任意角的三角函數(shù)及基本公式

1、.第 18 講 任意角的三角函數(shù)及基本公式 （第課時）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確記憶！任意角的三角函數(shù)重點(diǎn)難點(diǎn)好好把握！重點(diǎn)：1任意角三角函數(shù)的定義；2同角三角函數(shù)關(guān)系式；3誘導(dǎo)公式。難點(diǎn)：1正確選用三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式；2公式的理解和應(yīng)用?？季V要求注意緊扣！1了解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算；2理解任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；3掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；4. 掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。命題預(yù)測僅供參考！任意角三角函數(shù)的意義，三角函數(shù)值的符號；考點(diǎn)熱點(diǎn)一定掌握！1角的定義 角可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，射線旋轉(zhuǎn)開始的位置叫做角的

2、始邊，旋轉(zhuǎn)終止的位置叫做角的終邊，射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。 射線逆時針旋轉(zhuǎn)而成的角叫正角。射線順時針旋轉(zhuǎn)而成的角叫負(fù)角。射線沒有任何旋轉(zhuǎn)所成的角叫零角。2弧度制 等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作單位來度量角的制度叫做“弧度制”。注意：表示1弧度角的正弦，表示2弧度角的正弦，它們與、不是一回事。 一個圓心角所對的弧長與其半徑的比就是這個角的弧度數(shù)的絕對值。正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零。 設(shè)一個角的弧度數(shù)為，則 （為這角所對的弧長，為半徑）。 所有大小不同的角組成的集合與實(shí)數(shù)集是一一對應(yīng)的，這個對應(yīng)是利用角的弧度制建立的?；《?，弧度。度0

3、86;30º45º60º90º180º270º360º弧度0 弧長、扇形面積公式設(shè)扇形的弧長為，扇形面積為，圓心角大小為弧度，半徑為，則 ， 。3角的集合表示 終邊相同的角設(shè)表示所有終邊與角終邊相同的角（始邊也相同），則 （也可記為）。 區(qū)域角介于某兩條終邊間的角叫做區(qū)域角。例如 （也可記為）。 象限角以角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以其始邊為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則角的終邊落在第幾象限，這個角就叫做第幾象限的角。例已知在第二象限，問在哪一象限.解： ， ，當(dāng)為偶數(shù)時，在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時，在第三象限。點(diǎn)評：第一二象限角的半角在第一

4、或第三象限，第三四象限角的半角在第二或第四象限，記住這一結(jié)論，可提高解題速度。例中，已知，,(、是銳角,)求角。分析：、是銳角,故角可能是銳角，也可能是鈍角。顯然，如果想通過去求角是無法確定角是銳角還是鈍角的。所以應(yīng)該求。解： ，顯然，角在第一象限，約為 。點(diǎn)評：如果要利用一個角的三角函數(shù)值來確定此角究竟在那一象限，需要選擇適當(dāng)名稱的三角函數(shù)。掌握判定一個角是銳角還是鈍角的方法，是很有用處的。例如求證一個平面截直三面角所得的截面是銳角三角形，只要證明這個三角形的每個內(nèi)角的余弦大于零。4三角函數(shù)的定義及符號三角函數(shù)定義設(shè)角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）與原點(diǎn)的距離為（），那么下面的六個比值： 分別叫做

5、角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，并且分別用符號表示為：，。 各三角函數(shù)在各象限的符號如下圖：符號記憶：“正弦一二為正”，“余弦一四為正”，“正切一三為正”。注意：由求時，應(yīng)該由所在的象限來確定的符號。去掉的根號時，如果，應(yīng)寫為 -。 終邊相同的同一三角函數(shù)的值相等。即 （，為三角函數(shù)）。 三角函數(shù)線（以第一象限角為例） 正弦線 余弦線 正切線 余切線例確定 的符號。解：畫出單位圓，用線段把 和表示出來，圖中線段 ，顯然， 。5同角三角函數(shù)的關(guān)系 倒數(shù)關(guān)系： ， ， 。 商數(shù)關(guān)系： ， ， 平方關(guān)系： ， ， 。6三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以180º或360º作為基準(zhǔn)，加減一

6、個角，這樣的角的三角函數(shù)可以化為的同名函數(shù)，它的符號由角的終邊所在的象限來確定。例如：。以90º或270º作為基準(zhǔn)，加減一個角，這樣的角的三角函數(shù)可以化為的余函數(shù)，它的符號由角的終邊所在的象限來確定。例如：。誘導(dǎo)公式的記憶口訣：橫同縱余，符號看象限。（“橫”指以橫軸作為基準(zhǔn)，“縱” 指以縱軸作為基準(zhǔn)。）利用誘導(dǎo)公式，可以把任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)。如果有必要（例如在做證明題時），可以利用 ， ，互為余函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步把任意角的三角函數(shù)化為不大于45º角的三角函數(shù)。. v.能力測試認(rèn)真完成！1是第二象限角，其終邊上一點(diǎn) ，且 ，則 的值為（ ）. ； .

7、 ；. ； . -。2已知銳角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2），則角的弧度數(shù)為 （ ）. 3； . -3； . ； . 。3已知 ，則的值等于（）. ； . ； . ； . 。4若 ，則在 （ ）. 第一象限； .第二象限； .第三象限； .第四象限。5設(shè) 且 ，則的取值范圍是 （ ）. ； . ； . ； . 。6設(shè) 、 是到間的角，如果 ，那么與之間的關(guān)系如何.7確定下列各式的符號： ； 。8化簡： 。參考答案仔細(xì)核對！12345678角的定義弧度制角的集合表示三角函數(shù)的定義及符號同角三角函數(shù)的關(guān)系三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1是第二象限角，其終邊上一點(diǎn) ，且 ，則 的值為（ ）. ； . ； . ； . -。解： ， ， ，故應(yīng)選。2已知銳角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2），則角的弧度數(shù)為 （ ）. 3； . -3； . ； . 。解： ，故應(yīng)選。3已知 ，則 的值等于 （ ）. ； . ； . ； . 。解： ，而 ， ， ， ，故應(yīng)選。4若 ，則在 （ ）. 第一象限； .第二象限； .第三象限； .第四象限。解：題給條件可化為 ，則 ， ，故應(yīng)選。5設(shè) 且 ，則的取值范圍是 （ ）. ； . ； . ； . 。解：而 ， ， ，故