31、,再除以再除以EI。lPdsEIMMyxoyycdxdMP(x)M (x)xxcBABAPdxMMEI1 BAPdxMtgxEI 1 baPdxxMtgEI 1 BAxdtgEI 1PcxtgEI1cPyEI1此即位此即位圖乘法的公式圖乘法的公式積分問題積分問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為求內(nèi)力圖的求內(nèi)力圖的面積、形心、和豎標(biāo)面積、形心、和豎標(biāo)的問題的問題lPdsEIMMcPyEI13、使用乘法時應(yīng)注意的問題、使用乘法時應(yīng)注意的問題 1）、適用條件必須滿足，缺一不可。）、適用條件必須滿足，缺一不可。2)、正負(fù)號規(guī)則：、正負(fù)號規(guī)則：面積面積與標(biāo)距與標(biāo)距y y0 0在桿件同側(cè)，乘積為正；否則為負(fù)。在桿件同側(cè)，乘積

32、為正；否則為負(fù)。a） 桿件是等截面直桿，即桿件是等截面直桿，即EI常數(shù)常數(shù)b）兩內(nèi)力圖中至少有一個是直線）兩內(nèi)力圖中至少有一個是直線c）縱距）縱距y0只能從直線圖中取得只能從直線圖中取得.4 4、幾種常見圖形的、幾種常見圖形的面積和形心面積和形心位置位置三、使用乘法時應(yīng)注意的問題三、使用乘法時應(yīng)注意的問題M圖圖MP圖圖Pyo01yEIP 1、yo必須取自直線圖形必須取自直線圖形M圖圖MP圖圖)(12211yyEI 1y12y22、當(dāng)當(dāng)M為折線為折線圖形時圖形時，必須必須分段分段計算計算M圖圖1EI1EI2EI2EIMP圖圖22211111yEIyEI3、當(dāng)桿件為當(dāng)桿件為變截面變截面時亦應(yīng)時亦應(yīng)

33、分段分段計算計算1y12y2MP圖圖M圖圖4、圖乘有圖乘有正負(fù)正負(fù)之分之分：彎矩圖在桿軸線彎矩圖在桿軸線同側(cè)取正號；同側(cè)取正號； 異側(cè)取負(fù)號。異側(cè)取負(fù)號。Pyo01yEIP Pyo01yEIP M圖圖MP圖圖221111yEIyEI 5、若兩個圖形若兩個圖形均為直線圖形時，均為直線圖形時，則面積、縱標(biāo)可則面積、縱標(biāo)可任意任意分別分別取自兩圖形取自兩圖形2y21y1 )()(1432211yyyyEI 6、圖乘時，可將彎矩圖圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分解為簡單圖形，按疊加法分別圖乘分別圖乘l)22(61)323(2)332(21bcadcdaclEIdcbldcalEIy1y21

34、y3y42abcdMP圖圖M圖圖M圖圖MP圖圖acdl )2()832()332()2(1dcqlldcalEI82qla82qll 使用乘法時應(yīng)注意的問題小結(jié)：使用乘法時應(yīng)注意的問題小結(jié)： 1、yo必須取自直線圖形；必須取自直線圖形； 2、當(dāng)、當(dāng)M為折線為折線圖形時圖形時，必須分段，必須分段計算；計算； 3、當(dāng)桿件為、當(dāng)桿件為變截面時亦應(yīng)分段變截面時亦應(yīng)分段計算；計算； 4、圖乘有正負(fù)圖乘有正負(fù)之分之分； 5、若兩個圖形、若兩個圖形均為直線圖形時，均為直線圖形時，則面積、縱標(biāo)可則面積、縱標(biāo)可任任 意意分別取自兩圖形；分別取自兩圖形； 6、圖乘時，圖乘時，可將彎矩圖可將彎矩圖分解為簡單圖形，按

35、疊加法分解為簡單圖形，按疊加法 分別圖乘；分別圖乘； 7、三角形、標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線的面積、形心公式必須三角形、標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線的面積、形心公式必須 牢記。牢記。5 5、舉例、舉例解：解：1 1）作）作M Mp p圖圖2 2）作）作 圖圖M3 3）求）求BLqL813220w21y0EIy0Bw(a)1w解：解：1 1）作）作M Mp p圖圖2 2）作）作 圖圖M3 3）求）求c2L2L210wLF65yP0EIAy0c 例例2 2 圖示為一懸臂梁，在圖示為一懸臂梁，在 A A 點作用集中荷載點作用集中荷載F Fp p 。試求。試求 中點中點C C 的撓度的撓度CVw1w2w3解：解： 1 1）作）

36、作M Mp p圖圖2 2）作）作 圖圖M3 3）求）求HB1y2y3yL2qL2121wL32y1L2qL2122wL32y2L8qL3223w2Ly3EIyiiBwH 例例3 3 試求下列圖示剛架結(jié)點試求下列圖示剛架結(jié)點B B 的水平位移的水平位移BH 。各桿截面。各桿截面為矩形為矩形bh,bh,慣性矩相等。只考慮彎曲變形的影響。慣性矩相等。只考慮彎曲變形的影響。解：（解：（1）繪）繪Mp圖圖)(0924. 013860 mEIlP1CV)6()3006()26()45632()362()23006(EI1dsEIMM 例題例題 試求左圖所示剛架試求左圖所示剛架C點的豎向位移點的豎向位移CV

37、和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C。各桿材料相同，截面抗彎模量為各桿材料相同，截面抗彎模量為:25105 . 1mKNEI （2）求求C C點的豎向位移，在點的豎向位移，在C C處加一單位力，繪處加一單位力，繪M1圖圖Mp圖圖M1圖圖(3) 求求C點的轉(zhuǎn)角點的轉(zhuǎn)角).(rad0168. 0EI25201)6300(1)45632(1)26300(EI1C在在C處加一單位力偶，繪出（處加一單位力偶，繪出（M2圖）圖）Mp圖圖M2圖圖一、由于溫度改變引起的位移一、由于溫度改變引起的位移靜定結(jié)構(gòu)溫度改變并不引起內(nèi)力，變形和位移是材料自由膨脹、收縮的結(jié)果。桿件的微段h1 、 h2分別為軸至上、下邊緣的距離上邊緣溫度上升

38、1t 下邊緣溫度上升2t 沿桿截面厚度為線性分布，軸線溫度0t上下溫差 t軸線溫度：軸線溫度：1 12 20hth tth上下邊緣的溫差：上下邊緣的溫差：21 ttt曲率：曲率：伸長應(yīng)變：伸長應(yīng)變：0t21()dtt dstdshdsh線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù)d 由位移計算公式：由位移計算公式：0KPtNdMdN t dsMdshldsds若若 沿每一桿件的全長為常數(shù)，則：沿每一桿件的全長為常數(shù)，則：0, ,t t h0cttNdsMdsh 以溫度升高為正，彎矩 和溫差 引起的0t tM彎矩為同一方向時，其乘積取正，反之取負(fù)。式中式中:例：試求右圖，例：試求右圖，a所示剛架所示剛架C點的點的水平位

39、移水平位移 。 已知剛架各桿外側(cè)溫度無變化，內(nèi)側(cè)溫度上已知剛架各桿外側(cè)溫度無變化，內(nèi)側(cè)溫度上 升升10C，剛架各桿的截面相同且與形心軸對剛架各桿的截面相同且與形心軸對 稱，線膨脹系數(shù)為稱，線膨脹系數(shù)為 。c解：在解：在C點沿水平方向點沿水平方向 加一單位力加一單位力 P1 。作出相應(yīng)的 、 圖。并有：MN軸向上的溫度上升值。軸向上的溫度上升值。01211()(010 )522tttC10010tC 式中式中 h 為截面高度。所得結(jié)果為正值，表示為截面高度。所得結(jié)果為正值，表示C點位移點位移與單位力方向相同。與單位力方向相同。0cttNdsMdsh 桿件由于溫度改變而發(fā)生的彎曲變形，桿件由于溫度

40、改變而發(fā)生的彎曲變形，該變形與由于該變形與由于 所產(chǎn)生的彎曲變形方向相同所產(chǎn)生的彎曲變形方向相同(如圖虛線所示如圖虛線所示)，M應(yīng)用條件：應(yīng)用條件：線線性性小小變形體系變形體系1 1、功的互等定理、功的互等定理功的互等定理：功的互等定理：在任一線形變形體系中在任一線形變形體系中第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上所作的功等于第二狀態(tài)第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上所作的功等于第二狀態(tài)外力在第一狀態(tài)位移上所作的功，即外力在第一狀態(tài)位移上所作的功，即2 2、位移互等定理、位移互等定理位移影響系數(shù)位移影響系數(shù)ijPjijFjiij如果作用在體系上的力是單位力，則在第一個單位力方向上，如果作用在體系上的力是單位力

41、，則在第一個單位力方向上，由于第二個單位力所引起的位移等于第二個單位力方向上，由于第二個單位力所引起的位移等于第二個單位力方向上，由于第一個單位力所引起的位移。由于第一個單位力所引起的位移。3 3、反力互等定理、反力互等定理反力影響系數(shù)反力影響系數(shù)ijjRijrcFjiijrr 如果結(jié)構(gòu)支座發(fā)生的是單位位移，則支座如果結(jié)構(gòu)支座發(fā)生的是單位位移，則支座1由于支座由于支座2的的單位位移所引起的反力單位位移所引起的反力r12等于支座等于支座2由于支座由于支座1的單位位的單位位移所引起的反力移所引起的反力r21。4 4、位移、反力互等定理（自學(xué)）、位移、反力互等定理（自學(xué)）要求要求1 1 熟練寫出位移

42、計算一般公式及其各符號含義，并理解公熟練寫出位移計算一般公式及其各符號含義，并理解公式推導(dǎo)過程式推導(dǎo)過程2 2 熟練掌握靜定結(jié)構(gòu)位移計算方法。熟練掌握靜定結(jié)構(gòu)位移計算方法。積分法積分法 圖乘法圖乘法（應(yīng)用條件、計算步驟、注意事項）（應(yīng)用條件、計算步驟、注意事項）剛架、梁、桁架和組合結(jié)構(gòu)的位移計算剛架、梁、桁架和組合結(jié)構(gòu)的位移計算3 3 互等定理互等定理4 4、習(xí)題、習(xí)題一、判斷題一、判斷題1 1）計）計 算算 組組 合合 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 位位 移移 時時 可可 以以 只只 考考 慮慮 彎彎 曲曲 變變 形形 的的 影影 響響 ， 即即 。（。（ ） (MMEIsP/)d2 2）靜）靜 定定

43、結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 內(nèi)內(nèi) 力力 計計 算算 ， 可可 不不 考考 慮慮 變變 形形 條條 件件 。（）。（）3 3）靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化、支座移動等影響下，不僅產(chǎn)生變形，）靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化、支座移動等影響下，不僅產(chǎn)生變形，同時產(chǎn)生內(nèi)力。（）同時產(chǎn)生內(nèi)力。（）4 4）靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下，產(chǎn)生的位移大小與該結(jié)構(gòu)的各桿）靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下，產(chǎn)生的位移大小與該結(jié)構(gòu)的各桿EIEI的相對值有關(guān)。（）的相對值有關(guān)。（）5 5） 求求 圖圖 示示 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) A A 點點 豎豎 向向 位位 移移 可可 用用 圖圖 乘乘 法法 。（）。（） qA6 6）靜）靜 定定 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) ，在，在 支支 座座 移移 動

44、動 作作 用用 下下 ， 有有 位位 移移 、 有有 內(nèi)內(nèi) 力力 產(chǎn)產(chǎn) 生。生。 （ ） 二、選擇題二、選擇題1 1）求）求 圖圖 示示 梁梁 鉸鉸 C C 左左 側(cè)側(cè) 截截 面面 的的 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角 時時 ， 其其 虛虛 擬擬 狀狀 態(tài)態(tài) 應(yīng)應(yīng) 取（）?。ǎ?2 2）圖）圖 示示 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) （ EI EI = = 常常 數(shù)數(shù) ）, , 受受 荷荷 載載 P P 及及 支支 座座 移移 動動 的的 共共 同同 作作 用用 ， A A 端端 的的 彎彎 矩矩 M MA A 等等 于于 ： A. A. PlPl+3+3EIaEIa/4( /4( 上上 側(cè)側(cè) 受受 拉拉 ） ; ;B. B. Pl+

45、EIaPl+EIa/3 ( /3 ( 上上 側(cè)側(cè) 受受 拉拉 ） ; ; C. C. PlPl/2+3/2+3EIaEIa/4( /4( 下下 側(cè)側(cè) 受受 拉拉 ） ; ;D. D. PlPl/2(/2(下下 側(cè)側(cè) 受受 拉拉 ） 。( () ) aPl2l2lA3 3）圖）圖 示示 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 的的 兩兩 個個 狀狀 態(tài)，態(tài)， 位位 移移 互互 等等 ， 和和 的量的量 綱綱 為為 ： A. A. 長長 度度 ； B. B. 無無 量量 綱綱 ； C. C. 長長 度度 / / 力力 ； D. D. 力力 / /長長 度度 。 （ ） 12211221p1=121122=1P狀狀 態(tài)態(tài) (1) (1) 狀狀 態(tài)態(tài) (2) (2)4 4）圖）圖 示示 梁梁 A A 點點 的的 豎豎 向向 位位 移移 為為 （ 向向 下下 為為 正正 ）：）： A . ; A . ; B . ; B . ; C . ;C . ; D . D . 。( () ) P lE I32 4/ ()P lE I31 6/ ()5963PlEI/ ()5483PlEI/()PEIEIAl/l/2225 5）圖）圖 示示 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) EI EI = = 常常 數(shù)數(shù) ， 剛剛 結(jié)結(jié) 點點 C C 的的 角角